metodII.pdf матека

86.а)

87.а)

88.а)

89.а)

90.а)

91.а)

92.а)

93.а)

94.а)

95.а)

96.а)

97.а)

98.а)

99.а)

+∞

x

∫0 (x + 2)3 dx

	1			dx
	∫
			x 2	+ 4x + 13
	−∞
	∞		x 2
					dx
	∫ x 2			+ 4
	3
	∞			dx
	∫
		x 2		− 5x + 6
	4

0

x

−∞∫ (x − 3)4 dx

0

dx

−∫∞ x 2 + 4

+∞			dx
∫
		x		x −1
2
∞				x2

−

∫x e 2 dx

0

+∞

∫1 x dx x

∞

∫x e−x2 dx

0

+∞

dx

∫0 1 + x 3

0

∫ x sin 2xdx

−∞

0

x

−∫∞ x 2 + x + 1 dx

∞

∫x 2 e−x3 dx

0

б)

б)

б)

б)

б)

б

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

111

4

dx

∫

3 (4 − x )2

2

3

dx

∫

( x − 2 ) 2

0

1

x

2

∫

dx

0

1 − x 3

1

dx

∫

x (1 + x )

0

π

4

dx

∫

1 + cos 4 x

0

π

dx

∫

1 + cos x

π

2

2

x

∫

dx

− 3

9 − x 2

2

xdx

∫

x − 1

1

1

3 x

2

+

2

∫

dx

0

x

2

xdx

∫

4 − x

2

0

1

∫x ln(1− x)dx

0

	3			x
	∫								dx
			3 x 2		− 4
	2
	0
				4 − x 2
	∫			x	2				dx
	−1
	0		ln( x + 1)				dx
	∫			x + 1
	−1

						112
100. а)	+∞		dx		3	x + 3
					б) ∫1
							dx
	∫1 x
			ln x +1			3 − x

Контрольная работа №5 Интегральное исчисление функции нескольких переменных

1. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными ли-

ниями

1.D : y = 4 − x 2 , y = 3x , x ≥ 0.

2.D : x 2 = 2y,5x − 2y − 6 = 0.

3.D : x = 8 − y2 y ≥ 0, y = x.

4.D : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1, y = ln x.

5.D : x 2 = 2 − y, x + y = 0.

6.D : y = 2 − x 2 , y = x 2 .

7.D : y = x 2 − 2, y = x.

8.D : x ≥ 0, y ≥ 1, y ≤ 3, y = x.

9.D : y2 = 2x, x 2 = 2y, x ≤ 1.

10.D : x ≥ 0, y ≥ x, y = 9 − x 2 .

11.D : y2 = 2 − x, y = x.

12.D : x = 2 − y2 , x = y2 , y ≥ 0.

13.D : y ≥ 0, x + 2y −12 = 0, y = lg x.

14.D : x ≤ 0, y ≥ 1, y ≤ 3, y = −x.

15.D : y = 0, y ≥ x, y = −2 − x 2 .

16.D : y ≥ 0, x = y, y = 8 − x 2 .

18.D : y = 4 − x 2 , x ≥ 0, x = 1, y = 0.

19.D : x = −1, x = −2, y ≥ 1, y = x 2 .

20.D : y ≤ 0, x 2 = −y, x = 1− y2 .

21.D : y ≥ 0, y ≤ 1, y = x, x = −4 − y2 .

22.D : x ≤ 0, y = 1, y = 4, y = −x.

23.D : y = 3 − x 2 , y = −x.

24.D : x = 0, x = −2, y ≥ 0, y = x 2 + 4.

25.D : x = 0, y = 0, y = 1, (x − 3)2 + y2 = 1.

26.D : x = 9 − y2 , y = x, y ≥ 0.

113

27.D : x + 2y − 6 = 0, y = x, y ≥ 0.

28.D : y = −x,3x + y = 3, y = 3.

29.D : x ≥ 0, y = 1, y = −1, y = log1 2 x.

30.D : x ≥ 0, y ≥ 0, y = 1, x = 4 − y2 .

31D : y 2 = 4x, x + y = 3, y ≥ 0.

Контрольная работа №5 Интегральное исчисление функции нескольких переменных

1. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными ли- ниями

1.D : y = 4 − x 2 , y = 3x , x ≥ 0.

2.D : x 2 = 2y,5x − 2y − 6 = 0.

3.D : x = 8 − y2 y ≥ 0, y = x.

4.D : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1, y = ln x.

5.D : x 2 = 2 − y, x + y = 0.

6.D : y = 2 − x 2 , y = x 2 .

7.D : y = x 2 − 2, y = x.

8.D : x ≥ 0, y ≥ 1, y ≤ 3, y = x.

9.D : y2 = 2x, x 2 = 2y, x ≤ 1.

10.D : x ≥ 0, y ≥ x, y = 9 − x 2 .

11.D : y2 = 2 − x, y = x.

12.D : x = 2 − y2 , x = y2 , y ≥ 0.

13.D : y ≥ 0, x + 2y −12 = 0, y = lg x.

14.D : x ≤ 0, y ≥ 1, y ≤ 3, y = −x.

15.D : y = 0, y ≥ x, y = −2 − x 2 .

16.D : y ≥ 0, x = y, y = 8 − x 2 .

18.D : y = 4 − x 2 , x ≥ 0, x = 1, y = 0.

19.D : x = −1, x = −2, y ≥ 1, y = x 2 .

20.D : y ≤ 0, x 2 = −y, x = 1− y2 .

21.D : y ≥ 0, y ≤ 1, y = x, x = −4 − y2 .

22.D : x ≤ 0, y = 1, y = 4, y = −x.

23.D : y = 3 − x 2 , y = −x.

24.D : x = 0, x = −2, y ≥ 0, y = x 2 + 4.

114

25.D : x = 0, y = 0, y = 1, (x − 3)2 + y2 = 1.

26.D : x = 9 − y2 , y = x, y ≥ 0.

27.D : x + 2y − 6 = 0, y = x, y ≥ 0.

28.D : y = −x,3x + y = 3, y = 3.

29.D : x ≥ 0, y = 1, y = −1, y = log1 2 x.

30.D : x ≥ 0, y ≥ 0, y = 1, x = 4 − y2 .

31D : y 2 = 4x, x + y = 3, y ≥ 0.

32.D : y = 6x 2 , x + y = 2, x ≥ 0.

33.D : y 2 = x + 2, x = 2.

34.D : x = −2 y 2 , x = 1 − 3y 2 , x ≤ 0, y ≥ 0.

35.D : 8 /(x 2 + 4), x 2 = 4 y.

36.D : y = x 2 + 1, x + y = 3.

37.D : y 2 = 4x, x 2 = 4 y.

38.D : y = cos x, y ≤ x + 1, y ≥ 0

39.D : x = 4 − y 2 , y = 3x , x ≥ 0.

40.D : y − x 2 + 2, x ≥ 0, x = 2, y = x.

41.D : y = 4x 2 ,9 y = x 2 , y ≤ 2.

42.D : y = x 2 , y = −x.

43.D : x = y 2 , x = 3 y 2 + 1.

4

44.D : y = 2 − x 2 , y = x 2 .

45.D : y = x 2 + 4x, y = x + 4.

46.D : 2 y = x , x + y = 5, x ≥ 0.

47.D : y = 2 x , y = 2x − x 2 , x = 2, x = 0.

48.D : y = −2x 2 + 2, y ≥ −6.

49.D : y 2 = 4x, x = 8 /( y 2 + 4).

50.D : y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2x.

115

51.D : x = y 2 + 1, x + y = 3.

52.D : x 2 = 3y, y 2 = 3x

53.D : x = cos y, x ≤ y + 1, x ≥ 0.

54.D : x = 4 − y 2 , x − y + 2 = 0

55.D : x = y 2 , x = 2 − y 2 .

56. D :	x 2	+	y 2	= 1, y ≤	1	x, y ≥ 0.
4			1		2

57.D : y 2 = 4 − x, y = x + 2, y = 2, y = −2.

58.D : y = x 2 , y = 3 x 2 + 1.

4

59.D : x = y 2 , y 2 = 4 − x

60.D : xy = 1, x 2 = y, y = 2, x = 0.

2.С помощью двойных интегралов вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями.

61.(x 2 + y2 )2 = a 2 (4x 2 + y2 ).

62.(x 2 + y2 )3 = a 2 x 2 y2 .

63.(x 2 + y2 )3 = a 2 x 2 (4x 2 + 3y2 ).

64.(x 2 + y2 )2 = a 2 (3x 2 + 2y2 ).

65.x 4 − y4 = (x 2 + y2 )3 .

66.ρ = a sin 2 2ϕ.

67.ρ = a sin 2 ϕ.

68.ρ = a(1 − cos ϕ).

69.(x 2 + y2 )2 = a 2 (2x 2 + 3y2 ).

70.(x 2 + y2 )2 = a 2 (5x 2 + 3y2 ).

71.(x 2 + y2 )2 = a 2 (7x 2 + 5y2 ).

72.( x 2 + y 2 ) 2 = 2 a 2 xy .

116

73.(x 2 + y2 )3 = 4x 2 y2 .

74.(x 2 + y2 )3 = a 4 y2 .

75.(x 2 + y2 )3 = a 4 y2 .

76.ρ = a cos2 ϕ.

77.ρ2 = a 2 (1 + sin 2 ϕ).

78.(x 2 + y2 )3 = a 2 x 4 .

79.(x 2 + y2 )2 = 4(3x 2 + 4y2 ).

80.(x 2 + y2 )3 = a 2 x 2 y2 .

81.(x 2 + y2 )3 = a 2 (x 4 + y4 ).

82.(x 2 + y2 )3 = 2ay3 .

83.(x 2 + y2 )3 = 4a 2 xy(x 2 − y2 ).

84.ρ = a sin 2ϕ.

85.ρ = a cos 5ϕ.

86.ρ = 4(1 + cos ϕ).

87.ρ = 2a(2 + cos ϕ).

88.ρ2 = a 2 cos 3ϕ.

89.ρ2 = a 2 cos 2ϕ.

90.ρ = a sin 3ϕ.

91.ρ = 4 sin 2ϕ.

92.ρ = a cos 3ϕ.

93.ρ = 8(1 − cosϕ ).

94.ρ = 6(2 + cosϕ ).

6.

7.

2.

3.

117

95.ρ 2 = 4 cos 3ϕ.

96.ρ 2 = 16 cos 2ϕ .

97.ρ = 9 sin 5ϕ.

98.(x2 + y 2 )2 = a 2 (9x 2 + y 2 ).

99.(x2 + y 2 )3 = 4x 2 y 2 .

100.(x2 + y 2 )3 = x 2 (x 2 + y 2 ).

Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле ∫∫∫f (x, y, z)dxdydz,

V

если область V ограничена указанными поверхностями. Начертить область интегрирования

1. V :x = 2, y = 4x, y = 3 x , z ≥ 0, z = 4

V :x = 1, y = 3x, y ≥ 0, z ≥ 0, z = 2 (x 2 + y 2 )

V :x = 1, y = 4x, z ≥ 0, z = 3 y

4.V :x = 3, y = x, y ≥ 0, z ≥ 0, z = 3 x 2 + y 2

5.V : y = 2x, y = 2, z ≥ 0, z = 2 x

V :x = 0, y = x, y = 5, z ≥ 0, z = 2 x 2 + y 2 .

V :x ≥ 0, y = 2x, y = 1, z ≥ 0, x + y + z = 3 .

8.V :x ≥ 0, y = 3x, y = 3, z ≥ 0, x = 3 z .

9.V :x = 5, y = x5, y ≥ 0, z ≥ 0, z = x 2 + 5y 2

10.V :x = 2, y = 4x, , z ≥ 0, y = 2 z .

11.	V :x = 3, y =	1	x, y ≥ 0, z ≥ 0, z =		1	(x 2	+ y2 ).
	3			2
12.	V :x = 4, y = x 4 ,			z ≥ 0, z = 4 y 2 .
13.	V :x ≥ 0, y = 3x, y = 3, z ≥ 0, z = 2 (x 2 + y 2 ).
14.	V :x ≥ 0, y = 4x, y = 8x, z ≥ 0, z = 3 x 2						+ y 2 .

	118
15.	V :x ≥ 0, y = 5x, y = 10, z ≥ 0, z = x 2 + y 2 .
16.	V : y = x, y = −x, y = 2, z ≥ 0, z = 3 (x 2 + y 2 ).

17.V :x = 1, y = 2x, y = 3 x, z ≥ 0, z = 2x 2 + y 2 .

18.V : y = x, y = −2x, y = 1, z ≥ 0, z = x 2 + 4y 2 .

19.V :x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y = 1, z = 3 x 2 + 2 y 2 .

20. V :x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 3x + 2y = 6, z = x 2 + y 2 .

21 V :x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y = 2, z = 4 − x 2 − y 2 . 22. V :x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y = 3, z = 9 − x 2 − y 2 .

23.V :x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 3x + 4y = 12, z = 6 − x 2 − y 2 .

24.V :x ≥ 0, z ≥ 0, y = x, y = 3, z = 18 − x 2 − y 2 .

25. V :x = 2, y ≥ 0, z ≥ 0, y = 3x, z = 4 (x 2 + y 2 ).

26.V :x ≥ 0, y = 2x, y = 4, z ≥ 0, z = 10 − x 2 − y 2 .

27.V :x = 3, y ≥ 0, z ≥ 0, y = 2x, z = 4 y .

28.	V :x ≥ 0, y ≥ 0,	z ≥ 0, 2x + 3y = 6, z = 3 + x 2 + y 2 .
29.	V :x ≥ 0, y ≥, z ≥ 0, x + y = 4, z = 16 − x 2 − y 2 .
30.	V : x ≥ 0, y ≥ 0,	z ≥ 0, 5x + y = 5, z = x 2 + y 2 .

Вычислить данные тройные интегралы

31. ∫∫∫ (2x 2 + 3y + z)dxdydz, V : 2 ≤ x ≤ 3, − 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 .

V

32. ∫∫∫x 2 dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 2 ≤ z ≤ 3.

V

33. ∫∫∫ (x + y + 4z 2 )dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, − 1 ≤ z ≤ 1.

V

34. ∫∫∫ (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz, V :0 ≤ x ≤ 3, − 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2 .

V

119

35. ∫∫∫ x 2 y 2 z dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, − 2 ≤ z ≤ 5 .

V

36. ∫∫∫ (x + y + z)dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 0, 1 ≤ z ≤ 2 .

V

37. ∫∫∫ (2x − y 2 − z)dxdydz, V : 1 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 2, − 1 ≤ z ≤ 0 .

V

38. ∫∫∫ 2 x y 2 z dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 3, − 2 ≤ y ≤ 0, 1 ≤ z ≤ 2 .

V

39. ∫∫∫ 5 x y z 2 dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 0, 2 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ z ≤ 2 .

V

40. ∫∫∫ (x 2 + 2y 2 − z)dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3, − 1 ≤ z ≤ 2 .

V

41. ∫∫∫ (x + 2y z)dxdydz, V : − 2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2 .

V

42. ∫∫∫ (x + y z 2 )dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, − 1 ≤ z ≤ 3.

V

43. ∫∫∫ (x y + 3z)dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2 .

V

44. ∫∫∫ (x y − z 2 )dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, − 1 ≤ z ≤ 3.

V

45. ∫∫∫ (x 3 + y z)dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

V

46. ∫∫∫ (x 3 + y 2 − z)dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ z ≤ 1.

V

47. ∫∫∫ (2 x 2 + y − z3 )dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 1, − 2 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

V

48. ∫∫∫ x 2 y z 2 dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, − 1 ≤ z ≤ 0 .

V

49. ∫∫∫ (x + y − z)dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 3, − 1 ≤ z ≤ 5 .

V

50. ∫∫∫ (x + 2y + 3z 2 )dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2 .

V

120

51. ∫∫∫ (3 x 2 + 2y + z)dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, − 1 ≤ z ≤ 3 .

V

52. ∫∫∫

V

53. ∫∫∫

V

54. ∫∫∫

V

55. ∫∫∫

V

(x y − z3 )dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.

x 3 dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1.

x y 2 z dxdydz, V : − 2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.

x y z 2 dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ z ≤ 4 .

56. ∫∫∫ (x + y z)dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 2 .

V

57. ∫∫∫ (x + y 2 − z 2 )dxdydz, V : − 2 ≤ x ≤ 0, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 5.

V

58. ∫∫∫ (x + y + z 2 )dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 0, − 2 ≤ y ≤ 3, 2 ≤ z ≤ 3 .

V

59.	∫∫∫ (x + y 2 − 2z)dxdydz, V : 1 ≤ x ≤ 2, − 2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1.
	V
60.	∫∫∫ ( x − y − z)dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1, − 2 ≤ z ≤ 1.
	V
61.	∫∫∫ xy dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3, 2 ≤ z ≤ 3 .
	V
62.	∫∫∫ (x + y 2 + z )dxdydz, V : − 1 ≤ x ≤ 1,		0 ≤ y ≤ 2,	− 1 ≤ z ≤ 1.
	V
63.	∫∫∫ (x + 4 y 2 + z	)dxdydz, V :0 ≤ x ≤ 3,	0 ≤ y ≤ 4,	0 ≤ z ≤ 2 .
	V
64.	∫∫∫ x y z dxdydz,	V : − 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, − 1 ≤ z ≤ 5.
	V
65.	∫∫∫ (x + 3y + 2z )dxdydz, V : 0 ≤ x ≤ 1,		− 1 ≤ y ≤ 0, 1 ≤ z ≤ 4 .
	V