Методичка для тех.спец. математика

89

28.

Найти расстояние между параллельными прямыми

x + 1

=

y − 1

=

z + 2

и

− 2

3

x − 2

y + 3

z

− 1

=

=

.

− 2

3

− 1

2x − y + z − 3 = 0,

29.

Через прямую

провести

плоскость,

параллельную

= 0

x + y − 3z − 1

плоскости x + y − z + 15 = 0 .

30.

Найти уравнение плоскости, проходящей через ось 0X

и образующей с

x + y − z + 2 = 0 угол, равный π .

плоскостью

2

4

31.

Найти точку M1 , симметричную точке M0 относительно заданной плоско-

сти: M0 (2; − 2; − 3),

y + z + 2 = 0 .

32.

Найти точку M1 , симметричную точке M0 относительно заданной прямой:

M0

(− 1; 2; 0),

x + 0,5

=

y + 0,7

=

z − 2

.

1

− 0,2

2

x − 3

y − 6

z − 3

33.

Найти

расстояние

между

прямыми

=

=

и

4

x

y + 1

z − 4

− 2

3

=

=

.

8

− 3

3

x

y − 4

z + 1

34.

Найти уравнение проекции прямой

=

=

на плоскость, задан-

ную уравнением x − y + 3z + 8 = 0 .

4

3

− 2

x − 4

y + 3

35.

Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую

=

=

z

и

отсекающей на оси 0X отрезок, равный 2.

5

2

1

x + 2y + z − 1 = 0

.

36. Найти расстояние от точки M (1, 2, − 1) до прямой

3x − y

+ 4z − 29 = 0

37.

Найти уравнение плоскости,

проходящей через параллельные

прямые

x − 2

=

y + 1

=

z

и

x − 7

=

y − 1

=

z − 3

.

3

4

2

3

4

2

x

y + 1

z − 1

38.

Найти расстояние между параллельными прямыми

=

=

и

x − 1

y

z + 3

2

3

1

=

=

.

4

6

2

x

y + 1

z − 1

39.

Через прямую

=

=

провести плоскость, параллельную

плоско-

2

3

1

сти x + y − z + 3 = 0 .

90

40.

Через прямую

x − 2

=

y − 3

=

z + 1

провести плоскость,

перпендикуляр-

5

1

2

ную к плоскости x + 4y − 3z + 7 = 0 .

41.

Найти точку M1 , симметричную точке M0 относительно заданной плоско-

сти: M0 (− 2; − 3; 0),

x + 5y + 4 = 0 .

42.

Найти точку M1 , симметричную точке M0 относительно заданной прямой:

M0 (3; 3; 3),

x − 1

=

y − 1,5

=

z − 3

.

− 1

0

1

43.

Найти расстояние между прямыми

x − 9

=

y + 2

=

z

и

x

=

y + 7

=

z − 2

.

− 2

4

− 3

1

9

2

x = 4t,

44.

= 3t − 4,

на плоскость, заданную

Найти уравнение проекции прямой

y

= −2t − 1

уравнением x − y + 3z + 8 = 0 .

z

45.

Найти

уравнение

плоскости,

проходящей

через

прямую

x + 5

=

y − 2

=

z − 1

и отсекающей на оси 0Y отрезок, равный 2.

3

1

2

x

y

z

46.

Найти расстояние от точки M (4, − 3,1) до прямой

=

=

.

6

47.

уравнение плоскости,

2

− 3

Найти

проходящей

через

параллельные

прямые

x + 5

=

y − 2

=

z − 1

и

x − 1

=

y

=

z + 1

.

4

7

2

4

7

2

x = 3t + 2,

48.

= 4t

−1,

Найти

расстояние

между параллельными

прямыми

y

и

= 2t

x = 3t + 7,

z

= 4t + 1, .

y

= 2t + 3

z

x − 1

y − 2

z − 3

49.

Через

прямую

=

=

параллельно

плоскости

2

4

5

x − 2y + z + 1 = 0 .

50. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку (3;1; − 2) и

прямую x − 4 = y + 3 = z .

5 2 1

91

51.

Найти точку M1 , симметричную точке M0 относительно заданной плоско-

сти: M0 (3; − 3; − 1), 2x − 4y − 4z − 13 = 0.

52.

Найти точку M1 , симметричную точке M0 относительно заданной прямой:

M0

(3; − 3; − 1),

x − 6

=

y − 3,5

=

z + 0,5

.

5

4

0

x

y

z

x + 1

y − 3

z − 4

53.

Найти расстояние между прямыми

=

=

и

=

=

.

6

2

− 3

5

4

2

54.

Найти уравнение проекции прямой

x − 2

=

y − 3

=

z + 1

на плоскость, за-

x + 4y − 3z + 7 = 0 .

5

1

2

данную уравнением

55.

Найти

уравнение плоскости,

проходящей

через

прямую

x + 2y + z − 1 = 0

3x − y + 4z − 29 = 0

и отсекающей на оси 0Z отрезок, равный 1.

56.

Найти расстояние от точки M (3, 2, 6) до прямой

x

=

y + 7

=

z − 3

.

57.

плоскости,

1

2

− 1

Найти уравнение

проходящей через

параллельные

прямые

x − 3

y − 4

z − 5

x = t,

=

=

и

y = −2t + 1,.

1

− 2

1

z = t − 1

x + 1

z + 1

58.

Найти расстояние между параллельными прямыми

=

y

=

и

x − 2

y + 1

z − 1

− 2

3

− 1

=

=

.

4

− 6

2

2x + y − 6z + 3 = 0

59.

Через

прямую

x − y + 2z − 6 = 0

параллельно

плоскости

x + y − z + 15 = 0 .

60.

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M (1;1; 6) и пря-

x = −1 + 3t,

= 2t,

.

мую y

= t

z

61.

Найти точку M1 , симметричную точке M0

относительно заданной плоско-

сти: M0 (3; − 1;1), 2x − y + 3z + 4 = 0 .

62.

Найти точку M1 , симметричную точке M0

относительно заданной прямой:

M0 (4; 5;10), 2x + 3y + z + 10 = 0 .

63. Найти расстояние между прямыми

x − 9

=

y + 2

= z и

x

=

y + 7

=

z − 2

.

− 2

4

− 3

9

2

92

64. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости x + 2y − z + 5 = 0 с плоскостью, проходящей через точку M (5; 3; 2) и ось 0Y . 65. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости x + 2y − z + 5 = 0 с плоскостью, проходящей через точку M (5; 3; 2) и ось 0Y .

2x − 2y + z + 3 = 0,

.

66. Найти расстояние от точки M (3, 2, − 1) до прямой

− 2y + 2z + 17

=

3x

0

67.

Найти уравнение

плоскости,

проходящей через параллельные

прямые

x − 5

= y − 6 =

z + 3

и

x − 2

= y − 3 =

z + 3

.

13

13

− 4

− 4

x − 3

z − 1

68.

Найти расстояние между параллельными прямыми

= y =

и

2

x + 1

z

2

= y − 1 =

.

2

2

69. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной двум плоскостям: 2x − 3y + z − 1 = 0 и x − y + 5z + 3 = 0 .

70.Даны вершины треугольника ABC :A (4;1;−2), B (2;0;0), C (− 2; 3; 5). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

71.Найти точку M1 , симметричную точке M0 относительно заданной плоско-

сти: M0 (6; − 4; − 2),

x + y + z = 3 .

72.

Найти точку M1 , симметричную точке M0 относительно заданной прямой:

M0

(4; 3;10),

x − 1

=

y − 2

=

z − 3

.

2

4

5

x + 1

y + 3

z − 2

73.

Найти

расстояние

между прямыми

=

=

и

3

− 2

− 1

x − 2 = y + 1 = z − 1 .

3

3

5

74.

Найти длины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, прохо-

дящей через точкуM (1; − 3; 3) параллельно плоскости 3x + y − 3z = 0 .

75.

Показать, что

прямая

x

=

y − 3

=

z − 1

параллельно

плоскости

6

− 8

x + 3y − 2z + 1 = 0 .

− 9

x − 1

y − 2

z − 3

76. Найти расстояние от точки M (4, 5,10) до прямой

=

=

.

5

77.

уравнение плоскости,

2

4

Найти

проходящей через

параллельные прямые

x − 1

=

y + 2

= −z и

x − 2y + 2z − 8 = 0,

.

6

2

x + 6z − 6 =

0

93

78. Найти расстояние между параллельными прямыми x − 3 = y = z − 1 и 2 2

x + 1 = y − 1 = z . 2 2

79.

Через прямую

x − 1

=

y + 2

= −z

провести плоскость, параллельную

плос-

кости x + y + z = 0 .

6

2

80.

Составить

уравнение плоскости, проходящей через точку A (3; 4; 0) и пря-

мую x − 2 =

y − 3

=

z + 1

81.

2

2

плоскости,

Найти

уравнение

проходящей

через

прямую

x − 3

=

y + 4

=

z − 2

и параллельно прямой

x + 5

= 7 =

z − 1

.

2

1

− 3

4

2

82.

Через прямую

x + 5

=

y − 2

=

z − 1

провести

плоскость,

параллельную

2

3

7

плоскости x + y − z + 15 = 0 .

x = 4t + 2,

+ 1,

83. Найти расстояние от точки P (7; 9; 7) до прямой y = 3t

z = 2t

точки M (1; 2; 3) и

84.

Составить

уравнение

плоскости, проходящей

через

N (− 3; 4; − 5) параллельно сои 0Z .

85.

Составить

уравнение

прямой, образованной пересечением плоскости

3x − y − 7z + 9 = 0

с плоскостью,

проходящей через

ось

0X

и

точку

A (3; 2; − 5).

x − 2y + z + 9 = 0,

86.

При каких значениях b

и d прямая

+ b y + z

+ d =

лежит в плоскости

X0Y ?

3x

0

87.

Найти проекцию точки C (3; − 4; − 2) на плоскость, проходящую через две

прямые:

x − 5

= y − 6 =

z + 3

и

x − 2

= y − 3 =

z + 3

.

13

− 4

13

− 4

88.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей через

прямую

x − 1

=

y − 3

=

z

и точку P (1; 0; 7).

4

2

1

89. Даны вершины треугольника A (4;1; − 2), B (2; 0; 0), C (− 2; 3; − 5). Составить уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противолежащую сторону.

94

90. Показать, что прямые x + 3 =	y + 1		= z + 1	x = 3z − 4,
				и	пересекаются, и
	2			y = z + 2

найти точку А их пересечения.

91.

Через точку M (− 4; − 5; 3)

провести прямую, пересекающую две

данные

прямые

x + 1

=

y + 3

=

z − 2

и

x − 2

=

y + 1

=

z − 1

.

3

− 5

3

− 2

− 1

− 1

92. Найти проекцию точки P (3;1; − 1) на плоскость x + 2y + 3z − 30 = 0 .

93.

вычислить

расстояние от

точки

P (2; 3; − 1)

до

прямой

2x − 2y + z + 3 = 0,

3x − 2y + 2z + 17 = 0.

94. Найти точку М, симметричную точке N (6; − 4; − 2) относительно плоскости

x + y + z = 3 .

95.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

прямую

x + 2y − z + 2 = 0,

x = 1 − t,

= −2 + 2t,

параллельно прямой y

3x − y + z − 5 = 0

= 1 + 2t.

z

96.Найти проекцию точки A (2; − 1; 3) на плоскость 5x − 2y + z + 15 = 0 .

97.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (5; − 7; 3) парал-

x − 3y + 2z − 6 = 0,

лельно прямой

+ 17 = 0.

2x − y + 4z

x − 3

y + 3

z + 6

98.

Найти

расстояние

между прямыми

=

=

и

8

x + 5

y + 3

z + 6

− 1

3

=

=

.

8

− 4

12

x − 1

y

z + 3

99. Найти расстоянии е от точки A (0; 2; 5) до прямой

=

=

.

− 2 1

3

100. Найти уравнения перпендикуляра к плоскости x − 2y + z − 9 = 0 проходя-

щего через точку A (− 2; 0; − 1), и определить координаты основания этого перпендикуляра.

V. Кривые 2- го порядка

Используя параллельный перенос, привести уравнение кривой 2-го по-

рядка к каноническому виду и построить кривую

1. 2 x2 − 8 x + y2 − 6 y + 1 = 0	2.	x2 + 4 x + 4y2 = 0
3. x2 − 8 x − 4y2 = 0	4. y2 − 6 y − x 2 + 2 x = 0

95

5. 9 x 2 − 25y2 − 18x − 100 y − 316 = 0		6. 5 x2 − 6y2 + 10x − 12y − 31 = 0
7. x2 − 4y2 + 6x + z = 0		8. 3 x2 − y2 + 12x − 4y − 4 = 0
9.	x2 − 4y2 + 2x + 16y − 7 = 0	10.	x2 − y2 − 4x + 6y − 7 = 0
11.	4x 2 + 9y2 − 8x + 18y − 23 = 0	12.	9x 2 − 16y2 − 54x − 64y − 127 = 0
13.	x2 + 4y2 + 4x − 8y − 8 = 0	14.	x2 + 2y2 + 8x − 4 = 0
15.	x2 + 2y2 + 8x − 4 = 0	16.	4 x 2 + 9y2 − 40x + 36y + 100 = 0
17.	9 x 2 − 16y2 − 54x − 64y − 127 = 0	18.	9 x 2 + 4y2 + 18x − 8y + 49 = 0
19.	4 x 2 − y2 + 8x − 2y + 3 = 0	20.	2 x 2 + 3y2 + 8x − 6y + 11 = 0
21.	x2 + 10 x − 4y + 33 = 0	22.	y2 − 6x + 2y − 11 = 0
23.	x2 − 4 x + 5y + 14 = 0	24.	2y2 + x − 4 y + 2 = 0
25.	x2 − 8 x + 3y2 + 19 = 0	26.	y2 − 5x + 6 y + 4 = 0
27.	x2 + 6 y + 6x − 6 = 0	28.	y2 + 6x − 8y + 22 = 0
29.	x2 + 8 x − 2 y + 14 = 0	30.	2 y2 − 8 y + x 2 − 6 x + 1 = 0
31.	4 x 2 + y2 + 4y = 0	32.	y2 − 8 y − 4x2 = 0
33.	x2 − 6 x − y2 + 2y = 0	34.	9y2 − 25x2 − 18y − 100x − 316 = 0
35.	5y2 − 6 x + 10y − 12x − 31 = 0	36.	y2 − 4 x + 6y + 5 = 0
37.	3y2 − x 2 + 12y − 4x − 4 = 0	38.	y2 − 4x 2 + 2 y + 16x − 7 = 0
39.	y2 − x2 − 4 y + 6x − 5 = 0	40.	9 x 2 + 4y2 − 8 y + 18x − 23 = 0
41. 16 x 2 − 9y2 + 54 y + 64x + 127 = 0		42.	y2 + x 2 − 2 y + 6x − 5 = 0
43.	4 x 2 + y2 − 8x + 4 y − 8 = 0	44.	2 x 2 + y2 + 8 y − 4 = 0
45.	9 x 2 + 4y2 − 40 y + 36x + 100 = 0	46.	− 4y2 + x 2 + 8 y − 2x + 3 = 0
47.	3 x2 + 2y2 + 8 y − 6x + 11 = 0	48.	y2 + 10y − 4x + 33 = 0
49.	x2 − 6y + 2x − 11 = 0	50.	y2 − 4 y + 5x + 14 = 0
51.	2 x 2 + y − 4x + 2 = 0	52.	2 x 2 + y − 4x + 2 = 0
53.	y2 − 8 y + 3x + 19 = 0	54.	x2 − 5y + 6 x + 4 = 0

96

55.	x2 + 6y − 8x + 22 = 0	56.	y2 + 8y − 2x + 14 = 0
57.	4 x 2 + 9y2 − 40x + 36y + 80 = 0	58.	9 x 2 − 16y2 − 54x − 64y − 130 = 0
59.	9 x 2 + 4y2 + 18x − 8y + 65 = 0	60.	4 x 2 − y2 + 8x − 2 y + 5 = 0
61.	2 x 2 + 3y2 + 8x − 6y + 12 = 0	62.	3 x2 − y2 + 12x − 4y − 8 = 0
63.	9 x 2 − 22y2 − 18x − 100y − 320 = 0	64.	2 x 2 − 8 x + y2 − 6 y + 5 = 0
65.	x2 + 10x − 4y + 10 = 0	66.	y2 − 4x + 8 y − 5 = 0
67.	x2 − 6 x + 3 y + 6 = 0	68.	x2 − 16 x + 7y + 12 = 0
69.	x2 + 6y + 7x − 3 = 0	70.	y2 + 6 x − 12y + 7 = 0
71.	9 x2 + 4y2 − 6x = 0	72.	y2 − 6 y + 16x2 = 0
73.	x2 − 4 x + y2 − 2 y = 0	74.	2y2 − 4 y + x 2 − 6y + 1 = 0
75.	8 x2 − 4 x + y2 = 0	76.	x2 + y2 − 4x − 6y = 0
77.	x2 + y2 − 4x + 4y + 3 = 0	78.	x2 + 12x − 6y + 3 = 0
79.	8 x2 + y2 − 4y − 2x = 0	80.	4y − x2 − 4x − 8 = 0
81.	16 x 2 − 9y2 − 64x − 54y − 161 = 0	82. 16 x 2 + 25y2 + 32x − 100y − 284 = 0
83.	9x 2 + 9 − y2 = 0	84.	x2 + 4y2 − 24y + 20 = 0
85.	4 x 2 + 9y2 − 8x + 6y − 23 = 0	86.	x2 + 2y2 + 8x − 4y = 0
87.	x2 + 10x − 4y + y2 = 0	88.	x2 − 4x + 5y + 12 = 0
89.	9x 2 + 4y2 + 18x − 4y + 5 = 0	90.	x2 − 8x − 4y2 − 4 = 0
91.	x2 + 4y2 + 4x − 8y − 8 = 0	92.	4x 2 + 9y2 − 40x + 36y + 100 = 0
93.	9 x 2 + 4y2 + 18x − 8y + 49 = 0	94.	x2 + 10x − 4y + 33 = 0
95.	y2 + 10y − 4x + 33 = 0	96.	x2 − 4x + 5y −14 = 0
97.	2 x 2 + 3y2 + 8x − 6y + 11 = 0	98.	x2 − 4x + 5y + 14 = 0
99.	x2 + 2y2 + 8x − 4 = 0	100. x2 − 4y2 + 2x + 16y − 7 = 0

97

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

I. Найти пределы функций, используя при необходимости замечательные пределы*

1.1. Найти пределы:

x + 2 5x

1.

lim

x →∞ x − 3

1 − x

4x 2

2.

lim

3 + x2

x →∞

2x + 3 3x

3.

lim

x →∞

2x − 5

4.

lim

sin 3x

x →0

x + 2 −

2

1

x

5.

lim 1 +

3x

x →∞

3x + 2 7 x

6.

lim

x →∞

3x − 1

7

x 2 +1

7.

lim 1 −

2x 2

x →∞

1

6x +1

8.

lim 1 +

x →∞

2 x

1

x 2

+ 4x −1

9.

lim 1 +

2

6 x

+

x →∞

1

10.lim (1 + 10 x)3x

x→0 1

11.lim (1 − 5x)3x

x→0 1

x + 3 2x

12. lim

x →∞ x − 5

8 + x 2x +1

13. lim

x →∞ 10 + x

lim tg x − sin x x →0 x sin2 x

lim

tg x − sin x

x →0

x3

lim

tg x + sin x

x →0

2 x

3x 2 + 1

5x 2

2

lim

3x

− 2

x →∞

lim

ln (1 + x 2 )

tg2 8x

x →0

lim

2sin x

− 1

x

x →0

lim

ex −1 −1

x − 1

x →1

− 1

lim

1 + x sin x

x 2

x →0

3 1 + x 2 − 1

lim

x →0 1 − cos x

	lim	x arcsin x
		arctg2 3 2x
	x →0
	lim	ln (1 + 2 x)
		tg 3x
	x →0

lim e3x − 1 x →0 sin 2x

lim 7x 2 − 1

x →0 tg2 2x

14.	lim (cos 2x)						1
							sin 2 x
	x →0
		x 2			+ 2		x 2
15.	lim
				2
			x		− 1
	x →0

7 − x 3x −1

16.

lim

x →∞

x +

3

17.

lim (1 + tg x)ctg x

x →0

4

lg 1 +

x2

18.

lim

1

x →∞

1 − cos

x

1

x

19.

lim

1 +

x

x → +∞

2

2

7 x

20.

lim

1 −

x →∞

3x

2x + 3

4x +1

21.

lim

x →∞

2x − 1

1 + x 2

x 2

22.

lim

1 +

2x

2

x →∞

1 + 3x + x 2 2x 2

23.

lim

2

2 + x

x →∞

x2

+ x + 1 x 2

24.

lim

2

x

+

4

x →∞

2x + 1

1− x

25.

lim

x →∞

2x + 3

2

2x

26.

lim

1 −

x →∞

3x + 1

98

		1 − cos				1
	lim					x
						2
	x →∞			1
			4 x		− 1

2

lim x sin

x →0

x

lim

ln (1 − x)

x →0

sin 2x

lim

x 2 − 1

x →1

5

x − 1

lim

sin 3x

x → π sin 8x

lim

tg x − sin x

x →0

x sin2 x

lim

9 x 2 − 9

x →1

9

x − 1

lim

ln (1 + 3x)

6 1 + x − 1

x →0

lim

1 − cos 3 x

x sin 4x

x →0

lim

tg 4x

tg 7x

x →π

lim (x − 2)ctg π x

x → 2

x3

x2

lim

−

2

5 x

+

1 5x − 3

x →∞

lim

x − 1

4 x − 1

x →1