Практика_12 / Практика12(kad)

Найтишагдискретизациисигналасоследующимипараметрами

T := 10

t :=

0,

T

..T

a0 := 1.5

λ := 1

Матмодель

x(t) := a0 t2 exp(-λ t)

σотн:= 0.1

100

t > 0

1

volt

x(t)

0.5

00

5

10

t

sec

Для определения спектральнойфункциииспользуемпреобразования Лапласа

X(s) :=

1 (a0 t2 exp(-λ t))

X(s) := 2

a0

(s + λ)3

ЗаменяемпеременнуюЛапласанапеременнуюФурьедля спектральной функции

Fx(ω) :=

2 a0

3

Fx(1) = -0.75 - 0.75i

Fx(ω)

3.0

]3

(i ω + λ)

Модуль спектральной функции

[

(1.0i) ω + 1

2

a0

3.0

3

3

(λ2 + ω2)2

(ω2 + 1)2

Полная энегрия сигнала на основании равенства Парсеваля

∞

2

a02

1

a0

3

Ex :=

2

dω 1.6875

1.6875

π

3

4

λ5

(λ2

+ ω2)

2

0

Полная энергия на сопротивлении

R := 1

Энергия погрешности

Ex :=

3

a02

Ex = 1.688

Eотб := Ex (σотн)2 Eотб = 0.017

4 R

λ5

ωc

2

1

a0

Энергия сигнала

Ex(ωc) :=

2

dω

ограниченного частотой среза

π

3

(λ2 + ω2)

2

0

3λ ωc3

+ 3 atan ωc

(λ2

2

2

5 λ3 ωc +

+ ωc2)

После интегрирования и упрощения

Ex(ωc) :=

a0

λ

2 π

λ5 (λ2 + ωc2)2

Находимграничнуючастотусреза изуравнения

Ex - Eотб Ex(ωc)

γ := 1 - σотн2

γ Ex = Ex(ωc)

γ = 0.99

ωc := 1

Решениеуравнения

Given

3 atan ωc

2

3

2

2

5 λ3 ωc + 3λ ωc3 +

(λ2 + ωc2)

a0

a0

λ

λ5 γ =

4

2 π

λ5 (λ2 + ωc2)2

ωc1:= Find(ωc) = 1.803

Шагвременной

t :=

π

t = 1.742

дискретизации

ωc1

Время наблюдения сигнала

tm := 10

Числоотсчетов

tm

Np := floor

t

Np = 5

ИсходныйсигналвосстановленныйполиномомКотельникова

Np

sin[ωc1 (t - i

t)]

K(t) :=

x(i

t) [ωc1 (t - i

t)]

i = 0

1

0.8

volt

K(t) 0.6

x(t) 0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

t

sec

___________________________________________________________________________________

Найтишагвременной дискретизации при которомпогрешностьравномерного приближения не

превышает δ0 := 0.2

T

соследующимипараметрами сигнала

T := 10

t :=

0, 100 ..T

a0 := 1.5

λ :=

1

x(t) := a0 t2 exp(-λ t)

Матмодель

t > 0

1

volt

x(t)

0.5

00

5

10

t

sec

Вторая производная сигнала

Результатдвойного дифференцирования

x2(t) :=

d22(a0 t2 exp(-λ t))

x2(t) := a0 exp(-λ t)(2

- 4 λ t + λ2 t2)

dt

Значение

x2(0) = 3

x2(∞) = 0

Точкиэкстренума2-йпроизводнойопределяются

d33(a0 t2 e- λ t)

через3юпроизводнуюсигнала

x3(t) :=

dt

После дифференцирования

x3(t) :=

-a0 λ exp(-λ t)(6 -

6 λ t + λ2 t2)

6 - 6 λ t +

λ2 t2 = 0

Корниуравнения

1 (6 λ + 2

3 λ)

(2 λ2)

3 + 3

1 (6 λ - 2

3 λ)

3

-

3

(2 λ2)

Тогда

t1 := 1

(3 +

3) t1 = 4.732

t2 :=

1 (3 -

3)

t2 = 1.268

λ

λ

Значения модуля 2й производной

x2(t1)

= 0.072

x2(t2)

= 0.618

Модуль максимум2-йпроизводной

M2 := x2(0)

Значениешага

tли :=

8 δ0

tли = 0.73

M2

j := 0.. 12

tj

:= j

tли

1

tли

6

tли

volt

x(tj) 0.5

00

2

4

6

8

tj

sec

Задача 12.1

Найтидля случая воспроизведения функцииотсчетовприотносительной погрености

σотн:= 5

ишагедискретизации сигнала соследпараметрами

μ := 50

α:= 10

u(t) := μ t e- α t Φ(t) 50 t Φ(t) e- 10 t

Спомощьюпреобразования Лапласа находимзначение выражения:

μ t e- α t Φ(t) laplace

∞

50

или

S(s) :=

u(t) exp(-s t) dt

0

(s + 10)2

Заменаsна jω:

F(ω) :=

50

Спектральная функция

(i ω + 10)2

F(2) = 0.444 - 0.185i

Модуль спектральной функции:

F(ω)

50

(

10 + ω i

)2

∞

На основании равенства Парсеваля полная энергия

2

1

50

5

E :=

dω

Энергия погрешности:

Eотб := E σотн2

= 15.625

π

(

10 + ω i

)2

8

ωc

2

Энергия огр-я частотойсрезабудетравна:

1

50

E(ωc) :=

dω

π

(

10 + ω i

)2

0

Граничнуючастота из

неравенства:

E

- Eотб E(ωc) γ

:= 1

- σотн2 = -24 γ E = E(ωc)

Решениеуравнения

Given

ωc := 1

γ E = E(ωc)

ωc1:= Find(ωc) =

ωc1:= 54.646

Шагвременнойдискретизации

t :=

π

= 0.057

ωc1

Время наблюдения

tm := 1

tm

= 17

Числоотсчетов Np := floor

t

Np

sin[ωc1 (t - i

t)]

Востановленный сигналполиномомКотельникова

K(t) :=

u(i

t)

ωc1 (t - i

t)

i = 0

Условия для графика

tm

t := 0

, 100

..tm

ωc

)2dω

Энергия ограниченная частотойсреза

E(ωc) := 1

( F(ω)

π 0

Граничная частотапо неравенству

E - Eотб E(ωc)

где γ := 1 - σотн2 = 0.99

ωc := 1 γ E = E(ωc)

Given

γ 176 = E(ωc)

ωc1:= Find(ωc) = 0.847

π

Шагвременнойдискретизации

t :=

ωc1 = 3.707

Время наблюдения

tm := 20

tm

= 5

Числоотсчетов

Np := floor

t

Np

Восстановленныйсигнал

K(t) :=

t)

sin[ωc1 (t - i

t)]

tm

x(i

i = 0