Пример 7. Пусть .

D Соответствующее однородное уравнение будет .

Решая характеристическое уравнение , находим корни

. Следовательно, общее решение однородного уравнения есть

. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в форме

.

Дифференцируя, получим

,

Подставляя ,ив исходное уравнение, будем иметь

Приравнивая коэффициенты при исправа и слева, получим систему

.

Решая эти уравнения совместно, находим =1,и, следовательно,. Отсюда общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8. Найти общее решение уравнения.

D Имеем. Так как(- корни характеристического уравнения ), то частное решение данного уравнения ищем в виде:.

Далее имеем

,

.

Подставляя эти выражения производных в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при и:

,

получаем , −4=0, т.е.=0,.

Таким образом, общее решение данного уравнения:

.

В заключение рассмотрим теорему, которую применяют при решении линейных неоднородных уравнений, в правой части которых линейная комбинация функций, указанных в случаях I-III.

Теорема. Если− решение уравнения

, (9.1а)

а - решение уравнения

, (9.1б)

то сумма является решением уравнения

. (9.1в)

Доказательство.Составим суммуи подставим ее в левую часть

уравнения (9.1в). Получим

++=

,

так как по условию выражение в первой скобке равно f₁(x), а выражение во второй скобке равно. Следовательно- решение уравнения (9.1в).

Теорема доказана.

Пример 9.Решить уравнение.

DХарактеристическое уравнениеимеет корни.

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Так как правая часть состоит из суммы двух функций и, то, в соответствии с доказанной теоремой, частное решение данного уравнения ищем в виде:

.

Имеем ,

Подставляя ив исходное уравнение, получаем

.

Отсюда , т.е.,,.

Общее решение уравнения имеет вид:

.

Лекция 12.

11. Системы дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений вида

(11.1)

где х₁,х₂, … х_n– неизвестные функции независимой переменнойt, называетсянормальной системой (системой в нормальной форме) или системой, разрешённой относительно производных от неизвестных функцийx_i=x_i(t). Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно х₁,х₂, …х_n, то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Нормальная система двух дифференциальных уравнений первого порядка записывается в виде:

. (11.2)

Решением системы (11.2) называется всякий набор из двух функций, обращающих оба уравнения системы в тождества.

Задача Коши для системы (11.2) состоит в том, чтобы найти такое решение, которое при принимало бы заданные значения:

.

(11.3)

Общее решение системы (11.2) содержит две произвольные постоянные С₁,С₂, фиксируя которые находят любое частное решение в области изменения начальных условий. Неявная запись решений:

.

(11.4)

Соотношения (11.4) называют первыми интегралами системы.

Геометрически решение определяет некоторую линию (интегральную кривую системы) на плоскости. Если считать, что аргументtиграет роль времени, то указанная кривая будет служить траекторией точки, движущейся на плоскости. В этом случаеопределяет вектор скорости. С механической точки зрения система (11.2) означает задание поля скоростей в каждый момент времениt, а решение задачи Коши равносильно нахождению траектории точки, движущейся под воздействием этого поля и занимающей в начальный момент времениположение (a,b). Плоскость, на которой рассматривается движение, называетсяфазовой.

Рассмотрим два метода решения систем дифференциальных уравнений в нормальной форме.