с инета для метод

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

351

RC- и RL-цепи

Если цепь состоит из резисторов и конденсаторов (RC-цепь) или из резисторов и катушек индуктивности (RL-цепь), то в ней могут происходить только релаксационные непериодические процессы. В зависимости от сложности цепи, уравнение цепи может быть любого порядка, начиная с первого.

В курсе общей физики рассматриваются только такие цепи, в которых уравнение цепи является дифференциальным уравнением либо первого, либо второго порядка.

Уравнение цепи первого порядка

В этом случае уравнение цепи можно записать в виде:

dX	+	1	[X − X∞ ]= 0 .	(11.9)
		τ
dt

Решение такого уравнения имеет следующий вид

X (t) = X∞ + Ae−tτ ,

где А –- константа, определяемая из начального условия Х(0). Так как X (0) = X∞ + A, решение уравнения (11.9) окончательно можно записать следующим образом:

X (t) = X∞ − [X∞ − X (0)]e−t τ .					(11.10)
Например, если в качестве исследуемой величины выбрана си-
ла тока в цепи, то уравнение цепи имеет вид
	dI	+	1	[I − I∞ ]= 0 ,
	dt		τ

а его решение

I(t) = I∞ − [I∞ − I(0)]e−tτ .

Величина τ, входящая в уравнение (11.9) и в его решение (11.10) определяет время, за которое величина X (t) − X∞ умень-

шается в e раз. Эта величина называется временем релаксации. Она является одной из основных характеристик цепи, определяется только параметрами цепи и не зависит от начальных условий.

Уравнение цепи второго порядка

Его можно представить в виде:

d 2 X	+ 2β	dX	+ Ω2 (X − X∞ )= 0 .	(11.11)
dt2
		dt

Решением этого уравнения является функция

352 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

		+ A e−β1t + B e−β2t ,
X (t) = X	∞			β = β ± β2		− Ω2	, (11.12)
		1	1	1,2

в которой константы Ω и β определяются параметрами самой цепи, а константы А1 и В1 находятся из начальных условий.

При t → ∞ значение исследуемой величины, как следует из (11.10) и (11.12), стремится к установившемуся значению Х∞. Таким образом, решение уравнения цепи в обоих случаях описывает переходный процесс установления силы тока в цепи (или напряжения на элементах цепи) после скачкообразного изменения параметров (например, замыкания или размыкания ключа).

RLC-цепи

Если электрическая цепь содержит конденсатор, катушку индуктивности и резистор, то в ней при определенном соотношении параметров элементов могут происходить колебательные процессы. Такую цепь называют колебательным контуром.

Если в цепи присутствуют и резисторы, и катушки индуктивности, и конденсаторы, то уравнение цепи имеет вид дифференциального уравнения порядка не ниже второго. В простых случаях, рассматриваемых обычно в курсе общей физики, это – уравнение второго порядка, которое имеет вид:

d2 X	+ 2β	dX	+ ω02 (X − X∞ )= 0 .	(11.13)
dt2
		dt

В зависимости от соотношения параметров цепи решение этого уравнения может описывать как свободные колебания, так и релаксационные (непериодические) процессы.

Величина β, входящая в уравнение (11.13) определяет диссипацию энергии в цепи и называется коэффициентом затухания. Она определяется параметрами цепи (R, L, C). Как и в механических колебательных системах, потери энергии в электрической цепи приводят к затухающим колебаниям. В электрическом колебательном контуре энергия уменьшается за счет выделения тепла на активном сопротивлении (резисторе). В рассматриваемом квазистационарном приближении потери на излучение малы и не учитываются. Величина

τ = β1

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

353

является временем релаксации контура, т.е. временем, за которое амплитуда собственных затухающих колебаний уменьшается в е раз.

Величина ω0 зависит только от индуктивности катушки и емкости конденсатора и определяет частоту незатухающих (гармонических) свободных колебаний в контуре, если бы в нем не было потерь (см. (11.14), (11.15)).

В зависимости от соотношения коэффициента затухания β и частоты ω0 уравнение (11.13) описывает следующие различные процессы, происходящие в цепи.

1) β = 0.

Если в цепи имеются только L и С элементы, то β = 0. В этом случае реализуются свободные незатухающие гармонические колебания. При этом уравнение цепи имеет вид:

			d 2 X	+ ω2 X = 0 ,	(11.14)
			dt2	0
где ω0 =1 LC – частота собственных гармонических колебаний.
Решением уравнения (11.14) является
		X (t) = X0 cos(ω0t + ϕ0 ),			(11.15)

где Х0 – амплитудное значение исследуемой величины, ϕ0 – начальная фаза колебаний. Константы Х0 и ϕ0 находятся из начальных условий, т.е. из значений переменной X(t) и её производной при t = 0.

В реальной цепи потери энергии всегда существуют, т.е. β > 0 всегда, но потери за один период могут быть малыми по сравнению с запасом энергии в контуре, и тогда приближенно можно считать колебания гармоническими.

2) β < ω0.

Этот случай возможен, только если в цепи присутствуют все L, С и R элементы. При этом реализуются свободные затухающие колебания.

Если константа X∞, входящая в уравнение (11.13), отлична от нуля (X∞ ≠ 0), то после затухания колебаний (при t → ∞ ) соответствующая переменная (ток в цепи, напряжения на элементах цепи или установившиеся заряды на конденсаторах) не равна нулю (аналог в механике – колебания со смещённым от нуля положением

X (t) = X∞ + (A+ Bt)e−βt .

X (t) = X∞ + e−βt (acosωt + bsinωt) ,

354 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

равновесия из-за приложения к колебательной системе постоянной силы).

Решение уравнения (11.13) в этом случае имеет вид
X (t) = X∞ + X0e−βt cos(ωt + ϕ0 ),	(11.16)

где константы Х0 и ϕ0, как и в предыдущем случае, находятся из начальных условий, т.е. из значений переменной X(t) и её производ-

ной при t = 0, а ω = ω2	−β2	– частота собственных затухающих
0
колебаний.

При очень слабом затухании (β << ω0) обычно говорят о величине X0e−βt как о зависящей от времени амплитуде затухающих колебаний.

Выражение (11.16) удобно преобразовать к виду:

(11.17) где а и b – константы, для определения которых используются начальные условия:

X(0) = X∞ + а;

X′(0) = –βа + ωb.

3) β ≥ ω0

В этом случае колебания в цепи отсутствуют, и реализуется переходной процесс установления напряжения на элементах цепи (силы тока в цепи).

Аналогично (11.11) решение уравнения цепи в этом случае имеет вид:

		+ Ae−β1t + Be−β2t ,
X (t) = X	∞		где β	= β ± β2 − ω2		, (11.18)
			1,2	0
а константы А и В определяются из начальных условий.
В частном случае β2 = ω2 решение уравнения (11.13) имеет
		0

вид

(11.19)

Основными характеристиками, которыми определяются потери энергии в любой колебательной системе, в том числе и при описании затухающих колебаний, являются: коэффициент затухания β (определен выше), логарифмический декремент затухания θ и добротность Q.

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.			355
Логарифмический декремент затухания θ определяется со-
отношением
θ = ln	Xn	,	(11.20)
	Xn+1

где Xn и Xn+1 – два последовательных максимальных отклонения (амплитуды) колеблющейся величины в одну и ту же сторону. Учи-

тывая, что X		= e−γ(t1+nT )			1	, где t =	1	arctg ω	, Т – период
	n
		1			+ (γ / ω)2	1	ω	γ

затухающих колебаний, получаем

θ = βT .

Логарифмический декремент затухания – это величина, обратная числу колебаний Ne , за которые амплитуда колебаний убывает в e ≈ 2,7 раза:

θ =	1	.	(11.21)

Ne

Например, если θ = 0,01, то амплитуда уменьшится в e раз после 100 колебаний.

Коэффициент затухания β, частота колебаний ω и логарифмический декремент затухания связаны следующим соотношением

θ = βT =	2πβ	.	(11.22)
	ω

Добротность колебательной системы Q определяется соотношением

Q =		π	= πN			,		(11.23)
					e
		θ
При малом затухании (β << ω0)						добротность		можно также
представить как
Q ≈ ω0	= 2π			W			,	(11.24)
2β				W

где W – средняя за период энергия, запасённая в цепи, W – уменьшение энергии за один период колебаний. При очень большой величине добротности амплитуда уменьшается медленно, и форма колебания мало отличается от гармонической.

356 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Если при описании затухающих колебаний использовать в качестве основных параметров частоту ω0 и добротность Q, то частоту собственных затухающих колебаний можно представить в виде

			1
ω2 = ω2	1	−			.	(11.25)
				2
0			4Q
Мощность, подводимая к элементу цепи, равна
P(t) =U(t)I(t) ,						(11.26)

где U(t) и I(t) –напряжение на данном элементе (сопротивлении, конденсаторе, катушке) и ток через этот элемент. Эта мощность может выделяться на резисторе в виде тепла или расходоваться на зарядку конденсатора и создание магнитного поля в катушке индуктивности.

§11.2 Основные типы задач (классификация)

11.1.Задачи на определение временных зависимостей напряжения на элементах цепи или силы тока при переходных процессах

вRC и RL-цепях.

11.2.Задачи на определение временных зависимостей зарядов, напряжений и токов в RLC-цепях.

11.3.Расчет энергетических характеристик процессов (мощность, энергия, количество выделенного тепла и т. д.).

§ 11.3 Методы решения и примеры решения задач

Методы решения задач типа 11.1 и 11.2 практически совпадают и сводятся к процедурам, описанным ниже.

Из условия задачи нужно определить переменную Х, поведение которой следует исследовать (ток, напряжение, заряд).

Далее для указанной в условиях задачи схемы записать правила Кирхгофа (11.7), (11.8) и, пользуясь соотношениями (11.1) – (11.6), получить дифференциальное уравнение для искомой величины Х.

Используя математические преобразования, привести полученное дифференциальное уравнение цепи к стандартному виду (11.9), (11.11), (11.13) и определить порядок уравнения.

Записать начальные условия для Х(0) и Х′(0). Для определения установившегося стационарного значения Х∞ нужно в полученном

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

357

уравнении цепи приравнять нулю все производные по времени и решить это уравнение.

Исходя из типа полученного уравнения цепи, выбрать решение в виде (11.10), (11.12), (11.15), (11.16) - (11.19).

Из начальных условий найти все неизвестные коэффициенты в выбранном решении.

Проанализировать решение и написать ответ.

Задачи типа 11.1

Задачи на определение временных зависимостей напряжения на элементах цепи или силы тока при переходных процессах

в RC- и RL-цепях

Базовыми задачами этого раздела являются задачи 11.3.1,

11.3.2, 11.3.3.

Задача 11.3.1 (базовая задача). Резистор R, незаряженный конденсатор C и генератор постоянного напряжения E соединены последовательно (последовательная RC-цепь, рис. 11.1 а). Определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени после замыкания ключа К.

Решение

По второму правилу Кирхгофа (11.8) сумма напряжений на резисторе UR и конденсаторе UC после замыкания ключа в любой момент времени должна быть равна E:

Uc +UR = E .

Согласно выражениям (11.1) и (11.2)

UR = R IR , IC = C dUC . dt

+ –

Рис.11.1а. Зарядка конденсатора в последовательной RC -цепи (задача 11.3.1)

Так как все элементы цепи соединены последовательно, сила тока на всех участках цепи одинакова

I(t) = IR = IC .

Выберем в качестве исследуемой величины напряжение на конденсаторе UC. Совершив обход контура по выбранному направ-

358 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

лению тока и используя записанные выше соотношения, получим уравнение цепи:

	U		+ RC			dUc			= E.
		c
						dt
Приведём это уравнение к стандартному виду (11.9)
	dUc	+		1	(U			− E) = 0 .
							c
	dt			RC

До замыкания ключа К напряжение на конденсаторе было равно нулю. Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, следовательно, и сразу после замыкания ключа это напряжение будет равно нулю. Таким образом, начальное условие можно записать в виде: Uc (0) = 0 .

В соответствии с (11.10) решением этого уравнения будет функция

U

c

(t) = E(1− e−t τ ) ,

где время релаксации τ = RC. График этой зависимости представлен

на рис. 11.1 б.

При

t = τ

напряжение

на

конденсаторе

равно

U

C

(t) = E(1− e−1) ≈ 0,63E.

Ответ: U

C

(t) = E(1− e−t τ ) .

Замечание 1. Используя получен-

ный результат, можно определить за-

висимость от времени и всех осталь-

Рис. 11.1б.

Зависимость

напря-

ных параметров цепи: напряжения на

жения на конденсаторе от вре-

резисторе, силы тока в цепи и заряда

мени при его зарядке в последо-

конденсатора:

вательной

RC-цепи

(задача

11.3.1)

U

R

(t) = E−U

c

(t) = Ee−t τ ;

I(t) = UR (t) = E e−tτ ;

RR

Q(t) = CUc (t) = CE(1− e−tτ ).

Замечание 2. Если до замыкания ключа конденсатор был заряжен до напряжения U0, то начальное условие будет иметь вид UC (0) = U0 , и напряжение на конденсаторе будет меняться со временем по следующему закону:

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

359

Uc (t) = E+ (U0 − E)e−tτ .

Задача 11.3.2 (базовая задача). Заряженный до напряжения U0

конденсатор C и резистор R соединены последовательно (последовательная RC-цепь, рис. 11.2а). Определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени после замыкания ключа К.

Рис.11.2 а. Разрядка конденсатора в последовательной RC- цепи (задача 11.3.2)

Решение

По второму правилу Кирхгофа (11.8) сумма напряжений на резисторе UR и конденсаторе UC после замыкания ключа в любой момент времени должна быть равна 0:

UC +UR = 0 .

Аналогично решению задачи 11.3.1 можно записать

UR = R IR , IC	= C	dUC	,
		dt

I(t) = IR = Ic .

Выберем в качестве исследуемой величины напряжение на конденсаторе UC. Выполнив обход контура по выбранному направлению тока и используя записанные выше соотношения, получим уравнение цепи и приведём его к виду (11.9):

		dUC		+	1	U				= 0 .
									C
		dt			RC
	Сразу после замыкания										ключа
	напряжение		на конденсаторе								равно
	U0, то есть UC (0) = U0 . В соответст-
	вии с (11.10) решением этого урав-
Рис.11.2 б Зависимость напряже- нения будет функция
ния на конденсаторе от времени		U		(t) = U				e−t τ ,
при разрядке в последовательной			C				0

RC-цепи (задача 11.3.2)	где время релаксации τ = RC.
График этой зависимости представлен на рисунке 11.2 б.

Ответ: Uc (t) = U0e−tRC .

Замечание. Режим зарядки и разрядки конденсатора можно получить, если вместо источника постоянного напряжения и ключа ис-

360 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

пользовать генератор прямоугольного импульса напряжения (рис.11.3 б):

E(t) = 0 при t < 0, t > Tи; E(t) = E0 при 0 < t < Tи.

Здесь длительность импульса должна быть намного больше времени релаксации (Tи >> τ ), чтобы за время действия импульса напряжение на конденсаторе практически сравнялось с его стационарным значением E0.

Задача 11.3.3 (базовая задача). Резистор R, катушка индуктивности L и генератор напряжения E соединены последовательно (последовательная RL-цепь, рис.11.3 а). Определить зависимость напряжения на резисторе от времени, если напряжение генератора меняется со временем по закону, показанному на рис. 11.3б:

E(t) = 0 при t < 0, t > Tи;

E(t) = E0 при 0 < t < Tи.

Рис.11.3а. Схема к расчёту переходных про-	Рис.11.3б. Сигнал, формируемый
цессов в последовательной RL-цепи (задача	генератором прямоугольных им-
11.3.3)	пульсов напряжения

Рис. 11.3в Зависимость напряжения на резисторе от времени в последовательной RL-цепи (задача 11.3.3)

При решении считать, что при t < 0 сила тока в цепи равна нулю, а время релаксации существенно меньше длительности импульса (τ << Tи).