Элементы теории графов

ностиствующейäëÿ вершиныгра а, заданного. В к чествеâûøåпримераспискомприведемäóã:

матрицу инцидент-

2

1

1

0 1

0 3

6

0

7

0

1

1

0

1

4

5

зависит от удоб-

Выбор алгоритмического способа задания

ñòâà ê

алгоритмов работы

гра ом.граМатрица смежности

вершинонкретныхмож вляться неэкономным ñпособом, если каждый элемент

задается в памÿ

омпьютера к

. Íî åñëè

ìàò-

рицу определить

массив строак из нулейчислоед

ниц (строкакуюбит в

амяти

то можно не толькцелое

оном ть на памяти, но и

аждой

э ективныйрши заданного множества,оторых

д статочнработывзять логи-

ïолучить

способ для нек

операций

ãðà

ом. Такомпьютера),если нуж найти все вершины, сэкаж ая из от рых

смежна

âûøå ïèñà íîì

матрицы

обыкновенногоествагр а

ческое произâåдение ст ок

вершинам множ

. Â

äëÿ ï ëó÷å

вершин, смежныхсоответствующихверш нами 1

4, после логическо-

ãî

óìíîæåíèÿпервойпримеречетвертой строксмежностиматрицы получим строку:

0 1 1 0;

которая определяет такими вершины 2 и 3.

3

Операции над гра ами

части гра а и образующие но-

ассмотрим операции,

ðà G (X ; U )

íазываетсвыделяющиеподгра ом гра а G(X; U), если

вые гра ы по задан ым.

X

X;

U

U:

1

1

1

Ес и G =6 G, то подгра 1собственн1

й. Если подгра G гра а G

являе ся полным (любые 2 его вершины смежны), содержащим n вер-

1

1

шин, то он называется кликой из n вершин.

11

содержит все вершины гра а. Таким образом, остовный по

îá

ныхграразуетсима, возможно,ребер,èç òàêæàóóдалениемог

некоторыхудалением вершинещеребер,некоторыхà(íåлюбойвсех)реберподгра. Íà ðèèç

ìåð,

äëÿ ãðà à

G(f1; 2; 3; 4g; ff1; 3g; f1; 4g; f2; 3gg) следующийинцидентпо -

ãðà G

(f1; 2; 3; 4g; 1; 3g; f1; 4gg)

я остовным по

à

ïîäã

1

(f2; 3; 4gff; f2; 3gg)

являетсостовным подгра .

ðà G(X; U

называется

дополнением

ãðà à G(X; U)äãðà(ä

полниом, -

2

тельным ãðа ом), если u 2 U $ u 2= U. Таким образом, дополне ии

гра а смежные вершины не смежны, а несмежные вершины смежны.

Например, для гра а пятиугольника

G(f1; 2; 3; 4; 5g; ff1; 2g; f2; 3g; f3; 4g; f4; 5g; f5; 1gg)

дополненèåм является звезда

G(f1; 2; 3; 4; 5g; ff1; 4g; f4; 2g; f2; 5g; f5; 3g; f3; 1gg);

которая изомор на гра у G, а для гра а

P (f1; 2; 3; 4g; ff1; 2g; f2; 3g; f2; 4g; f3; 4gg)

дополнением являетñÿ ãðà

íå

P (f1; 2; 3; 4g; ff1; 3g; f1; 4gg);

ãðà ó P .

лавной

элементов матри-

тированиеизомор ныйне принадлåжащих

Матрица смежности A

дополнительного. заменой нулей

гра а получается инвер

цы A основного гра а, .

единицы и единиц

íó

для всех элементов

атрицы кромедиагонали. Так, для гра на

пятлиугольника матрица смежности

вершин:

;

A = 2

1

1

1

0

1

3

6

0

0

1

7

1

0

1

0

4

5

12

A =

2

0

1

1

3:

6

1

1

0

0

0

7

4

0

1

5

смежности гра а, для

В тех случ ях, когда уæ определена

задания подгра а, содержащего все ребраматрицагр а, которые инц де

-

ны вершинам

подгра а, íе обязательно задавать

го матрицу смеж

сти достаточно задать булев вектор из нулей

диниц, де единицы

определяют

подгра а.

ое произведение эт й строки

þòñ

бъединение гра ов полезнымипрямое ро

зведение

дграов. Пода,

объеди-

на строки м три ы,

вершинам по

опреде

âñå

ребра,вершиныöидентныесоответствующиершинамЛогическдгра а.

ãðà àìè ÿâëÿ

В некоторых случаях

ïерациями н

нением

G(

U) è H(Y; V )

ïîíèìàþò

ãðà

[

U [ V ).

Прямоеграпроизоведение гра ов G(X; U) H(Y; V ) =

E(X Y; W ), ãäå

W = f f(x

; y

h

); (xX;y

h

) j

g

g

g

h

h

h h

g

g

i

k

j

g l

4

Методик

(fxi ; xj g 2 U ^ yk

= yl

) _ (fyk ; yl g 2 V ^ xi

= xj )g:

установления изомор изма гра ов

Следующая

лемма

просто обос овываåòñÿ.

G (Y; V ).

тогда, когда изомор ны их дополнения

G (X; U)

Лемма.

ðà û G

(X; U) è G

(Y; V ) изомоð íû òîãäà и только

1

2

1

2

Эт й леммой имеет смысл пользоваться в тех случаях, когда коли

должно

ть колич ство вершин,

оличество ребер, кол

честв

ребер дополнительного гра а меньше количеñòва ребер основ-

ãî ãðà à.

Из определения изомор изма следует, что для изомор ных гра ов

заданным числом вершин

др гие характеристики гра ов, нечествоза -

сящие от наименования (èëè óмерации) вершин. Поэтому если при

попыткаких характеристикизоморстепенью,азличнаносòî

граа ыовне изомор ны. Если же од-

вершин ñовпаддин к

îé

количество элементарных

циклов

å ó

анови ь

ü

оказывается, что одна

èç

13

следует изом р ность гра ов: для обоснования изомор ности необ

ìîðõ äèìîВ ностибщемó ановитьдвухслучае1íåò-1ñ, сохраняющеехорошегосущест енносмежностьотличногодля.

ó

ановлениясложности)изоот

переб

n! вариантгра ов,проверки 1-алгоритма1с, де n чис(повершин каждо-

ãî èç

гра ов. Однак для гра ов с небольшим коëичеством

вершин

ëèáî

выводу

íåê омор ности ãðà ов, либо ведущую к построенидящую

можно

указать

от рую последов тельность действий, приво

ункции изомор èçма. Мы будем считать, что г а ы, для которых

исследуется вопрос их изом р ности, связны, так к

в противном

случае можно исследовать вîпрос для каждой пары акомпонент связ-

ности гра ов.

) (i = 1; 2) и количество ребер

1. Найти количество вершин n(G

i

m(G ) (i = 1; 2) каждого из гра ов. Если они не совпадают:

n(G i) =6 n(G

) èëè m(G

) =6 m(G

), то гра ы не изомор ны.

2.

1

2

1

2

1

наборы степеней вершин каждого из гра ов (n1; n2; : : : )

Найти(n2; n

; : : : ), ãäå ni

означает количество вершин степени k i-го

1

2

k

гра а. Если эти наборы не совпадают, то гра ы не изомор ны.

3. Если наборы степеней вершин гра ов совпадают

есть вершины

разных степеней, то делаем попытку построения

èзомор изма '

следующим образом:

, для которой число вершин в наборе ми-

1

o

. Находим степень

íèì

ni0 = minifnig.

0

= fx 2 Xj d(x) = i g è

íàìèльно:ем жества X

-

2 . Äåë

попытку установления соответствия ' между

x 2 X находим набор степеней вершин, межных свершинаминей. Т

Y

= fy 2 Y j d(y)

i

= i

0

i

g. Для этого для каждой вершины

0

ìîæ

делаем для каждой вершины y 2 Y . Если эти

i

i

о сопост

не к лькими вариантами, то выбратьнаборыдин из

шинами),авитьальные запомнить для последующих выборов,

их (и положить

ñîîтветствие между сопоставленными вер

если принятый выбор окажется неприемлемым. Если

ры нельзя сопоставить, то выбор предыдущего вариантнабос -

14

нет, товзятьê сноваíåìóследующий(ликвидироваввариантк предыдущемуâñåсопоставлениявариантывариантувыборов. Еслив

послебораак -

него)ступитьпоставления. Еслиотступатьакого

, то гра ы неизомор ны.

3o. Для каждого из наборов ужнетсопоставленных вершин найти

смежные

íèìè, íî

âõ

сопоставление,

станов ть их относительную смнежнîдящиесть

äëÿ ñîïî

вершины,ставлен я в каждом наборе те вершины, которые имеют аи-

меньшую о

смеж ость. Есливыбратьаких вариантов

не колько, òносительнуювыбрать дин из

их, запомнив

альные для

следующих выборов. Этот пункт

äî òåõ ïîð,

все вершины

обоих гра ов не выполнятьокажутс

поставлен-

íûìè (è ýòî

авление дает изомор изм

ëèáî

ïîêà

будет опостановлено, что нет

сопостгра ов),ления.

В последнем случае надо отступить к предыдущему вариан

ту сопоставления

всевариантовнты

послетак -

и взять следующий вариант сопоставления. Если

нет, то снова

(ликвидировавпредыдущему вариантувыборов

áîðà

него)с поставления. Если

акого нет, то гра ы

.

4. Если все вершины имеют

динаковую степень, то

жно приме

ить прием попыткиотступать

соответствия меж у верши-

íàìè, âõî

в элементарные ц клы (цикл,неизоморсоäержащийны

повторяющихсдящимиве шин ановленияребе ) динаковой длины. При

если для одного гра а

некоторая

ршина вх дит в несколькэтом,

циклов,

для другого гра а соотâåтствующая

изомор изме

ò

îé æ

тоакже должна вх дить

àêîå æ

циклов

длины. Поэтому вместо степеней вершины

выбирается

вакершиначестве показателя набор к

циклов

определенной

ä

ëè î ,

держащих эту вершину,оличествиспользуется алгоритм, по

áíûé

алгоритму предыдущего пункта, но такжоличествоучетом смеж-

н сти сопоставляемых вершин.

я изомор -

Ýòîò прием хорошо раб тает, когда гра ы не

ными. Например, в днîм гра е есть цикл определенной длины,

которого нет в другом

гра е. Если же это неявляютсак, то требуется

15

риводит к ошибочному заключению.

ребражноïðèнаборприменитьдинаковостепенейследуюòè âåðñòå-

щпенейВ случаеп всиемпредполагае. вершинОпределимкажîéогокаждогогра а

øèн, смежных

обоими вершинамиизомор ностибра,

будем

влять

те ребра

îá èõ ãðà îâ,

äëÿ

которых

акие наборысопостдинак .

Ïðè

жности акого сопоставления

для каких-либо ребер

бираемневозмдинизоморвариантов,íû

запоминая

льные для последую-

ãðà û

. При неоднозна

сопост

îâû

(второй вариантовзапом нается). П ием повторяется,авленияприребрамэто

щих выборов. В сопоставляемых реб ахчностиàêæ

выбираетс

äèí

èç äâóõ

сопоставления веðшин, инцидент ых

определяются наборы степе ей веðшин, смежных с

обоими кон

цами ребер, не

вошедших уж

соп ставление. Л

такое повто

рение приводит к

становлению из мо

ëèáî

ïðè

äà÷å

èä ðîâàâ âñå

ы выборов после него)

взять следнеующий

сопост

лении следует

ê

ðедыдущему

(ëèê-

âàðèант сопоставления.

отступитьЕсли акого нетизма,то сновавыборуступать к

предыдущему

варианту

выбора сопоставления. Если òакого нет,

то гра ы неизомор ны.

5 Примеры задач на изомор изм гра ов с их ре-

шенияìè

(X; U) задан матрицей смежности вершин

Пример 1. ра G

1

2

1

110

10

3

;

6

010

00

10

7

000

0110

1

4

16

5

{3,4}, {3,7}, {4,8}, {5,6}, {5,8}, {6,7}, {7,8}).
еализации (изображения) гра ов приведены на рис. 10 и 11.
			1
			2				6
	7 e		3						e4
	H
8 e		HHHHHHH				e5
	èñ. 10 (ãðà			G1)

							èñ. 11 (ãðà G		)
Оба гра а имеют						8		2
								все вершины степени 3. Поэтому
число реб р у них динаковвершине,								алгоритм сопоставления по степеням
ìîæ				иметь полный		переб сопоставления вершин, если гра ы
èçî				ор ны. Попробуем			спольз	ать прием сопоставления по длиíå
ýëå				ентарных		ýòèх гра ов. Наглядно видно на рисунках, что
Ïîэтому гра ыцикловG						G не изомор ны.					не имеет таких циклов.
G	1		имеет 2 элементарных цикла длины 3, а G							2
					1	2
		Пример 2. ра G1(X; U) задан следующей матрицей смежности
								17

1

11001

10

;

6

010

7

1

0

4

5

à ãðà G

000

110

2

(Y; V ) задан списком ребер:

({1,4}, {1,5}, {1,7} {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,8},

{6,7}, {6,8}).

степень{4,7},

Оба гра а имеют по 8 вершин, 2 из которых

остальные

степень 3. При попытк

установить зомор

ность

G

:

åñòü 2

à îòî

íèÿ

вершин

степенимеют4 гра ов G

1

6 8}вариант{5 8, 6 1}. Выберå

первый вариант ' ={5 1,

2

6 1} оставим

памяти для последующего выбора6 8},

гравтоов{5ой1,

åñëè

первый вариант будет отвергнут.

èå

В ршина{5 8,

G кромеждествлуж выбранной в

6 смежна

ершингра ами1 3, 7, 8, из которых 7

8

жны между собой,

à

ующая ей вершина 1 гра а G

2

кросоответстìå óæ

выбранной

âèå вершины 8 смежна

7

вершинами 4, 5, 7, из которых 4

межны между

бой. Поэтому продолжением

ÿâëÿ òñÿ

вершины-

соответсстроящийся

'

3 5, êàê

øèí

соответствующих гра ов, которые

ежны с ужединственныхвключеннойвключение

' парой вершинизомор неизмсмежны другиìè

смежными с

этой парой: '={5 1, 6 8, 3 5}.

èå

В ршина 6

G кромесоответствияуж выбраннойвершинами,

5 смежна

ершингра ами1 1, 2, 4, из которых 1

2

жны между собой,

à

ующая ей вершина 8 гра а G

2

кросоответстìå óæ

выбраннойвершины

âèå вершины 1 смежна

6

вершинами 2, 3, 6, из которых 3

межны между

бой. Поэтому продолжением

ÿâëÿ òñÿ

âåð-

соответсстроящийся

'

4 2, êàê

øèí

соответствующих гра ов, которые

ежны с ужединственныхвключеннойвключение

' парой вершинизомор6 8 неизмсмежнысоответствиядругиìи вершинами, смежными с этой парой: '={5 1, 6 8, 3 5, 4 2}.

18

риантGàêæà2, Gсмежных1à, выборавершинысоответствующеймежду7 8,собойа среди.вершин:Поэтомуåùåвершинойне рассмотренныхäëÿ 1, вершины{7 7,

вершинåñòü7,. Выберемкоторыеäâàãðàâàà-

'={5 1, 6 8, 3 5, 4 2,{7 4,8дальнейшего7}, второй8 4} {5 1, 6 8,

3 5, 4 2, 7 7, 8соответствия4} авим

памяти для последующего выбора,

первый вариант

этого выбора

будет отвергнут.

вершинеесли8

в гра е G вершины 3

è

6, смежные

Среди еще не рассмотренных вершин гра а G вершины 1

2,

ñ

вершиной 6 смежные между собой. Им соответствуют

смежные между собой. Есть два вариант выбо а

1

ответствия вер

к противор чию: вершина 1 ãðà à G

смежнасоответствующейвершиной 7 этого

2

{ 6, 2 3}. Но выбор пе вого варианта ведет

øèí ãðà îâ: {1 3, 2 6}

, а соотвåтствующ

åé

31ãðà à G

не смежна с вершиной

4 этого гра а, ко

ðàÿ

âûáð

êàê

2 ующая вершине 7

ãðà-

есть противоречие: вершивершина1 гра а G смежна с вершиной 7 этого

а G . Поэтому

ýòîò

выборасоответстне подх дит, перейдем к

ó

следующего второго вариант

{1 6, 2 3}. Íî è

â

этом варианте

выборà

1

ыбрана как соотве ствующая вершине

шиной 4 этого гра а, которая

1

-

гра а, а соответствующая ей вершина 6 гра а G не смежна

больше нет, то следует отступить к предыдуще

точке рассмотрения

7 гра а G . Так как вариантоâ выбора в данной

2

вместо варианта {7 4, 8 7} выбрать

следующий вариант {7 7, 8 4}.

Ïðè

1

ýòîì '={5 1, 6 8, 3 5, 4 2, 7 7, 8 4}.

соот етствия остав-

Теперь снова нужно рассмотреть 2 вариант

вариант опять возникает про

иворечие:

вершина 1 гра а G

шихся вершин гра ов: {1 3, 2 6}

{1 6, 2 3}. Ïðè

âыборе первого

G íå

смежна с вершиной 7

этого гра а, которая выбрана как соот-

с вершиной 7 этого гра а,

соответствующая

вершина1

3смежнагра

2

вершине 7

ãðà à

G . Поэтому перейдем

к следующему

Gетствующаяакж смежнасоответствиявершиной

7 ýòого гр а, которая выбрана как

âари нту выбора

1

âåðø í: {1 6, 2 3}.

ñìåæ-

Í

этот раз противореч

íå âîçíèкает: вершина 1 г а а G

1

íà

вершиной 7 этого гра а,

соо ветствующая ей

øèíà 6

ãðà à

соответствующая

вершине 7

гра а G . Аналогично

вершина

2

2

19

1

вершина 3 гра а G такж

смежна с

5, 6, 8 этого гра а,

'которые={5Таким1, 6выбраныобразом,8, 3 5, êàêмы получаемс ответствующие8 4, 1окончательный6, 2 вершинами3}. вариант-3,однозначное1, 6соответствия:ãðà à G1. -

ветствие ' = y(x), где

7x 7,вершина гра аВзаимноG , y соответствующая

1

ей вершина гра а G определяется следующей таблицей:

4 2,

x

1 2 3 4 5 6

7

8

y

6

3

5

2

1

8

4

Проверка, что ' является

дается следующей таблицей

соответствия ребер гра овизоморG Gизмом:

x ; x

1 2 1 6 1

1

2

5 8

8

2 3 2 6 3 4 3 5 4 6 4 8 5 6 5

yi

; yj

6; 3 6; 8 6; 7

3;

5 3; 8 5; 2 5; 1 2;

8 2; 4 1; 8 1; 7

1; 4

7; 4

k

l

ïðè

Îòìå èì, î ìû íå

âò ðîé

вариант

соответствияиспользовалипервой точкпостроениирассмотрения. Можно

проверить, что в этом случае получается другой вариантизомор изма-

ìà ãðà îâ.

(X; U) возьмем из примера 1, а гра G

(Y; V )

Ïð

åð 3. ðà G

1

2

зададèì списком ребер:

({1,3}, {1,4}, {1,6}, {2,3}, {2,5}, {2,7}, {3,8}, {4,6}, {4,7}, {5.7}, {5,8}, {6,8}).

	èñ. 12 (ãðà G			)
Оба гра а имеют по 8			2
		все вершины ст пени 3. Поэтому
число ребер у них одинакоâершиналгоритмое,			сопоставления по степеням
	20