Учебник по теориии вероятности

Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из иссле­ дователей допустит ощибку.

84. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым полу­ чает приз. Найти вероятность получения приза спорт­ сменами.

Р е ш е н и е . Для вручения приза достаточно, чтобы		хотя бы
одна из	четырех попыток была успешной. Вероятность	успешной
попытки	р=0,о» а неуспешной д^=1—0,5=0,5. Искомая вероятность

р= 1_^4=1-.0,5«=0,9375.

85.Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем

каждый должен сделать по два выстрела. Попавший

вмишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

86.Вероятность хотя бы одного попадания стрелком

вмишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероят­ ность попадания при одном выстреле.

Р е ш е н и е . Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна

Р(Л) = 1-(уЗ. где д—вероятность промаха.

По условию, Р (Л)=0,875. Следовательно, 0,875=1—^, или ^з«1_о,875 = 0.125.

Отсюда д= ^0,125=0;5. Искомая вероятность

87.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

88.Многократно измеряют некоторую физическую величину. Вероятность того, что при считывании показа­ ний прибора допущена ошибка, равна р. Найти наимень­ шее число измерений, которое необходимо произвести, чтобы с вероятностью Р > а можно было ожидать, что хотя бы один результат измерений окажется неверным.

30

§ 3. Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при

появлении одного из несовместных событий (гипотез) В], Bty •••• Bnt образующих полную группу, равна сумме произведений вероятно* стей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события Л:

Р(А)^Р(В,)РвЛА)+Р(В^)РвЛА)+...-^Р{Вп)Рвп{А). (•)

где Р (ВО + Я (^2)+ ... +Р (5«) = 1.

Равенство С*) называют формулой полной вероятности.

89. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположе­ ния о первоначальном составе шаров (по цвету).

Р е ш е н и е . Обозначим через А событие--^извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: Bi—белых шаров нет, В^—один белый шар, В^ — два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. Р (Bi) = P (В2) = Р (i5.,)== 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, Яд, (А) = 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, Рл,М) = 2/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара РвзМ) = 3 / 3 = 1 .

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Р{А)^Р (Вг) Рвг {А) + Р (Вг) Ря, (А) + +/'(58)/'взМ) = ^/31/ЗЧ-1/3-2/3+1/3.1=2/3.

90.В урну, содержащую п шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о пер­ воначальном составе шаров (по цвету).

91.В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероят­ ность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавто­ мата эта вероятность равна 0,8. Студент производит рас­ чет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность

31

того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

02. В пирамиде пять винтовок, три из которых снаб­ жены оптическим прицелом. Вероятность того, что стре­ лок поразит мишень при выстреле из винтовки с опти­ ческим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптиче­ ского прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произве­ дет один выстрел из наудачу взятой винтовки*

93.В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей—на заводе Хв 2 и 18 дета­ лей—на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изго­ товленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и Л% 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь ока­ жется отличного качества.

94.В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

95.В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из вто­

рой урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым,

9в. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устрой­ ствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в onepafnBHofi памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

§ 4. Формула Бейеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появле­ ния одцого из несовместных событий (гипотез) Bi, Bft • • •» Вп* которые образуют полную группу событий. Если событие А уже про­ изошло» то вероятности гипотез могут быть переоценены по фор­ мулам Бейеса

^А (^|) =

"РТА)

(«== Ь Z, . . . , /I),

32

где

Р (Л) = Р (В,) Рв, {А)+Р (В^) Р в а ( А ) + . . . + Р (Вп) Рв^(А).

97. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производитель­ ность первого автомата вдвое больше производитель­ ности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй—84%. На­ удачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь про­ изведена первым автоматом.

Р е ш е н и е . Обозначим через А событие—деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): Bi—деталь

произведена		первым автоматом,			причем (поскольку первый автомат
производит	вдвое		больше	деталей,		чем второй)		P ( 5 i ) = 2 / 3 ;	Bj —
деталь произведена вторым автоматом, причем Р (В2)==1/3.
Условная		вероятность		того,	что деталь будет отличного каче­
ства, если она произведена первым автоматом, Р^, (Л)=0,6.									каче­
Условная		вероятность того,			что деталь будет отличного
ства, если она произведена вторым автоматом,								Рвг(А)=^0,84.
Вероятность			того, что наудачу			взятая деталь окажется отлич­
ного качества, по формуле полной вероятности равна
Р (А)^Р	(Вг)РвАА)+Р			(В2)РвАА)^2/3			0,6+1/3^0,84^0,68.
Искомая вероятность				того, что		взятая отличная деталь			произ­
ведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна
		р	гп \ -^	(^1)-Ря. (>1)_2/3.0,6				10
		^А (^1)		р(34)		~	0.68	""Т7-

98. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее:

стрелок	стрелял из винтовки с оптическим прицелом
или без	него?

99. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероят­ ность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

100. Две перфораторщицы набили на разных перфора­ торах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность

33

того, что первая перфораторщица допустит ошибку, рав­
на 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность
равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена
ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая
перфораторш^ица. (Предполагается, что оба перфоратора
были исправны.)
101. В	специализированную больницу поступают
в среднем 50% больных с заболеванием /С, 30%—с за­
болеванием L, 20%—с заболеванием М. Вероятность
полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L
и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9.
Больной, поступивший в больницу, был выписан здоро­
вым. Найти	вероятность того, что этот больной страдал

заболеванием К.

102.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет

кпервому товароведу, равна 0,55, а ко второму—0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

103.Событие А может появиться при условии появ­ ления лишь одного из несовместных событий (гипотез) В^у В^у ... ,В„, образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероят­ ности гипотез, т. е. были найдены условные вероятности РА (^i) О == 1» 2, ... , п). Доказать, что

104.Событие А может появиться при условии появ­ ления одного из несовместных событий (гипотез) В^, В^, Б,, образующих полную группу событий. После появле­

ния события А были		переоценены	вероятности		гипотез,
т. е. были найдены условные вероятности				этих	гипотез,
причем оказалось, что Pj^(B^) = 0,b			и P^(^2) = 0,3. Чему
равна условная	вероятность PA{BZ)		гипотезы В,?
105. Имеются	три	партии деталей		по 20	деталей

вкаждой. Число стандартных деталей в первой, второй

итретьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию

ивторично из той же партии наудачу извлекают деталь,

34

которая также оказывается стандартной. Найти вероят­ ность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Р е ш е н и е . Обозначим через А событие—в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь.

Можно сделать три предположения (гипотезы): В\—детали извле* кались из первой партии; Вг—детали извлекались из второй партии; ^3—детали извлекались из третьей партии.

Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероят­ ности гипотез одинаковы:

Р(В1)=Р(В2) = Р(Вз) = 1/3.

Найдем условную вероятность Р^^ (Л), т. е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандарт­ ные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому

Найдем условную вероятность Рва(^)» т. е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвра­ щением) две стандартные детали:

^Вг (>^) = 15/20.15/20 = 9/16.

Найдем условную	вероятность Р^, (Л),	т. е. вероятность того,
что из третьей партии	будут последовательно извлечены (с возвра­
щением) две стандартные детали:
Рвг i^) = ^0/20.10/20 =		1/4.

Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные

детали взяты из третьей партии, по формуле		Бейеса равна
р . я ^	Рф^)РВг(А)
^А К^з}-р	(^^) .р^^ (^) ^ р (^^j .р^^ (^) _^р (^^) .р^^ (^j-^
	^/3-^/^	4/29
	•^1/3-1+ 1/3-9/16+1/31/4""'
106. Батарея из трех орудий произвела залп, причем
два снаряда	попали в цель. Найти вероятность того, что

первое орудие дало попадание, если вероятности попада­

ния в цель первым, вторым и третьим орудиями	соот­
ветственно равны P i = 0,4, р^ = 0у3, ;7з = 0,5.
Р е ш е н и е . Обозначим через А событие—два орудия	попали
в цель. Сделаем два предположения (гипотезы): Bi—первое	орудие
попало в цель; В2—первое орудие не попало в цель.

По условию, P(^i) = 0,4; следовательно (событие В2 противопо­ ложно событию Bi),

Р(В2)== 1—0,4 = 0,6.

Найдем условную вероятность PSt (Л), т. е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем один из них послан первым орудием и, следовательно, второй—либо вторым орудием (при этом третье орудие дало промах), либо третьим (при этом второе орудие дало промах). Эти два события несовместны, поэтому применима

35

теорема сложения:

^B,(^) = Pa-^s + Ps-^2 = 0,3.0.5 + 0,5.0,7 = 0,5.

Найдем условную вероятность Яд^СЛ), т. е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах. Другими словами, найдем вероятность того, что второе и третье ору­ дия попали в цель. Эти два события независимы, поэтому приме­ нима теорема умножения:

/'в,(^) = Р2Рз = 0,3.0,5 = 0,15.

Искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание,

по формуле Бейеса равна

Р(Вг)РвАЛ)

PA(BI)- Р(Вг)'РвАЛ)+Р(В^)РвАЛ) ""

=0,4 0,5/(0,4.0.5+ 0,6.0,15) = 20/29.

107.Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий

стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответ­ ственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

108. Два из трех независимо работаюш.их элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероят­

ность того,	что отказали первый и второй элементы, если
вероятности	отказа первого, второго и третьего элемен­
тов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.
Р е ш е н и е . Обозначим .через А событие—отказали		два эле­
мента. Можно сделать следующие предположения (гипотезы):
Bi—отказали первый и второй элементы, а третий		элемент

исправен, причем (поскольку элементы работают независимо» приме­ нима теорема умножения)

^ (^i) = Pi Рг-^3 = 0.2 0.4.0,7 = 0,056;

В2—отказали первый и третий элементы, а второй элемент исправен, причем

Р(В2) = Р1.рз-^2==0,2.0,3 0,б = 0,036;

Bs—отказали второй и третий элементы, а первый — исправен, причем

Р(Вз) = Р2Р8<71 = 0,4.0,3 0,8 = 0,096;

^4—отказал только один элемент; В^—отказали все три эле­ мента; Be—ни один из элементов не отказа^.

Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как при

этих гипотезах событие			А (отказали два элемента) невозможно и зна­
чит условные		вероятности РвА^)* Рв&{^) и Рвб(^) равны нулю,
следовательно,		равны нулю и произведения Р (B4)-PBi{A), Р{В^)Х
XPBS(^)	И Р	{В^)-РВЛА)	[СМ. ниже соотношение (*)] при любых
значениях	вероятностей		гипотез В^, В^ ^ В^.

Поскольку при гипотезах Bi, ^2, В., событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:

РвЛА)^Рвг{А)=^РвЛА) = \.

36

По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали два элемента,

Р{А)^Р(Вг)РвАЛ)	+ Р(В2)РвЛЛ)	+ Р(Вэ)'РвЛЛ)	+
+ Р{В,)РвЛЛ)	+ Р{Вь)РвАЛ) +	Р(В,).РвАА)^	(•)
= 0,056.1 + 0,036.1 + 0,096.1 = 0,188.

По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали первый и второй элементы,

	Р{Вг)РвАЛ)	0,056
РА (Вг) ==	р^з4)	== "оЛвв"^^'^•

109*. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа пер­ вой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны: pi = 0,l, р2 = 0,2у Ps = 0»3 и р^ = 0,4.

Глава третья

ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ

§ 1. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появ­ ления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми'^относитель­ но события А. В § 1—4 этой главы рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < I), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

или

где q=\^p.

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит: а) ме­ нее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, — находят соответственно по формулам:

Я„(0) + Р„(1) + ... + Р„(Л~1);

Pn(k)+Pnif^+l) + ^.' + Pnin)\

P«(0) + P„(l) + ...+P„W.

ПО. Два равносильных шахматиста играют в шах­ маты. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех

37

или три партии из шести (ничьи во внимание не прини­ маются)?

Р е ш е н и е . Играют			равносильные шахматисты,					поэтому	веро­
ятность	выигрыша р = 1/2; следовательно,					вероятность		проигрыша q
также равна		1/2. Так как во всех			партиях вероятность выигрыша
постоянна и безразлично,			в	какой	последовательности			будут	выиг­
раны партии, то применима				формула Бернулли.			четырех		будут
Найдем		вероятность	того, что две			партии из
выиграны:
	р^ (2) = C ! P V		=	4.3/(1.2).(1/2)2.(1/2)2 = 6/16.
Найдем		вероятность	того, что		будут	выиграны	три партии из
шести:	Ре (3)=Cj/7V ==65.4/(1				23).(1/2)3.(1/2)5=5/16.
Так	как Р^ (2) > Pg (3),			то вероятнее		выиграть	две партии из
четырех,	чем три из шести.

111. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

112. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

ИЗ. а) Найти вероятность того, что событие А по­ явится не менее трех раз в четырех независимых испы­ таниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

б) событие В появится в случае, если событие А на­ ступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступ­ ления события 5, если будет произведено пять независи­ мых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

114. Устройство состоит из трех независимо работаю­ щих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каж­ дого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) рабо­ тают только основные элементы; б) включен один резерв­ ный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устрой­ ство отказывает, если работает менее трех элементов.

38

115. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения маль­ чика принять равной 0,51.

116. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две—правее. Предполагается, что вероятность попа­ дания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

117. На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять
точек. Найти вероятность того, что две точки будут
находиться		от точки	А на	расстоянии,		меньшем д:, а
три — на	расстоянии,		большем х.		Предполагается, что
вероятность попадания точки на отрезок пропорцио­
нальна длине отрезка и не зависит от его расположения.
118. Отрезок разделен на четыре равные части. На
отрезок	наудачу 6pouieHo восемь				точек.	Найти	вероят­
ность того,		«iTo на каждую		из четырех		частей	отрезка
попадет	по две точки.		Предполагается, что вероятность

попадания точки на отрезок пропорциональна длине от­ резка и не зависит от его расположения.

§ 2. Локальная и интегральная тооремы Лапласа

Локальная теорема JTanjiaca. Вероятность того, что в п неза­ висимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < \), событие наступит ровно k раз (без­ различно, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше п)

V npq

Здесь

у 2п

У npq

Таблица функции q>(x) для положительных значений х приве­ дена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция ц>(х) четная, следовательно, ф( — х) =

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р{0 < р < \), событие наступит не менее ki раз и не более ^2 Р^^» приближенно равна

P{kx\ ^2)=-Ф(Л~Ф(Л.

39