Элементы теории графов
.pdf
|
4 |
100 |
|
||
40. |
6 |
01 |
|
|
|
2 |
001 |
||||
|
|
|
|
00 |
|
|
6 |
11 |
0 |
||
41. |
4 |
|
|||
2 |
|
11 |
|||
|
6 |
0100 |
|||
|
4 |
010 |
|||
|
|
|
1 |
||
0011
0111
00
100
110
001
101
0101 7
01000035
01 75
3
1001 75
41
|
|
1 |
|
0 |
|
6 |
001 |
||
|
|
1 |
|
|
43. |
4 |
1 |
1 |
|
6 |
|
|||
2 |
1 |
|
0 |
|
44. |
4 |
1001 |
||
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
01 |
|
|
|
6 |
1101 |
||
45. |
4 |
|||
2 |
||||
|
6 |
00 |
|
|
|
|
00 |
||
|
4 |
010 |
||
|
|
|
1 |
|
11001
11
01
011
10010
101
011
100
011
101
42
01
10
00
10
00
10
00
75
3
75
3
75
3
75
|
|
0 |
10 |
|
4 |
1 |
|
|
01 |
||
47. |
6 |
|
01 |
2 |
|
||
|
6 |
010 |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
48. |
2 |
1000 |
|
001 |
|||
|
|
00 |
|
|
6 |
110 |
|
|
011 |
||
|
4 |
||
1
000111
111
000
111
0
101
1
0
01 75
3
11 75
00 3
100 75
43
50.
51.
1.{1,2},
4 7
{1,7},
{4,9},
|
|
010 |
1101 |
|
01 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
11 |
|
00 |
0 |
|
010 |
|
|
|
|
|
||
|
6 |
00 |
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||
|
0 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
1 |
|
111 |
5 |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
010 |
111 |
|
00 |
3 |
|
|
|
|||||
|
00 |
11 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1011 |
|
00 |
7 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
111 |
|
5 |
|
|
|
|
||||
|
4 |
1100 |
|
|
10011 |
|
|
|
|
|||||
|
001 |
|
001 |
1000 5 |
|
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||
|
Задача |
|
|
7 |
|
|
|
|||||||
{1,8}, |
|
|
|
|
{3,4}, |
{3,5}, |
{3,9}, |
{4,5}, |
||||||
{1,9}, |
{2,3}, |
{2,9}, |
||||||||||||
{5,6}, {5,8}, {6,7}, {6,8}, {7,9} |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4
3.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
4 549 |
4,95 6 |
{5,7},9 |
{6,8},1,10},{7,9},{8,9}{2,3},{8,10}{2,5}, {2,6}, |
||||
1 |
3 |
{1,4}, |
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,5}, |
3 6 |
{3,7}, |
{4,6}, {4,7}, {5,8}, {6,7}, {7,8} |
|||||
1 4 |
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,7}, |
{2,3}, |
{2,5}, |
{2,6}, |
|
3 6 |
{4,7}, |
{4,8}, {5,7}, {6,8}, {7,8} |
{3,5}, |
||||
1 3 |
{1,4}, |
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,7}, |
{2,8}, |
||
5 8 |
{6,7}, |
{6,8} |
{2,3}, |
{2,4}, |
{2,6}, |
{2,7}, |
|
1 3 |
{1,4}, |
{1,8}, |
|||||
5 7 |
{5,8}, |
{6,7}, {6,8} |
{2,4}, |
{2,5}, |
{2,6}, |
||
1 3 |
{1,4}, |
{1,5}, |
{1,8}, |
||||
3 8 |
{4,7}, |
{4,8}, {5,6}, {5,7}, {6,8} |
{2,5}, |
||||
1 3 |
{1,4}, |
{1,6}, |
{1,7}, |
{1,8}, |
{2,4}, |
||
3 8 |
{4,5}, |
{4,8}, {5,6}, {5,7}, {6,7} |
{3,4}, |
||||
1 3 |
{1,7}, |
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,6}, |
{2,7}, |
||
5 7 |
{5,8}, |
{6,8} |
{1,6}, |
{2,3}, |
{2,6}, |
{2,7}, |
|
1 2 |
{1,4}, |
{1,5}, |
|||||
4 7 |
{4,8}, |
{5,7}, {5,8} |
{2,4}, |
{2,6}, |
{2,7}, |
||
1 5 |
{1,6}, |
{1,7}, |
{2,3}, |
||||
4 7 |
{4,8}, |
{5,6}, {6,9}, {7,9}, {8,9} |
{2,7}, |
||||
1 3 |
{1,6}, |
{1,7}, |
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,6}, |
||
4 7 |
{4,9}, |
{5,8}, {5,9}, {6,7}, {6,8}, {8,9} |
|||||
1 2 |
{1,7}, |
{1,8}, |
{1,9}, |
{2,5}, |
{2,8}, |
{2,9}, |
|
4 5 |
{4,7}, |
{4,9}, {6,8}, {6,9} |
|
|
|||
1 3 |
{1,5}, {1,9}, {2,4}, {2,8}, {2,10}, {3,5}, |
||||||
{4,10}, {5,7}, {6,8}, {7,9}, {7,10}, {8,10}
45
{2,8}, {3,6}, {3,10},
{2,7}, {2,8}, {3,5}, {2,8}, {3,4}, {3,5}, {3,7}, {4,5}, {4,6}, {3,5}, {4,6}, {4,7}, {2,7}, {3,6}, {3,7}, {2,7}, {3,5}, {3,6}, {3,5}, {3,6}, {4,8}, {3,7}, {3,8}, {4,6}, {3,8}, {3,9}, {4,5}, {3,4}, {3,5}, {3,7}, {3,5}, {3,6}, {3,8}, {3,6}, {3,9}, {4,6},
18
17.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
3 847 |
{4,5},{4,6}, |
{4,6},{4,8}, |
{5,7}, {6,8},{5,8},{2,3},{7,8}{6,7},{2,4},{6,8}{2,6}, |
||||||
1 |
3 |
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,7}, |
{2,4}, |
{2,5}, |
{2,8}, |
||
4 7 |
{6,8}, |
{7,8} |
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,5}, |
{2,7}, |
|||
1 |
|
{1,6}, |
{1,7}, |
||||||
4 6 |
{4,8}, {5,8}, {6,7} |
|
|
|
|
||||
1 |
1,3}, |
{1,5}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,6}, {2,7}, |
|||||||
3 7 |
{4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,8}, {6,8} |
|
{2,6}, |
||||||
1 3 |
{1,4}, |
{1,7}, |
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,5}, |
||||
4 5 |
{4,6}, {4,7}, {5,7}, {5,8}, {6,8} |
|
{2,8}, |
||||||
1 3 |
{1,4}, |
{1,5}, |
{1,6}, |
{2,3}, |
{2,6}, |
||||
5 7 |
{5,8}, {6,7} |
{1,8}, |
{2,3}, |
{2,4}, |
{2,8}, |
||||
1 2 |
{1,5}, |
{1,7}, |
|||||||
4 6 |
{4,7}, {5,7}, {6,8} |
{2,6}, |
{2,8}, |
{2,9}, |
|||||
1 3 |
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,8}, |
||||||
4 5 |
{4,6}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {6,9} |
|
{2,9}, |
||||||
1 3 |
{1,4}, |
{1,7}, |
{2,4}, |
{2,7}, |
{2,8}, |
||||
4 5 |
{4,7}, {5,6}, {5,8}, {6,8}, {6,9}, {7,9} |
||||||||
1 3 |
{1,4}, |
{1,8}, |
{2,3}, |
{2,6}, |
{2,7}, |
{2,9}, |
|||
4 6 |
{5,7}, |
{5,9}, {6,9}, {8,9} |
{8,10} |
|
|||||
4 9 |
{5,10}, {6,7}, |
7,9 |
|
||||||
1 2 |
|
1,6 |
{1,9}, {2,3}, {2,8}, |
2, |
, {3,5}, |
||||
1 3 |
{1,4}, |
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,7}, |
{2,4}, |
{2,5}, |
|||
3 5 |
{3,7}, {3,8}, {4,6}, {4,7}, {5,8}, {6,8} |
||||||||
1 3 |
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,5}, |
{2,7}, |
|||
{3,7}, {4,6}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {6,8} |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
{2,8},
{3,4},
{3,5},
{2,8},
{2,8},
{3,7},
{3,5},
{3,7},
{3,6},
{3,6},
{3,8},
{2,6},
{2,8},
{3,5},
{3,6},
{3,5},
{3,6},
{4,7},
{3,6},
{3,8},
{3,7},
{3,8},
{4,6},
{2,7},
{3,5},
{3,7},
{4,6},
{3,7},
{3,6},
{3,8},
{4,8},
{4,5},
{3,9},
{3,9},
{4,5},
{4,7},
{2,8},
{3,6},
32
31.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
514 736
3 8
1 3
3 7
1 3
5 7
1 5
4 8
1 3
4 6
1 4
4 7
1 4
4 9
1 6
4 9
1 2
3 8
1 2
1
4 5
4 7
{1,2},
4 5
{5,8}, {6,8} |
{2,4}, |
{2,5}, |
{2,7}, |
{2,8}, |
{3,5}, |
{3,7}, |
{4,5}, |
|
{1,6}, |
{1,8}, |
|||||||
{4,8}, {5,8}, {6,7} |
{2,4}, |
{2,5}, |
{2,7}, |
{2,8}, |
{3,6}, |
{3,7}, |
||
{1,4}, |
{1,5}, |
{1,8}, |
||||||
{4,5}, {4,7}, {5,6}, {6,7}, {6,8} |
{2,7}, |
{2,8}, |
{3,5}, |
{3,6}, |
||||
{1,4}, |
{1,5}, |
{1,6}, |
{2,5}, |
{2,6}, |
||||
{4,5}, {4,6}, {4,8}, {5,7}, {5,8} |
{2,8}, |
{3,7}, |
{4,7}, |
{4,8}, |
||||
{1,4}, |
{1,5}, |
{1,6}, |
{2,3}, |
{2,6}, |
||||
{5,8}, {6,7} |
{2,3}, |
{2,4}, |
{2,5}, |
{2,6}, |
{3,6}, |
{3,7}, |
{4,7}, |
|
{1,6}, |
{1,8}, |
|||||||
{5,7}, {5,8}, {6,8} |
{2,5}, |
{2,8}, |
{2,9}, |
{3,6}, |
{3,8}, |
{3,9}, |
||
{1,4}, |
{1,7}, |
{2,4}, |
||||||
{4,7}, {5,6}, {5,8}, {6,9}, {7,9} |
{2,9}, |
{3,4}, |
{3,5}, |
{3,8}, |
||||
{1,6}, |
{1,7}, |
{1,9}, |
{2,3}, |
{2,8}, |
||||
{5,6}, {5,7}, {5,8}, {6,8}, {6,9}, {8,9} |
{3,4}, |
{3,5}, |
{4,6}, |
|||||
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,7}, |
{2,7}, |
{2,8}, |
{2,9}, |
|||
{5,8}, {6,8}, {6,9}, {7,9} |
|
|
|
|
|
|||
1,7}, {1,8}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,4}, {3,6}, {3,9}, {3,10}, |
||||||||
{4,10}, |
{5,8}, {5,9}, {5,10}, {7,8} |
{2,7}, |
{2,8}, |
{3,4}, |
{3,7}, |
|||
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,8}, |
{2,3}, |
{2,6}, |
||||
{4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,6}, {5,7}, {5,8} |
{3,4}, |
{3,7}, |
{3,8}, |
|||||
{1,5}, |
{1,6}, |
{1,8}, |
{2,3}, |
{2,7}, |
{2,8}, |
|||
{4,6}, {4,7}, {5,6}, {5,7}, {6,8} |
{3,5}, |
{3,7}, |
{3,8}, |
{4,6}, |
||||
{1,6}, |
{1,7}, |
{2,6}, |
{2,7}, |
{2,8}, |
||||
{4,8}, {5,6} |
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,6}, |
{2,8}, |
{3,5}, |
{3,6}, |
{3,7}, |
|
{1,6}, |
{1,7}, |
|||||||
{4,7}, {5,8}, {6,8} |
47 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
3 84 |
{4,6},{4,5},{1,5}, |
{4,8},{4,7},{1,6}, |
{5,6},{2,3},{5,7},{6,7},{2,6},{6,8}{2,7}, |
{2,8}, |
{3,4}, |
{3,5}, |
|||||||||||||||||||||||
46. |
1 |
6 |
{1,7}, {1,8}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,8}, |
|||||||||||||||||||||||||||
47. |
4 |
{4,8}, {5,7} |
|
{1,8}, |
{2,4}, |
{2,7}, |
{2,8}, |
{3,4}, |
{3,6}, |
|||||||||||||||||||||
1 4 |
{1,5}, |
{1,6}, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
48. |
4 7 |
{5,6}, {5,7}, {6,7} |
{2,4}, |
{2,6}, |
{2,8}, |
{3,7}, |
{3,8}, |
|||||||||||||||||||||||
1 2 |
{1,3}, |
{1,5}, |
|
{1,6}, |
||||||||||||||||||||||||||
49. |
4 9 |
{5,8}, {5,9}, {6,7}, {6,9}, {7,8} |
|
|
{3,4}, |
{3,5}, |
{3,9}, |
|||||||||||||||||||||||
1 2 |
{1,7}, |
{1,8}, |
|
{1,9}, |
{2,3}, |
{2,9}, |
||||||||||||||||||||||||
50. |
4 7 |
{4,9}, {5,6}, {5,8}, {6,7}, {6,8}, {7,9} |
{3,6}, |
{3,7}, |
||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
{1,3}, |
{1,4}, |
|
{1,6}, |
{2,5}, |
{2,9}, |
{3,4}, |
|||||||||||||||||||||||
51. |
4 9 |
{5,6}, {5,7}, {6,8}, {8,9} |
|
2, , {3,5}, {3,8}, {4,6}, |
||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
1,6 |
{1,9}, {2,3}, {2,8}, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
{4,9}, {5,7}, |
{5,10}, {6,7}, {7,9}, |
{8,10} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9 Маршруты гра ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Последовательность |
|
; x |
; : : : ; u |
|
|
|
; x |
|
(x |
|
2 X; u |
|
2 U); |
|||||||||||||||||
|
|
|
[x |
; u |
; x |
; u |
n 1 |
n |
i |
i |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в которой чередуются вершины и ребра, и при этом |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8i 2 1; n 1 u |
i |
= fx |
; x |
i+1 |
g; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
называется маршрутом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Чаще маршрут изображаåòñÿ ïîследовательностью вершин |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[x |
; x |
|
; : : : ; x |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для которой любые две соседние вершины смежны. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
{3,7},
{4,5},
{3,8},
{4,5},
{4,5},
{4,8},
{4,7},
либо как сумма длин ребер (при введении весов ребер, называемых |
|||||||||||||||||||||||||
их длиной) |
|
|
|
|
|
|
|
l( ) = |
Xu2 l(u): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Первый случай |
|
жет быть включен во второй, если длину аждого |
|||||||||||||||||||||||
åáðà ïî |
умолчанию |
считать равной 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
рут [x ; x ; x ; x ; x ; x ; x ; x не является цепью ребро fx ; x g по- |
|||||||||||||||||||||||||
Цепь маршрут, в котором все ребра попарно различны. Так, |
ìàðø- |
||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
3 |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
вторяетс |
дважды. |
|
|
|
|
|
в которой нет |
|
в яющих я вершин. |
||||||||||||||||
Простая |
öåïü ýòî |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Так, цепь [x ; x ; x ; x ; x ; x не является |
ïðîñòîé. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Маршрут замкнутыйцепь,если первая вершина |
маршрута совпадает с |
||||||||||||||||||||||||
последней. |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цикл замкнутая цепь (нет повторяющихся ребе ). |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Простой цикл ц кл, у которого все |
|
|
|
|
|
|
ðазличны, кроме |
||||||||||||||||||
ðà |
|
|
|
, åñëè äëÿ |
ëюбых д ух еговершины |
существует |
|
||||||||||||||||||
совпадающих |
первой |
è ïîñ |
едней |
вершинс язен, |
. |
то его можно разделить а |
|||||||||||||||||||
|
. Åñëè ãðà G íå |
|
|||||||||||||||||||||||
являетссоединяющаясобственным по |
|
|
|
|
|
никакого другого связного подгра- |
|||||||||||||||||||
компонентысвязен |
зности связные подгра ы, каждый из которыхцепь,í |
||||||||||||||||||||||||
а из G. Так, например, |
äãðà îì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
G(f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g; ff1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; 2; 4g; f5; 6gg) |
|
||||||||||||||||||||||||
состоит из тр х компонент связности G (f5; 6gff5; 6gg); G (f7g; ;); |
|||||||||||||||||||||||||
3 асстояние |
между вершинами длина кратчайшей цепи, их свя- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
G (f1; 2; 3; 4g; ff1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; f2; 4gg). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
зывающей |
|
|
|
|
|
(xi; xj) = |
= min[x ;:::;xj |
l( ): |
|
|
|
|
|||||||||||||
Диаметр связного гра а расстояние между двумя наиболее уда- |
|||||||||||||||||||||||||
ленными вершинами в гра е |
|
|
|
|
|
|
; x |
): |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d(G) = max (x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ;xj 2G |
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ний от каждой из них до наиболее удаленной от нее вершины |
||||||||||||
|
|
|
|
r(G) = minx2X maxy2X (x; y): |
|
|
|
|||||
Центр гра а множество вершин гра а, расстояние от каждой из |
||||||||||||
которых до наиболее удаленной вершины гра а равно радиусу гра а |
||||||||||||
|
C = fxj x 2 X; |
max2X |
(x; xi) = r(G)g: |
|
||||||||
Так, для гра а, изображенногî |
|
|
|
|
|
|||||||
i èñ. 10, r(G) = 2; C(G) = f1; 3; 4; 7g. |
||||||||||||
Оргра G(X; U) называетсориентированнаясвязным, если из любой его |
вершины |
|||||||||||
В оргра е цепь [x ; : : : ; x , п |
ходимая направлении |
иента |
||||||||||
öèè äóã ((x ; x |
|
) |
|
2 U (i 2 1; n 1)), называе |
ся путем. |
Простой |
||||||
i |
i+1 |
|
|
1 |
n |
|
|
öåïü. Ê íòóð åñòü |
ðî- |
|||
путь есть простая |
|
|
|
|
||||||||
ванный цикл, а простîé контур есть простой ориентированныйц кл. |
||||||||||||
x 2 X в любую его вершину y 2 X есть путь. При |
|
ðãðà à |
||||||||||
аналогичнымадиус центр оргра а. Если |
оргра не |
|
|
связностиобыкновенный |
||||||||
для обыкновенного |
а образом вводятс |
диаметр, |
||||||||||
б ) является связным, то оргра азыв связен,етс лабо связным. Так, |
||||||||||||
полученный из него потерей |
|
ции дуг (заменой дуг на |
||||||||||
грарг , , изображенный на рис. 9, связ ый с диаметром 3, радиусом 2 и |
||||||||||||
отличающ йся |
îò |
предыдущего толькориенториентацией дуги между вер- |
||||||||||
центром {3}. А ргра G(f1; 2; 3; 4g; f(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 4); (4; 3)g), |
||||||||||||
шинами 1 и 3, не является связным,он слабо связный. |
|
|||||||||||
10 Задача о кратчайшем маршруте |
|
|
||||||||||
Задача о кратчайшем маршруте для произвольных вершин a и b |
||||||||||||
связного гра а G ормулируется следующим |
|
|
|
|||||||||
найти кратчайший маршрут [a; : : : ; b образом:l( ) = l(a; b). |
||||||||||||
Один из э ктивных алгоритм в нах ждения |
|
|
ìàðø- |
|||||||||
рута предложен Дейкстрой. В |
ýòîì |
àëãîритме длякратчайшегоаждой вершины |
||||||||||
x вводятся 2 характеристики: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x расстояние от вершины a до x и |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|