с инета для метод

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

291

полуокружностей ВС и DА рассматриваемого контура (см. рис. 9.11б) векторы dl и B сонаправлены и, в соответствии с (9.1), силы Ампера на эти участки не действуют.

На радиальные участки АВ и CD контура со стороны магнитного поля прямого проводника действуют силы Ампера, стремящиеся повернуть контур вокруг оси ОО1, проходящей через его центр.

Рассмотрим участок контура dr, находящийся на расстоянии r от центра прямого провода. На него действует сила Ампера, равная

dF = IBdr = I µ0I0 dr , 2πr

Момент этой силы относительно оси ОО1 равен

dM = r dF = µ0I0I dr . 2π

На участок АВ действует вращающий момент

Рис. 9.11а. Взаимное расположение замкнутого проводника с током I и прямого провода с током I0 (задача

9.3.12)

dr

	b	µ0I0 I
M1	= ∫dM =		(b − a) .
	a	2π

В силу симметрии задачи момент сил, действующий на участок CD, также равен М1. Для момента пары сил Ампера, действующих на весь контур, имеем

M = 2M1 = µπ0 I0I(b − a) .

Ответ: M = µπ0 I0I(b − a) .

r

dr

Рис. 9.11б. Силы Ампера, действующие на линейные участки контура со стороны магнитного поля прямого проводника (задача 9.3.12)

Задача 9.3.13. Круглая проволочная петля радиуса а и сопротивлением R, находится в однородном постоянном магнитном поле с индукцией В и равномерно вращается вокруг своего диаметра, перпендикулярного к В, с угловой скоростью ω (рис. 9.12). Пренеб-

292 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

регая индуктивностью петли, найти средний тормозящий момент

M сил, действующих на петлю со стороны магнитного поля и

среднюю мощность этих сил P .

Решение

Пусть ϕ(t) = ωt – угол между вектором В и вектором n нормали к плоскости петли в момент времени t. Тогда магнитный поток через контур Ф(t) = πa2Bcosωt, а ЭДС индукции

E = − dФ = πa2Bωsin ωt . dt

Поскольку индуктивностью контура можно пренебречь, то индукционный ток по закону Ома равен

I t) = E t) = 1 πa2Bωsinωt .

RR

Такой круговой виток с током в соответствии с определением (7.16) (глава 7) обладает магнитным моментом

pm t) = ISn = nπa2 I = n 1 (πa2 )2 Bωsinωt .

R

ω

B

nϕ(t)

Рис. 9.12. Проволочная петля, вращающаяся во внешнем магнитном поле (задача 9.3.13)

Согласно (9.3) на петлю будет действовать механический вращающий момент

M(t) = [pm B], направленный против вектора ω (следствие правила Ленца). Его проекция на направление вектора ω равна

M t) = − pm t)Bsinωt = − 1 (πa2B)2 ωsin2 ωt .

R

Среднее по периоду sin2 ωt = 1/2, поэтому средняя величина момента

= −

1

(πa2B)2 ω .

M

2R

Поскольку мощность P(t) = M(t)ω, а ω = const, то

=

ω = −

1

(πa2Bω)2 .

P

M

2R

Ответ:

= −

1

(πa2B)2 ω,

= −

1

(πa2Bω)2 .

M

P

2R

2R

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

293

Замечание. Другой способ решения данной задачи, основанный на энергетическом подходе, приведён в задаче 8.3.2 главы 8.

Задача 9.3.14 (базовая задача). Точечный магнитный диполь pm расположен перпендикулярно длинному прямому проводу, по которому течет ток I, так, что продолжение вектора проходит через провод (рис. 9.13). Определить силу, действующую на магнитный диполь со стороны магнитного поля провода, если расстояние между проводом и магнитным моментом равно r.

Решение

rpm

I

Рис. 9.13. Взаимная ориентация прямолинейного тока и магнитного диполя (задача 9.3.14)

Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Z была параллельна проводу, а ось X – магнитному моменту диполя. Взаимная ориентация магнитного диполя и провода в поперечной плоскости XY показана на рис. 9.14 а.

Как и большинство задач данной главы, эту задачу можно решать двумя способами – используя энергетические соотношения и непосредственно выражение для силы, действующей на магнитный диполь во внешнем магнитном поле (9.2).

Способ 1 (энергетический)

Чтобы воспользоваться этим методом, нужно найти зависимость энергии диполя от его координат.

Линии индукции магнитного поля прямого провода имеют вид окружностей, центр которых лежит на проводе. Пусть диполь с магнитным моментом, параллельным оси Х, находится в произвольной точке с координатами (x, y, 0) (рис. 9.14 б). Компоненты вектора магнитной индукции поля в этой точке можно записать как

Y

F

r pm

I X

B

Рис. 9.14а. Сила, действующая на магнитный момент в магнитном поле прямого провода (задача

9.3.14)

294 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

y			x
B(x, y) = B		, −		, 0	,
r			r

где B = µ0I (см. задачу 7.3.1 главы 2πr

7). Согласно (9.4) энергия взаимодействия "жесткого" диполя, имеющего заданный постоянный магнитный момент pm = {p, 0, 0}, с магнитным полем равна

W = −(pm B) = − pm B	y	= − pm	µ0I y
						.
	r		2π		r2

Рис. 9.14б. К определению энергии взаимодействия диполя с магнитным полем прямого провода (задача 9.3.14)

Силу, действующую на диполь, можно найти, используя (9.2)

F		∂W	i +	∂W	j+	∂W
	= −gradW = −						k .
m		∂x		∂y		∂z

Так как диполь, согласно условию задачи, находится в точке с координатами (r, 0, 0), получаем:

∂W

∂

y

F = −

= p

m

µ

0

I

= 0 ;

2

2

x

∂ x

+ y

x=r, y=0

∂x x

x=r, y=0

∂W

∂

y

p

m

µ

0

I

F

= −

= p

µ

I

=

;

y

m

0

2

2

2

∂ y

+ y

r

x

=r, y=0

∂y x

x=r, y=0

F = ∂W

= 0 .

z

∂ z

z=0

µ0I

В векторном виде F = p

j, где j – орт оси Y выбранной

m 2πr2

системы координат.

Сила, действующая на диполь, направлена в положительном направлении оси Y. Действительно, смещение в положительном направлении оси Y уменьшает энергию диполя. В направлении оси Х сила не действует, поскольку смещение по этой оси не меняет энергию, которая всегда равна нулю

Способ 2 (непосредственный расчет сил)

Если диполь, имеющий заданный постоянный магнитный момент,

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

295

находится в точке с координатами (x, y, 0) (рис.9.14б), то согласно соотношению (9.2) компоненты силы, действующей на него со стороны магнитного поля провода равны:

∂

F = p

∂B

=

(p

,B) ;

m

m

x

∂ x

∂ x

∂B

∂

F = p

m

=

(p

m

,B) ;

y

∂ y

∂ y

∂B

∂

Fz

=

(pm ,B) ,

= pm

∂ z

∂ z

где B = µ0I (см. задачу 7.3.1 главы 7) 2πr

Так как диполь, согласно условию задачи, находится в точке с координатами (r, 0, 0), аналогично способу I получаем:

		F = 0, F			=	pmµ0I	.
				y
			x			2πr2
Ответ: F = p		µ0 I	j.
	m 2πr2

§ 9.4. Задачи для самостоятельного решения

Задача 9.4.1. Какова сила взаимодействия двух параллельных проводящих пластин в вакууме, по которым текут одинаковые по величине токи с поверхностной плотностью величиной i, если направления этих токов составляют друг с другом угол α? Линейные размеры сторон пластин l1, l2 много больше расстояния между ними.

Ответ:	F =	µ	i2	l l	cosα . Положительная сила соответст-
		0
		2		1 2

вует притяжению пластин.

296 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 9.4.2. Проводящую плоскость с током поместили во внешнее однородное магнитное поле. В результате индукция магнитного поля с одной стороны плоскости оказалась равной B1, а с другой стороны – В2 (линии поля параллельны плоскости – см. рис. 9.15). Найти магнитное давление р, действующее на плоскость.

	Ответ: p =	B2	− B2
		1	2	, сила давления
		2µ0

Рис. 9.15. Линии индукции магнитного поля с двух сторон от проводящей плоскости с током (задача

9.4.2)

направлена вправо.

Указание. Для определения направления силы давления целесообразно найти направление поверхностного тока, текущего по плоскости.

Задача 9.4.3. Два длинных прямых взаимно перпендикулярных провода отстоят друг от друга на расстояние а. В каждом проводе течет ток I. Найти максимальное значение силы Ампера, приходящееся на единицу длины провода в такой системе.

Ответ: (Fl )max = µ0πI2 . 4 a

Задача 9.4.4. Найти энергию, приходящуюся на единицу длины коаксиального кабеля, по которому течет ток I. Радиус внутренней жилы – R1, радиус внешней жилы – R2.

Ответ: W = µ0I	2		1		R2
				+ ln		.
4π			4		R
				1

Указание. См. задачу 8.4.16.

Задача 9.4.5. Длинный цилиндр радиуса R, заряженный равномерно по поверхности, вращается вокруг своей оси с частотой ω. Найти энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины такой системы, если заряд единицы длины цилиндра равен q.

Ответ: W = µ0 (qωR)2 . 8π

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

297

Задача 9.4.6. Вычислить энергию взаимодействия, приходящуюся на единицу длины двух одинаковых очень длинных параллельных тонких проводников. Расстояние между проводниками равно r, по ним текут одинаковые токи I.

Ответ: Wl = µ0 I 2 lnr . 2π

Указание. См. задачу 8.4.15.

Задача 9.4.7. По длинному однослойному соленоиду, обмотка которого состоит из N витков, течет ток I. Определить продольную силу, действующее на торцы соленоида, если его длина равна l.

Ответ: F =	µ	0		NI		2
			S			. Продольные силы сжимают соленоид.
	2			l

Задача 9.4.8. Длинный соленоид площадью поперечного сечения S, намотка которого состоит из N витков, может сжиматься и растягиваться, как пружина, имеющая жесткость k. При протекании по соленоиду тока силой I его длина равна L. Определить длину L0 соленоида, отключенного от источника тока.

Ответ: L0 = L + µ0 N 2S I 2 . kL 2

Задача 9.4.9. Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиуса R течет ток I. Какое давление испытывают стенки цилиндра?

Ответ: p = µ0 I 2 .

8π2R2

Задача 9.4.10. На оси кругового витка радиуса R, по которому течет ток I, находится небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент pm, ориентированный вдоль оси витка. Найти модуль силы, действующей на катушку, если ее расстояние от центра витка равно х.

	Ответ: F =	3µ	0	R2Ip	m	x	.
		2( R2 + x2 )5 2

298 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 9.4.11. Прямоугольная рамка с током I и сторонами a и b лежит в одной плоскости с очень длинным проводом, по которому течет ток I0 (сторона рамки b параллельна проводу). Определить внешнюю механическую силу, которая удерживает рамку в равновесии. Расстояние между проводом и осью симметрии рамки равно r0.

Ответ: F =	2µ0I0Iab
			.
	π( 4r2	− a2 )
	0

Задача 9.4.12. Два длинных соосных соленоида, радиусы которых примерно одинаковы R1 R2 = R , а длина много больше R, частично вставлены один в другой. Определить силу их взаимодействия. Плотность намотки и сила тока в соленоидах соответственно равны n1, I1 и n2, I2. Краевыми эффектами пренебречь.

Ответ: F = µ0n1n2I1I2πR2 . Соленоиды притягиваются, если токи в них имеют одинаковое направление, и отталкиваются в обратном случае.

Задача 9.4.13. В электромагнитном насосе для перекачки расплавленного металла участок трубы с металлом находится в однородном магнитном поле с индукцией В (см. рис. 9.16). Через этот участок трубы в перпендикулярном вектору В и оси трубы направлении пропускают однородный ток силой I. Найти избыточное давление, создаваемое насосом.

Ответ: p = IB . a

Задача 9.4.14. Замкнутый контур с током I находится в поле длинного прямого проводника с током I0. Плоскость контура перпендикулярна прямому проводнику. Найти момент сил Ампера, действующих на замкнутый контур, если он имеет вид, показанный на

Рис. 9.16. Электромагнитный насос (задача 9.4.13)

Рис. 9.17. Взаимное расположение проводников в задаче

9.4.14

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

299

рис. 9.17.

Ответ: M = µπ0 I0I(b − a)sinϕ .

Задача 9.4.15. Внутри длинного соленоида находится короткая катушка сечения S, состоящая из N витков. Ось катушки перпендикулярна оси соленоида и направлена вертикально. Внутренняя катушка укреплена на коромысле весов, которое в отсутствие тока находится в равновесии (см. рис. 9.18).

Если в катушке и соленоиде текут одинаковые токи, то для уравновешивания весов на короткое плечо коромысла длиной l нужно поместить груз массы

m. Определить силу этого тока I, если плотность намотки соленоида равна n витков на единицу длины.

	Ответ: I =	mgl	.	Рис. 9.18. Взаимное расположение
				катушек в задаче 9.4.15
		µ0nSN

Задача 9.4.16. Два одинаковых параллельных диполя с моментом pm каждый лежат в одной плоскости и образуют одинаковые углы θ с соединяющим их отрезком. Вычислите силу взаимодействия между диполями. При каких углах θ эта сила максимальна?

	µ			3p2
Ответ: F =		0				1− 3cos2 θ)2 + sin2 2θ ,
				m
	4π			r4

	=	µ	0		6p2	при θ = 0, π
F					m
		4π			r4
max

Задача 9.4.17. Точечный магнитный диполь с моментом pm расположен в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I. Определить величину силы F и вращающего момента M, действующих на диполь, если расстояние между ним и проводом равно r, а его декартовы компоненты соответственно равны pmx и pmy (см. рис. 9.19).

Рис. 9.19. Взаимное расположение магнитного диполя pm и прямого провода с током I (задача 9.4.17)

2πr2

300 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Ответ: F = µ0Ipmx ; сила направлена от нас перпендикулярно 2πr2

плоскости рисунка;
M = − µ0I							, момент направлен в плоскости ри-
	(p	mx	)2 + (p	my	)2
2πr
сунка под углом α = arctg						pmx		к оси Х.
						pmy

Задача 9.4.18. Точечный магнитный диполь pm расположен перпендикулярно к длинному прямому проводу, по которому течет ток I (см. рис. 9.20). Определить магнитную силу, действующую на диполь, если расстояние между проводом и диполем равно r.

Ответ: F = Fx = µ0 pm I .

Ypm

r

IX

Рис. 9.20. Магнитный диполь в магнитном поле прямого провода с током I (задача

9.4.18)

Литература к главе 9

1.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. – М.: Оникс 21 век, 2005, § 39.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.III. Электричество, –М., Физматлит, 2006, §§ 49, 52, 62, 69, 72.

3.Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003, §§ 96-102.

4.Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Физматлит, 2003, глава IV.