§5. Линейные и билинейные функции на линейном пространстве
1°. Определение функции. Линейные функции.
Определение 1.Будем говорить что, на линейном пространствезадана функция (от одного вектора), еслипоставлено в соответствие число. Будем говорить, что назадана функция двух векторов, еслиупорядоченной парепоставлено в соответствии число.
Обозначение:.
Замечание 1.Функции на бесконечно мерных пространствах принято называть функционалами.
Замечание 2.Обычно под функцией понимают величину инвариантную относительно замены базиса, т.е. такую, что она не меняется при переходе от одного базиса к другому. А именно, еслив базисеставится в соответствие первая координата, то это не функция, так как зависит от выбора базиса.
Пусть –мерное линейное пространство, и в нем задан некоторый базис. Тогдаопределяетсякоординатамифункция при фиксированном базисе задаётся как обычная функцияnпеременных. При переходе к другому базису она изменяется.
Определение 2.Функция, заданная на линейном пространстве, называетсялинейной, если
1. ,
2. ,.
Пример.
1°. Если ,, то– линейная функция.
2°. Если ,, то эта функция не является линейной.
Пусть –мерное линейное пространство и– фиксированный базисможет быть записан в базисе. Значение функцииможет быть записано в базисе:
.
Здесь числа не зависят от выбора, а определяются лишь базисом. Таким образом, доказано следующее утверждение.
Лемма 1. Каждая линейная функция на–мерном линейном пространстве в произвольном базисезадаётся линейным однородным многочленом
(1) |
от компонент вектора по этому базису. Коэффициенты многочлена (1) есть значения функции на базисных векторах.
Часто вместо линейной функции говорят линейные формы!
Числа будем называтькомпонентами(коэффициентами) функциив базисе. Итак, .
Формулу (1) можно записать в виде
.
Выясним, как меняются компоненты функции при переходе к новому базису. Пустьисвязаны формулами перехода.
Тогда
, |
(2) |
то есть компоненты линейной функции преобразуются также как и базисные векторы.
Покажем, что такое преобразование компонентов линейной функции обеспечивает инвариантность её значений. Напомним, что если .
Тогда , т.е. численное значение функции при изменении базиса сохраняется.
2°. Билинейные функции на линейном пространстве.
Определение 3. Билинейной функцией (или билинейной формой) на линейном пространственазывается функцияот двух векторов:
1. При фиксированном ,– линейная функция ;
2. При фиксированном ,– линейная функция.
Иными словами,
Примеры:
1. Рассмотрим пространство и пусть . Положим
где . Очевидно, что это билинейная форма.
2. Пусть – пространствои.
Положим Этобилинейная форма. Если
Задача. Показать, что если – линейные функции, то– билинейная.
Пусть мерное линейное пространство с базисом.
Если , то билинейная функцияможет быть вычислена следующим образом:
.
Здесь чиселявляются значениями билинейной формы на всевозможных парах базисных векторов и называются коэффициентами билинейной формы в базисе. Если ввести матрицу билинейной формы, то есть матрицу, то
. (3)
Рассмотрим изменение матрицы при переходе к другому базису.
, то есть
, (4)
где – матрица билинейной функции в базисе.
Определение 4. Билинейная форма называется симметричной, если.
Если билинейная форма симметрична, то матрица билинейной формы симметрична.
Обратно, пусть матрица билинейной формы симметрическая, то есть
, то есть билинейная форма тоже симметричная. Итак,
Предложение. Билинейная форма симметрична её матрица – симметрическая (в произвольном базисе).