Опорный конспект тоэ

10

uL=Ldi/dt

UL=jωLI

ZL=jωL

YL=-jBL=-j1/(ωL)

iC=Cdu/dt	UC=-j1/(ωC)I	1	ZC=-j1/(ωC)	YC=jBC=j1/(ωC)
	Z=		=R+jX=Zejϕ
		Y

G =				R
				R 2 + X2
B =				X
			R 2 + X2
U=Ua+Uр
Z=		R2 + X2

Y= Z1 = G − jB = Ye− jϕ

	R =	G
		G2	+ B2
	X =		B
		G2	+ B2

I=Ia+Iр

Y= G2 + B2

			11
S= U I* =P+jQ			P=UIcosj ,Вт
			Q=UIsinj ,BAр
S=	P2 + Q2	= UI ,BA

2.2 Расчет сложных цепей при гармонических воздействиях

UAB=jA - jB

Sист = Sпр		Sист = å(ЕiIi* + UjJj*)
		Sпр =å(Ii2Ri + j Ij2XLj - j Ik2XCk)
IIZ11	+ IIIZ12	+ IIIIZ13 . . .	=E11
IIZ21	+ IIIZ22	+ IIIIZ23 . . .	=E22
IIZ31	+ IIIZ32	+ IIIIZ33 . . .	=E33

jI G11 - jII G12 - jIII G13. . . = J11

-jI G21 + jII G22 - jIII G23. . . = J22

-jI G31- jII G32 + jIII G33. . . = J33

Iн =	Eэг
	Zэг + Zн

Iк = G1кE1 + G2кE2 + G3кE3 + . . .

Im = Im0	−Gmm * Zm	In = Im0	−Gmn * Zm
	1+ Gmm * Zm		1+ Gmm * Zm

12

2.3 Расчет цепей при периодических воздействиях

f(t) = A0 +

∞

(Bкm*sink

ϖt +Cкm*cos kϖt ) = A0 +

∞

Aкm*sin( kωt + ϕ k)

å

å

1

1

Ckm

2

2

Akm =

Bkm + Ckm ;

jk = arctg

;

Bkm

1

T/2

2

T /2

A0

=

ò f(t)dt ;

Bkm =

ò f(t) sin kwtdt ;

T

−T/2

T −T /2

2

T /2

Ckm =

ò f(t)cos kwtdt ;

T −T /2

1

T 2

1 T

2

2

2

I =

ò i

(t)dt = I0

+ I1 +... ;

U =

ò u

(t)dt = U02 + U12 +... ;

T

0

T 0

1

T

P=

ò p(t)dt = P0 + P1 + P2 +... = U0I0 + U1I1Cosj1+...

T

0

Q = U1 I1 sinj1 + U2I2 sinj2 +...

S = UI = P2 + Q2 + T2

Kф =

I

;

Ka =

I

;

Ku =

I

;

Kг =

I22

+ I32

+...

max

1

I

Icp

I

I

1

XLk = kωL

XCk =

1

kwC

U

ϕ

U 1

ϕ1

U o

U 2

2ω1

ω

ω1

ω

2ω1

ω1

ϕ2

				13
2.4 Резонансные явления в линейных цепях
	U R					U L
				ϕ = 0
	R	I		Jm[ Z ] = 0
U			U C	ϕ= arctg{(XL - XC) / R}=0
		C
	L			XL = XC
						U
				UL = UC
							C
	U L			ωL = 1/ωC				I
						U =	U
						R
	X
		X
		L
		X		ρ = ω0L = 1/ (ω0C) =			L
							C
				ω	ω0 =	1
		X C				LC
	ϕ			Q = ρ = U L 0 = U C 0 =			1 = 2π W L M
	π/2
				R	U 0	U 0	d	W R
		ω		ω
			0

−π/2
I/I 0			1
1			Q
1/
2
			ω
ω 1	1	ω2	ω 0
ω 0		ω 0

é

ù

+

d2

d

ω1,2=ω0

ê 1

m

ú

2 − d

2

2

4

2

ωcm=ω0

;ωLm=ω0

ê

ú

2

2 − d2

ë

Δω

X

û

ξ=2Q

=

ω0

R

2Δω=ω0d=ω0/Q=ω2-ω1

14

C

ω0 =

1

R

L

LC

(g)

(bC)

(bL)

ϕ=0

γ =

C

L

Im[Y]=0

Q =

γ

G

bL = bC

I 2

I

1wC

R 1

R 2

wL

=

I

2

2

R22 + (1wC)

2

2p

U

R1 + (wL)

I

I

1

2

U

L

C

I1P = I2P

I

1p

I

рез

I 1

1

r2 - R12

1

wре з =

,

w0

=

, r =

L

r2

C

LC

- R22

LC

æ

ö

rçw p

÷

Q =

è

w0ø

æ w p

ö 2

R1 + R2 ç

w

÷

è

ø

0

Iре з =

U

, Zре з = R ре з=

ρ2 + R1R2

, Z =

R ре з

R ре з

R1 + R2

1+ jξ

при

R1 << ρ

R2 << ρ

ρ

ρ2

Q =

, ωре з≈ ω0,

Z

ре з

=

= ρQ

R1

+ R2

R1

+ R2

15

2.5 Цепи со взаимной индуктивностью

eM(t) = - dΨ / dt = - M di / dt

EM1 = - jωΨ12 = - jωMI2

M

K =

, 0 ≤ K ≤ 1

L1L 2

M12 = M21 = M

Последовательное соединение

di(t)

+ M12

di(t) ) + +

U 1

u(t) = (R1 i(t) + L1

dt

dt

I

L1

di(t)

di(t)

R 1

(R2 i(t) + L2

+

M21

dt

) =

U

dt

M

R 2

L2

=u1(t)

+ u2(t) ,

U = I {( R1 + jωL1 + jωM12) +

(R2 + jωL2 + jωM21)} = (Z1 + Z2)I.

U 2

Zсогл = R1 + R2 + jω( L1 + L2 + 2 M).

U 1

u(t) = (R1 i(t) + L1

di(t)

- M12

di(t) ) + +

dt

dt

I

di(t)

di(t)

R 1

L1

(R2 i(t) + L2

-

M21

dt

) =

U

dt

M

L2

=u1(t)

+ u2(t) ,

R2

U = I {( R1 + jωL1 - jωM12) +

(R2 + jωL2 - jωM21)} = (Z1 + Z2)I.

Zвстр = R1 + R2 + jω( L1 + L2 - 2 M) .

U 2

R 1 L1

	M
R 2	L2
R 1	L1

M

R 2 L2

Параллельное соединение

		Z =	Z1L Z2L − ZM2		=
			Z1L + Z2L − 2ZM
=	(R1 + jωL1)(R 2 + jωL2 ) − (jωM)2
	R1 + jωL1 + R 2 + jωL2 − 2jωM
Z =		Z1L Z2L − ZM2		=
		Z1L + Z2L + 2ZM
=	(R1 + jωL1)(R 2 + jωL2 ) − ( jωM)2
	R1 + jωL1 + R 2 + jωL2 + 2jωM

16

Развязка индуктивных связей

I1	R 1	M	R 2	I2	I1	R 1	L1-M L2-M R 2		I2
U 1	L1		L2 U 2		U 1		M	U 2	Zн
					Zн

U1 = R1 I1 + jωL1 I1 + jωM I2 ,

0 = R2 I2 + j ωL2 I2 + jωM I1 + Zн I2 .

I1	R 1	M	R 2	I2	I1	R 1	L1+ M L2+ M R 2		I2
U 1	L1		L2 U 2		U 1		-M	U 2	Zн
					Zн

U1 = R1 I1 + jωL1 I1 - jωM I2 ,

0= R2 I2 + j ωL2 I2 - jωM I1 + Zн I2 .

2.6Трехфазные цепи

Симметричная трехфазная система ЭДС

+ 1

UA = U = UФ ,

1

UB = U e-j 120° = U ( -

- j

3

2

А

2

UC = U e j 120° = U ( -

1

+ j

3

U АВ

2

2

U А

UAB = UA - UB ,

+j

UBC = UB - UC ,

U СА

U С

U В

UCA = UC - UA.

С

В

U ВС

А

Соединение сопротивлений нагрузки треугольником

U

UBC

IА

IAB = ZAB , IBC =

, ICA =

ZBC

AB

IСА

ZАВ

IA = IAB - ICA ,

ZCА

С

IАВ

IB = IBC - IAB ,

IC

IC = ICA - IBC .

В IВ

IВС

ZВС

) ,

) .

UCA .

ZCA

17

Соединение сопротивлений нагрузки звездой с нейтральным проводом

U0’0 =

EA YA + EB YB + EC YC

YA + YB + YC + YN

А

IА

IA = YAUA = YA ( EA - U0’0) ,

IB = YBUB = YB ( EB - U0’0) ,

Z N

ZА

U А

IC = YCUC = YC ( EC - U0’0) ,

I N

IN = YNU0’0 , IN = IA + IB + IC .

O1

O

U В

UA =

UAB YB − UCA YC

,

YA + YB + YC

С

U C

UBC YC − UAB YA

ZВ

IC

ZC

UB =

,

YA + YB + YC

IВ

UC =

UCA YA − UBC YB

.

В

YA + YB + YC

			Мощность трехфазной цепи
				P = PА +PB + PC
				Q = QА +QB + QC
				S = SА +SB + SC
			Измерение активной мощности трехфазной цепи
		A	w1
				P = PW1 + P W2
	3-x	B
	фазный		w2	3-х фазный
	источник
		C		приемник

Измерение реактивной мощности трехфазной цепи

	A
	W1
N	B
	C
	W2

Q = 3 (PW1 + P W2 )

3-х фазный

приемник

18

3 Четырехполюсники

3.1 Уравнения и схемы замещения пассивного четырехполюсника

I1

I2

2

1

U 2

U 1

П

2'

1'

Уравнения и параметры пассивного четырехполюсника.

Форма записи

Урав-

Урав-

А

Y

H

уравнений

нение

нение

DA =AD-

DY=Y11Y22-

DH=H11H22-

связи

связи

BC

-Y12Y21

-H12H21

коэфф-в

симметр.

чет-ка

U

=AU

2

+BI

AD-BC=1

A=D

éA

Bù

é-Y 22

-1 ù

é -D H

H11 ù

1

2

ê

ú

ê

ú

I1=CU2+DI2

DA=1

ê

ú

Y

21

Y

H

21

H

21

ëC Dû

ê

21 ú

ê

ú

ê

D Y

-Y11 ú

ê

-H 22

1

ú

ê

Y21

ú

ê

ú

H 21

ë

Y21 û

ë

H 21 û

I1=Y11U1+Y12 U2

Y12=-Y21

Y11=-Y22

éD -1 ù

éY11

Y12 ù

ê

ú

é 1

-H12

B B

I2=Y21U1+Y22U2

ê

ú

ù

ê

1 -A

ú

ëY21

Y22 û

ê

ú

H

H

ê

ú

ê

11

11

ú

ê

B

B

ú

ë

û

êH 21

D H

ú

ê

H11

ú

ë H11

û

U1=Z11I1+Z12I2

Z12=-Z21

Z11=-Z22

éA -1 ù

é

Y22

-Y12 ù

é D H

H12

ù

ê

ú

ê

DY

ú

ê

ú

U2=Z21I1+Z22I2

ê C C

ú

ê

DY ú

ê

H 22

H 22

ú

ê

1 -D

ú

ê

-Y21

Y11 ú

ê

-H 21

1

ú

ê C

C

ú

ê

DY

ú

ê

ú

H 22

ë

û

ë

DY û

ë

H 22 û

U1=H11I1+H12U2

H12=H21

H = −1

é

B

1 ù

é

1

-Y

ù

éH11

H12 ù

ê

ú

ê

12

ú

I2=H21I1+H22U2

êD D

ú

ê Y11

Y11 ú

ê

ú

ê

1 -C

ú

êY21

DY ú

ëH21

H22 û

ê

D

ú

ê

ú

ëD

û

ë Y11

Y11 û

I1=G11U1+G12I2

G12=G21

G = − 1

é

C 1 ù

é

DY

Y12

ù

é H 22

-H12

ù

U2=G21U1+G22I2

ê

ú

ê

Y22

Y22

ú

ê

ú

G11G22-

A A

D H

D H

ê

ú

ê

ú

ê

ú

G12G21=

ê

-1 B

ú

ê

-Y

21

1

ú

ê

-H

21

H

11

ú

ê

A

A

ú

ê

ú

ê

ú

-1

ë

û

ë Y22

Y22 û

D H

ë

D H û

U2=B11U1+B12I1

B11B22-

B11=B22

é

D -Bù

é-Y11

1 ù

é 1

-H11

ù

I2=B21U1+B22I1

B12B21=1

ê

DA

ú

ê

Y12

ú

ê

ú

H12

êDA

ú

ê

Y12 ú

ê H12

ú

ê

-C A

ú

ê

-DY

Y22

ú

êH 22

D H

ú

êD

D

A

ú

ê

Y

Y

ú

ê

ú

ë

A

û

ë

12

12

û

ë H12

H12 û

19

Параметры холостого хода (х.х.)

и короткого замыкания (к.з.).

Z

1X

= U1

Z

= U1

I1 I2 =0

1K

I1 U 2 =0

Z1x / Z2x = Z1к / Z2к

Z2X

=

U 2

Z

2K

=

U 2

I2 I =0

I 2 U1=0

1

Параметры х.х. и к.з. в зависимости от

Коэффициенты четырехполюсника в

коэффициентов четырехполюсника

зависимости от параметров х.х. и к.з.

Z1X

=

A

= Z11

Z 2X =

D

= Z 22

A =

Z1X

C

C

Z 2X (Z1X − Z1K )

Z1K

=

B

=

1

Z 2K =

B

=

1

B =

Z 2K

(Z1X − Z1K )

D

Y11

A

Y22

C =

1

Z 2X (Z1X − Z1K )

D =

Z 2X

(Z1X − Z1K )

Эквивалентные схемы пассивного четырехполюсника.

Эквивалентные схемы

Параметры схемы от

Коэффициенты от

пассивного

коэффициентов

параметров

четырехполюсника

Т-образная

Z1=(A-1)/C

A=1+Z1/Z3

I1

Z1

Z2

I2 2

Z2=(D-1)/C

B=Z1+Z2+Z1Z2/Z3

1

Z3=1/C

C=1/Z3

U 1

Z3

U 2

1'

2'

П-образная

Z4=B

B

A = 1+

Z4

I1

Z4

I2

5 =

Z6

1

2

Z

B = Z4

D − 1

U 1

Z5

Z6

U 2

6 =

B

C =

Z 4 + Z5 + Z6

1'

2'

Z

A − 1

Z5 Z6

D = 1+

Z4

Z5