razdel2UMK

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

дисциплины «Математика»

________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 2 «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов

Уфа • 2007

УДК 514.12(07) ББК 22.151.5 я 7 У90

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин

Редколлегия:

АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.

Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета.

Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин.

Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 2 «Аналитическая геометрия». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 113 с.

Содержит теоретические материалы, способы и методы решения практических задач, задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы для самопроверки, список рекомендуемой литературы.

Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 514.12(07) ББК 22.151 я 7

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

1. Теоретические основы

Введение

1.1.Плоская линия и ее уравнение в R2

1.2.Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

1.3.Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

1.4.Уравнение прямой по двум точкам

1.5.Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

1.6.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми

1.7.Общее уравнение прямой

1.8.Кривые второго порядка. Окружность

1.9.Эллипс

1.10.Гипербола

1.11.Парабола

6

6

8

9

11

12

13

16

18

20

22

25

1.12.Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, 27 параллельными осям координат

1.13.Исследование общего уравнения кривой второго порядка, не 29 содержащего члена с произведением текущих координат

1.14.Неравенства второй степени относительно двух переменных

1.15.Поверхности и линии в пространстве R3

1.16.Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

1.17.Уравнение плоскости по трем точкам

1.18.Общее уравнение плоскости

1.19.Угол между плоскостями

33

34

36

37

38

39

1.20. Прямая в пространстве R3 . Векторное, канонические и пара-	41
метрические уравнения прямой
1.21. Уравнения прямой по двум ее точкам	43
1.22. Общие уравнения прямой	43
1.23. Угол между двумя прямыми	46
1.24. Прямая и плоскость в пространстве R3	47
1.25. Поверхности второго порядка	51
1.26. Цилиндрические поверхности	52
1.27. Эллипсоид	54
1.28. Эллиптический параболоид	56
1.29. Однополостный гиперболоид	58
1.30. Двуполостный гиперболоид	60
2. Методические указания для студентов
2.1 Плоская линия и ее уравнение	63
2.2 Виды уравнения прямой на плоскости	64
2.3 Кривые второго порядка	68

2.4	Поверхность и ее уравнение	72
2.5	Виды уравнений плоскости	72
2.6	Виды уравнений прямой в пространстве	76
2.7	Прямая и плоскость в пространстве R 3	79
2.8	Поверхности второго порядка	81
	3. Материалы для самостоятельной работы студентов
3.1	Контрольные вопросы	88
3.2	Задачи и упражнения для самостоятельной работы	89
3.3	Расчетные задания	98
3.4	Литература	113

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 2 «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

1. Теоретические основы

ВВЕДЕНИЕ

Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки является метод координат, позволяющий определять положение точки в некотором пространстве с помощью чисел-координат этой точки.

Так как в геометрии ее объекты (линии, поверхности, фигуры) определяются как множества точек, обладающих некоторым общим геометрическим свойством, то метод координат позволил описывать эти объекты, используя связи между числами - координатами точек объектов, т.е. средствами алгебры.

1.1.ПЛОСКАЯ ЛИНИЯ И ЕЕ УРАВНЕНИЕ В R 2

Вгеометрии плоская линия l определяется как множество точек плоско-

сти (геометрическое место точек), обладающих некоторым общим для всех точек линии свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех

точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой точки O этой плоскости.

Введем аналитическое определение плоской линии. Пусть на плоскости введена декартова система координат. Выберем на этой плоскости произвольную точку M(x; y) . Рассмотрим вместе со множеством точек координатной

плоскости множество уравнений вида F(x, y) = 0 . Будем говорить, что числа

x = x0 , y = y0	удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0 , если F(x0 , y0 ) ≡ 0 и
ему не удовлетворяют, если		F(x0 , y0 ) ≠ 0.		Например числа x0			= 1, y0 = 5
удовлетворяют	уравнению	5x − y = 0	и	не удовлетворяют			уравнению
3x + y + 2 = 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Уравнение F(x, y) = 0 , связывающее между собой
переменные x и y называют		уравнением плоской линии l в выбранной сис-
теме координат, если координаты x и			y любой точки
					M этой линии ему

удовлетворяют , а координаты всех точек , не лежащих на ней , ему не удовлетворяют .

Множество всех точек координатной плоскости , координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0 , будем называть плоской линией (пло-

ской кривой) .

Заметим, что это множество точек может содержать сколько угодно точек, быть конечным или даже оказаться пустым. Например, уравнению

y = x 2	удовлетворяют координаты бесконечного множества точек; уравне-
нию x 2 + y2 = 0 удовлетворяют		координаты только одной	точки
O(0;0) ;	уравнению x 2 + y2 +1 = 0	не удовлетворяют координаты всех то-

чек плоскости. В первом случае плоская кривая является обычной кривой (па-

6

рабола); во втором - кривая представляет собой точку; в третьем - мнимую плоскую кривую (мнимая окружность).

Из определения 1.1. следует, что любое уравнение вида F(x, y) = 0 в

общем случае определяет на координатной плоскости XOY некоторую линию. Для ее построения можно воспользоваться обычным методом точек.

ПРИМЕР 1.1. Построить линию, заданную уравнением y = x

Придавая переменной x различные числовые значения и вычисляя соответствующие значения y , построим таблицу:

x	0	1	4	9	...
y	0	1	2	3	...

Введем на плоскости декартову систему координат и построим на этой плоскости соответствующие точки с координатами x , y. Соединяя построен-

ные точки линией, получим искомую кривую (рис. 1.1)

y

0	x
	Рис. 1.1

В аналитической геометрии из бесконечного множества уравнений наиболее полно изучаются так называемые алгебраические уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Уравнение F(x, y) = 0 называется алгебраическим, если выражениеF(x, y) есть сумма конечного числа слагаемых вида

Axk ym , где k, m − целые неотрицательные числа, A -действительное число.

При этом наибольшая из сумм степеней k + m называется степенью уравне-

ния.

Например, уравнения 2x −3y +5 = 0, xy −7 = 0 есть алгебраические

уравнения соответственно первой и второй степеней. Уравнение y − x = 0

алгебраическим не является.

Уравнение Ax + By + C = 0 , где A, B,C - действительные числа, является наиболее общим алгебраическим уравнением первой степени. Уравнение Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + Q = 0 - общее алгебраическое уравнение второй степени.

7

Задача изучения свойств линии по известному ее уравнению является одной из главных задач аналитической геометрии. Второй центральной задачей этой науки является решение обратной задачи, т.е. задачи определения уравнения линии , если известны все ее точки. Например, непосредственно из определения окружности с центром в начале координат (рис.1.2) следует, что

OM = R x 2 + y2 = R x 2 + y2 = R 2 ,

если произвольная точка плоскости M(x; y)принадлежит окружности , и OM ≠ R , если точка M(x; y) не принадлежит окружности. Следовательно, x 2 + y2 = R 2 , если M l или x 2 + y ≠ R 2 , если M l. Тогда, согласно

определения 1.1. уравнение x 2 + y2 = R 2 есть уравнение искомой окружности.

y

М(x, y)

0 R x

Рис. 1.2

1.2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ТОЧКЕ И НОРМАЛЬНОМУ ВЕКТОРУ

Положение прямой l на координатной плоскости XOY вполне определяется заданием:

1)любых двух ее точек;

2)точки и вектора, параллельного l;

3)точки и вектора, перпендикулярного l;

4)углового коэффициента и отрезка, отсекаемого прямой от оси OY;

5)других величин.

Поставим задачу определения уравнения прямой l в каждом из перечисленных способов ее задания.

Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

Пусть на плоскости XOYдана точка M0 (x0 ; y0 ) и вектор N = Ai + Bj (рис.1.3). Требуется определить уравнение прямой l проходящей

8

через точкуM0 перпендикулярно вектору

(вектор

l называется нор-

N

N

мальным вектором прямой ).

точку M(x; y) и построим вектор

Выберем на плоскости произвольную

= (x − x0 )

+(y − y0 )

M0M

i

j.

y

l

N

M

M0

0

x

Рис. 1.3

Рассмотрим два случая:

1) пусть точка M l. Тогда M0M N M0M N = 0 или

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0;

(1.1)

2) если точка M l,

и

не перпендикулярны.

то векторы

M0

M

N

Следовательно

≠ 0

или A(x − x0 ) + B(y − y0 ) ≠ 0. Из 1) и 2) и

M0M

N

определения 1.1. уравнения плоской линии следует, что уравнение (1.1) является уравнением искомой прямой l.

Уравнение (1.1) называется уравнением прямой по точке и нормальному

вектору		= {A; B}.
	N
ПРИМЕР			1.2. Найти уравнение прямой l, проходящей через					точку
M0 (2;3) перпендикулярно вектору					={4;5}.
				N
Решение.			Уравнение прямой			l будем искать	в	виде
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0. По условию						A = 4, B = 5, x0 = 2, y0	= 3. Тогда
для l получим			4(x − 2) +5(y −3) = 0 4x +5y − 23 = 0.

1.3. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ТОЧКЕ И НАПРАВЛЯЮЩЕМУ ВЕКТОРУ

Пусть на плоскости XOY дана точка M0 (x 0 ; y0 ) и вектор S = mi + n j

(рис 1.4).

9

y

l

M S

M0

0

x

Рис. 1.4

Требуется определить уравнение прямой l проходящей через точку

M0 (x0 ; y0 ) параллельно

вектору

S

(вектор

S

называется направляющим

вектором прямой).

Выберем на плоскости XOYпроизвольную точку M(x; y) и построим

вектор

= (x − x0 )

+ (y − y0 )

M0

M

i

j.

Рассмотрим два случая:

1) пусть точка M l.Тогда

M0M

S

. Следовательно, векторы

коллинеарны. Итак,

= λ

, где λ - некоторое

M0 M

S

и

M0M

S

действительное число. Тогда

(x − x0 )

+ (y − y0 )

i

j = λ(mi + n j)

x

− x

0

= mλ

x − x

0

=

y − y

0

= λ

x − x0

=

y − y0

;

(1.2)

m

n

− y0 = nλ

m

n

y

M l.Тогда

≠ λ

при

любом λ. Отсюда и

2)

пусть

точка

M0M

S

x − x0

≠

y − y0

. Из 1) и 2) и определения 1.1 уравнения

линии следует, что

m

n

уравнение (1.2) является уравнением искомой прямой l. Уравнение (1.2) назы-
вается уравнением прямой по точке и направляющему вектору					=	{m;n}. Его
				S
также называют каноническим уравнением прямой.
Замечание. Если прямая l проходит через точку M0 (x0 ; y0 ) и парал-
лельна оси OX , то направляющий вектор		также параллелен этой оси. Сле-
	S
довательно, S ={m;0}. Хотя его проекция	n = 0, уравнение этой прямой ус-
ловились записывать в канонической форме, т.е. в форме			x − x0				=	y − y0	.
			m
						0

Последнее уравнение считается другой формой записи уравнения этой прямой

10