metodII.pdf матека

		СОДЕРЖАНИЕ
	Введение……………………………………………………………………..		3
	1.	Общие рекомендации студенту-заочнику по работе	4
	над курсом высшей математики……………………………………………
	2.	Изучение теоретического материала…………………………………….	4

3.Решение задач…………………………………………………………….. 4

4.Самопроверка…………………………………………………………….. 5

5.Консультации……………………………………………………………... 5

	6.	Контрольные работы……………………………………………………..		6
	7.	Лекции, практические занятия…………………………………………...		6
	8.	Зачеты и экзамены………………………………………………………..		6
	9.	Календарный план курса математики для инженерно-		7
	технических специальностей (II семестр)………………………………….
	10.		Первообразная и неопределенный интеграл…………………………	8
	11.		Простейшие приемы интегрирования……………………………….	9
	12.		Интегрирование подстановкой (замена переменной)…………………	10
	13.		Интегрирование по частям………………………………………………	10
	14.		Интегрирование дробно-рациональной функции……………………..	11
	15.		Интегрирование некоторых классов тригонометрических
	функций………………………………………………………………………			14
	16.		Интегрирование некоторых классов
	иррациональных функций…………………………………………………..			15
	17.		Определенный интеграл и его свойства……………………………….	16

18.Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-

	Лейбница……………………………………………….		17
	19.	Замена переменной в определенном интеграле……………………….	19
	20.	Интегрирование по частям………………………………………………	20
	21.	Несобственные интегралы………………………………………………	21
	22.	Приложения определенного интеграла………………………………...	23
	23.	Двойной интеграл и его свойства………………………………………	24
	24.	Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл…………….	27
	25.	Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного	30
	интеграла в полярной системе координат………………………………….
	26.	Приложения двойных интегралов к задачам	32
	геометрии и механики………………………………………………………
	27.	Тройной интеграл и его свойства, вычисление………………………..	34
	28.	Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл	38

	2
в цилиндрических и сферических координатах……………………………
29.	Применение тройных интегралов………………………………………	40
30.	Криволинейные интегралы первого рода (или по длине дуги)……….	41
31.	Вычисление криволинейного интеграла первого рода………………..	42
32.	Криволинейный интеграл второго рода (или по координатам)………	44
49.	Задачи для контрольных работ…………………………………………	86

50.Контрольные работы……………………………………………………. 92

51.Правила выполнения и оформления контрольных

работ………………………………………………………………………….. 92

Список литературы…..…………………………………………………….. 93

3

ВВЕДЕНИЕ

Программа дисциплины имеет целью обеспечить базовую подготовку в области математических наук: алгебра, геометрия, математический анализ, уравнения математической физики, теория вероятностей и случайные процессы, математическая статистика, дискретная математика и др.

Курс математики, построенный по данной программе, является фундаментом математического образования – важнейшей составляющей в общей подготовке инженера. Целью математического образования является: воспитание достаточно высокой математической культуры; развитие логического и алгоритмического мышления, математической интуиции; воспитание культуры мышления; привитие умения оперировать с абстрактными объектами, использовать абстрактные математические модели для изучения конкретных процессов и явлений; развитие способности к дальнейшему самостоятельному образованию.

При изучении дисциплины обеспечивается фундаментальная подготовка студента в области применения математики, соблюдается связь с дисциплинами: физика, сопромат, ТОЭ, теоретическая механика, начертательная геометрия и непрерывность в использовании ЭВМ в спецдисциплинах; происходит знакомство со стержневыми проблемами прикладной математики, базовыми приложениями, навыками и понятиями, обязательными для прочного усвоения последующих дисциплин и практического использования полученных знаний в решении конкретных задач, которые ставятся перед инженером.

В настоящее время в системе высшего образования существуют три формы обучения: дневная, вечерняя и заочная. Объем и содержание дисциплин учебного плана той или иной специальности не зависят от формы обучения, но методика их изучения при различных формах обучения различна.

Настоящее пособие является методическим руководством для изучения общего курса математики студентами-заочниками инженерно-технических специальностей. Оно содержит общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики, программу курса высшей математики, методические указания по разделам с вопросами для самопроверки и контрольные задания.

4

1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам в УГНТУ организуется чтение лекций, проводятся практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателям с вопросами для получения письменной и устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе, помощь преподавателей университета окажется достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

2.ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

1.Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.

2.Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры.

3.Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы.

4.При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1.Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить и выбрать из них самый лучший.

5

3. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.

4.Решение каждой должно доводиться до ответа, требуемого условием, и, по возможности, в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения.

5.Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи.

6.Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

4.САМОПРОВЕРКА

1.После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем. В случае необходимости нужно еще раз внимательно разобраться в материале учебника, решить ряд задач.

2.Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае нужно вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

3.Важным критерием усвоения теоремы является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории.

5.КОНСУЛЬТАЦИИ

1.Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.

2.В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой этот учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий

6

его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

1.В процессе изучения курса математики студент должен выполнить десять контрольных работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса: указывают на имеющиеся у него проблемы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

2.Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию.

3.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету или экзамену.

7. ЛЕКЦИИ, ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель – обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала.

8. ЗАЧЕТЫ И ЭКЗАМЕНЫ

На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применить полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач должно выполняться без ошибок и уверенно. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой.

При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.

7

9. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН КУРСА МАТЕМАТИКИ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ (II СЕМЕСТР)

Содержание лекций

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.

Определенный интеграл, основные свойства. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла к вычислению длин дуг, площадей плоских фигур в различных системах координат, к вычислению объемов тел.

Двойные и тройные интегралы, их свойства, вычисление в различных системах координат.

Задачи, приводящие к криволинейному интегралу. Определение криволинейных интегралов первого и второго рядов, их основные свойства, вычисление.

Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла первого и второго родов. Определение, свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского.

Дивергенция векторного поля, физический смысл. Формулы Стокса и Остроградского в векторной форме.

Содержание практических занятий

Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям.

Простейшие рациональные дроби и их интегрирование. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование иррациональных функций.

Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы и их сходимость. Приложения определенных интегралов.

Вычисление двойных интегралов. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление.

Поток векторного поля. Формула Остроградского. Дивергенция векторного поля. Вычисление потока векторного поля через поверхность.

8

Циркуляция, ротор векторного поля. Формула Стокса. Вычисление циркуляции векторного поля.

10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Основные формулы интегрирования получаются путем обращения формул для производных, поэтому перед изучением настоящей темы студенту рекомендуется повторить основные формулы дифференцирования функций.

Функция F(x) называется первообразной от функции f (x) на некотором интервале (a; b), если для любого x (a; b) выполняется равенство

F′(x ) = f (x ).

Совокупность всех первообразных F(x) + C для функцииf (x), где C - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функ- ции f (x) и обозначается ∫ f (x )dx , таким образом, по определению

∫ f (x)dx = F(x) + C.

Действие нахождения всех первообразных от данной функции f (x) называется интегрированием данной функции. Дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями. При вычислении неопределенных интегралов пользуются следующими интегралами, которые называются

табличными.

10 . ∫ x α dx =

x α+1

20. ∫

dx

+ C, α ≠ −1 .

= ln

x

+ C.

α + 1

x

30. ∫sin xdx = − cos x + C.

40. ∫cos xdx = sin x + C.

50. ∫

dx

= tgx + C.

60. ∫

1

= −ctgx + C.

cos

2

x

sin

2

x

0

x

a x

80. ∫exdx = ex + C.

7 . ∫a

dx =

+ C.

ln a

90. ∫

dx

=

1

arctg

x

+ C.

100. ∫

dx

= arcsin

x

+ C.

2

2

a

+ x

a

a

a

2 − x2

a

dx

1

a + x

120. ∫

dx

110. ∫

=

ln

+ C.

= ln

x + a 2 ± x2

+ C.

2

2

a − x

x2 ± a 2

a

− x

2a

9

11. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Приведение неопределенного интеграла с помощью тождественных преобразований подынтегрального выражения к одному или нескольким таблич-

ным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

ПРИМЕР 1. Найти ∫

x 4 + 3 x 3

− 7

dx .

x 4

x 4 + 3 x 3 − 7

x 4

3 x 3

7

Решение.

∫

dx =

+

−

x

4

∫

4

x

4

x

4

dx =

x

= ∫ dx + ∫

3

dx − ∫

7

dx = ∫ dx + 3 ∫

dx

− 7 ∫ x −4 dx =

x 4

x

x

7 x −3

7

= x + 3 ln

x

−

+ C = x + 3 ln

x

+

+ C .

− 3

3 x 3

ПРИМЕР 2. Найти ∫ tg 2 x dx .

Решение

∫ tg 2 x dx = ∫

sin 2 x

dx = ∫

1 − cos 2 x

dx = ∫

1

dx − ∫ dx = tgx − x + C .

cos 2 x

cos 2 x

cos 2 x

При сведении данного интеграла к табличному часто используется операция «подведение под знак дифференциала». Она основана на использовании формулы

f ′(u)du = d f (u).

ПРИМЕР 3. Найти ∫

dx

.

x + 2

Решение. ∫

dx

= ∫

d (x + 2)

= ln

x + 2

+ C .

x + 2

x + 2

ПРИМЕР 4. Найти ∫

dx

.

x ln x

Решение. ∫

dx

= ∫

d (ln x)

= ln

ln x

+ C .

x ln x

ln x

ПРИМЕР 5. Найти ∫

cos x

dx

sin 2 x

Решение

cos x

d (sin x)

= ∫sin −2

x d(sin x ) =

sin −1

x

1

∫

dx = ∫

+ C = −

+ C .

sin 2

sin 2 x

− 1

sin x

x

10

12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ (ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ)

Одним из основных средств вычисления неопределенных интегралов является введение новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). Оно производится по формуле

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t)dx ,

где x = ϕ(t ) − функция, имеющая непрерывную производную.

При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который

является табличным или к нему сводящимся.

ПРИМЕР. Найти ∫ x

5x 2 + 3dx.

Решение. Положим

5x 2 + 3 = t ,

тогда

5 2 x dx = dt, x dx =

dt

, тогда

10

1

∫

dt =

1 2 t 3 2

+ C =

1

t 3 2 + C =

1

(5 x 2 + 3)3 2 + C .

t

10 3

10

15

15

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Еще одним основным приемом вычисления неопределенных интегралов является метод интегрирования по частям. Он производится по формуле

∫ udv = u v − ∫ vdu ,

(1)

где u = u(x), v = v (x ) − функции, имеющие непрерывные производные.

При использовании формулы (1) подынтегральное выражение нужно представить каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и d v , затем, после нахождения v и du , используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.

В интегралах вида ∫ Pn (x)e α x dx, ∫ Pn (x )cos β x dx, ∫ Pn (x )sin β x dx , где

α, β − числа, Pn (x) − многочлен, удобно положить u = Pn (x ), а за dv		обозна-
чить все остальные сомножители.
В интегралах вида ∫ Pn arcsin α x dx, ∫ Pn arccos α x dx, ∫ Pn arctg α x dx,
∫Pn arcctg α x dx , ∫ Pn log a x dx ,	где Pn (x) − многочлен, α − число,	удобно
Pn (x)dx взять равным dv , а за u обозначить остальные сомножители.
В интегралах вида ∫ e α x	sin β x dx , ∫ eα x cos β x dx , где α, β − числа, за
u можно принять функцию e a x .