Вища Математика для Економістів

Якщо попередня змінна вільна, то з того ж місця, що й на попередньому кроці.

Інакше – з наступного місця.

Якщо такий елемент є: переставляють його рядок на те місце, починаючи з якого шукали ведучий елемент, та за допомогою елементарних перетворень над всіма наступними рядками та цим фіксованим роблять нулі під ведучим елементом (див. приклади

6,7).

Якщо такого немає, змінну xk вважають вільною. Таким чином, проходимо всі стовпчики матриці системи А.

Після чого матриця набуває східчастого вигляду (див. приклад 6).

ІІ етап. Аналіз множини розв’язків СЛР.

Якщо остання матриця І етапу містить нульовий рядок, якому відповідає ненульовий вільний член, то СЛР – несумісна, оскільки такий рядок відповідає рівнянню 0 x1 0 x2 0 xn b, b 0 . В протилежному випадку СЛР – сумісна.

Для сумісної СЛР: якщо вона містить вільні змінні, то система невизначена, інакше система визначена.

ІІІ етап. Зворотній хід методу (виконується лише для сумісних СЛР).

1.За останньою матрицею перетворень І етапу виписується відповідна СЛР (еквівалентна початковій за теоремою).

2.Надаючи вільним змінним (якщо такі є) довільних значень, їх переносять у праву частину кожного рівняння (матриця з базисних змінних стає верхньотрикутною, отже невиродженою).

3.Починаючи з останнього рівняння, знаходять відповідні значення базисних змінних.

4.Виписується розв’язок СЛР (у вигляді вектора).

Приклад 6. Розв’язати СЛР методом Гауса в залежності від параметра.

x1 x2				x4		x6				1
		2x2		3x4 x5 3x6						2
2x1
		4x2 x3		4x4 x5 3x6 x7 3
3x1
4x 4x			2	4x	4	5x	6	x	7	4
	1
		5x2		5x4		6x6 x7 p
5x1

Випишемо розширену матрицю системи:

72

		1		1	0	1	0	1	0		1
			2	2	0	3	1	3	0		2
		3 4 1 4 1 3 1									3 .
	А
				4	0	4	0	5	1
		4									4
			5	5	0	5	0	6	1		p

І етап складається з семи кроків, на кожному кроці ведучі елементи виділені у відповідній матриці.

			1 1 0 1 0 1 0										1	1 1 0 1 0 1 0			1
															0 0 0 1 1 1 0		0
			2 2 0 3 1 3 0										2
				3 4 1 4 1 3 1									3		0 1 1 1 1 0 1		0
	А
														1 й крок			0		2 й крок
			4 4 0 4 0 5 1										4	0 0 0 0 0 1 1
				5 5 0 5 0 6 1									p		0 0 0 0 0 1 1		p 5
	1			1	0	1	0	1	0		1
		0		1	1	1	1	0 1			0
0 0 0 1 1 1									0		0		.
				0	0	0	0	1	1		0
	0
											p
		0	0		0	0	0	1	1			5

3-й крок: у третьому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (третього) немає ненульового елементу, отже x3 – вільна змінна.

4-й крок: у четвертому стовпчику шукаємо ведучий, починаючи з третього місця (попередня змінна вільна).

1		1	0	1	0	1	0		1
	0	1	1	1	1	0 1			0
	0 0 0 1				1 1		0		0	.
		0	0	0	0	1	1		0
0
	0 0 0 0 0					1	1		p 5

5-й крок: у п’ятому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (четвертого) немає ненульового елементу, отже x5

– вільна змінна.

6-й крок: у шостому стовпчику шукаємо ведучий, починаючи з четвертого місця (попередня змінна вільна).

73

1 1 0 1 0 1							0		1		1 1 0 1 0 1 0									1
	0	1	1	1	1	0	1		0			0	1	1	1	1	0	1		0
0		0	0	1	1	1	0		0		0		0	0	1	1	1	0		0	.
		0	0	0	0	1	1		0		6 й крок		0	0	0	0	1	1		0
0											0
	0	0	0	0	0	1	1		p 5			0	0	0	0	0	0	0		p 5

7-й крок: у сьомому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (п’ятого) немає ненульового елементу, отже x7 – вільна змінна.

І етап завершено, ненульові елементи матриці утворюють сходинки, матриця має східчастий вигляд.

ІІ етап. Виникає два можливих випадки.

1.Якщо p 5 , то СЛР несумісна. Розв’язання закінчено.

2.Якщо p=5, то СЛР сумісна та невизначена, оскільки є три вільні змінні. В цьому випадку з останньої матриці перетворень І етапу можна виключити останній рядок, оскільки він відповідає числовій тотожності 0=0. Тоді матриця набуває вигляду:

	1		1	0	1	0	1	0		1
		0	1	1	1	1	0	1		0
	0		0	0	1	1	1	0		0
		0	0	0	0	0	1	1		0
ІІІ етап (для p=5).
1. СЛР, що відповідає останній матриці, має вигляд:
x1 x2				x4			x6					1
	x2 x3 x4 x5							x7				0
					x4 x5 x6							.
												0
							x6 x7 0
2. Надамо вільним			змінним				значень					x3 a ,	x5 b ,	x7 с ,

a,b,c R , та перенесемо їх у праву частину кожного рівняння:

x1 x2 x4 x6 1

	x2 x4	a b c
	x4 x6	b
	x6 c

(матриця з базисних змінних – верхньотрикутна).

74

3. Знайдемо значення базисних змінних, починаючи з
x6	с
	b с
x4
останнього рівняння:	.
x2	а 2с
x 1 a b 2c
1

		1 a b 2c
			a 2c
				a
4. Розв’язок СЛР			b c
	x				, a,b,c R .
				b
				c
				c
Відповідь матиме вигляд: 1) якщо p 5 , то СЛР несумісна;
2) якщо p=5, то СЛР			сумісна та невизначена, будь-який її
				1 a b 2c
					a 2c
					a
розв’язок задається вектором					b c		, a,b,c R .
			x
					b
					c
					c

Метод Жордана-Гауса повного виключення змінних

Алгоритм методу: відрізняється від алгоритму метода Гауса тим, що на кожному кроці першого етапу нулі слід робити не тільки під, але й над ведучими елементами. За рахунок цього матриці коефіцієнтів при базисних змінних стає діагональною, що дозволяє одразу виписувати розв’язок СЛР, уникаючи ІІІ етапу.

Приклад 7. Розв’язати СЛР методом Жордана-Гауса

x1 x2 x3 3

2x1 x2 x3 11 .x1 x2 2x3 8

75

					Розширена				матриця	даної	системи	має	вигляд
			1		1	1		3
А				2	1	1
								11 .
				1	1
						2		8

І етап складається з трьох кроків.

1			1 1				3				1 1 1			3		3 0		2		14			3 0 0			12
		1			1							1					0 3	1		5				0 3 0		6
2							11				0 3			5
	1	1							1 й крок					2 й крок								3 й крок		0 0 1		1
					2		8				0 2	1		5			0 0	5		5
		1
				0	0				4
			0	1	0				2
										.
			0	0	1				1

1-й крок: до елементів другого рядка додали відповідні елементи ведучого (першого) помножені на (-2); до елементів третього рядка додали відповідні елементи ведучого (першого) помножені на (-1).

2-й крок: до елементів першого рядка помножених на 3 додали відповідні елементи ведучого (другого); до елементів третього рядка помножених на 3 додали відповідні елементи ведучого (другого) помножені на (-2).

3-й крок: після скорочення на 5 елементів третього рядка до елементів першого рядка додали відповідні елементи ведучого (третього) помножені на (-2); до елементів другого рядка додали відповідні елементи ведучого (третього). Після цих перетворень елементи другого та третього рядків скоротили на 3.

ІІ етап. СЛР – сумісна та визначена, за останньою матрицею

x1 4

одразу маємо розв’язок: x2 2 .

x3 1

4

Відповідь можна записати так: x 2 .

1

76

§ 4. Елементи векторної алгебри.

Поняття n-вимірного вектора, лінійна залежність векторів.

n-вимірним вектором називається впорядкований набір з n

дійсних чисел a a1,a2, ,an . Числа, що складають цей набір,

називаються координатами вектора. Введене поняття є узагальненням двох-, трьохвимірних векторів.

Операції над векторами здійснюються покоординатно.

1.Множення вектора a на число : a a1, a2, , an .

2.Сума векторів a та b : a b a1 b1,a2 b2, ,an bn .

n-вимірним векторним простором Rn називається множина всіх n-вимірних векторів з так введеними операціями над ними.

Підпростором простору Rn називається підмножина множини Rn , замкнена відносно вказаних операцій.

Лінійною комбінацією набору векторів a1,a2, ,ak

називається n-вимірний вектор b , що задається співвідношеннями:

b 1a1

2a2 k ak , 1, , k – дійсні числа, при цьому кажуть, що

вектор

лінійно

виражається через вектори набору

,

, ,

b

a1

a2

ak

(геометрично вектор

розкладається за векторами

,

, ,

).

b

a1

a2

ak

Набір векторів

,

, ,

називається лінійно незалежним,

a1

a2

ak

якщо

1

2

k

1 2 k 0 ,

та

лінійно

a1

a2

ak

0

залежним, якщо

1

2

k

, де не всі

числа

1, , k

a1

a2

ak

0

дорівнюють нулю.

Наслідок означення. Набір a1,a2, ,ak – лінійно залежний, якщо хоча б один з векторів набору є лінійною комбінацією інших, тобто розкладається за іншими.

Частинні випадки.

1. Набір з двох векторів a1,a2 – лінійно залежний a1 ||a2 .

2. У просторі R2 вектори е (1,0), е				2	(0,1) – лінійно
1

незалежні (оскільки непаралельні), але для кожного вектора

b (b ,b ) R2				b b e				b e		2	, отже набір	е ,е				,b		– лінійно
1			2	1			1	2				1		2

залежний.

3.У просторі R3 вектори е1 (1,0,0), е2 (0,1,0), е3 (0,0,1) –

лінійно незалежні, але для кожного вектора b (b1,b2,b3 ) R3

77

b b1e1 b2e2 b3e3 , отже, набір е1,е2,е3 ,b – лінійно залежний.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних наборів векторів.

1.Якщо набір векторів містить нульовий вектор, то цей набір – лінійно залежний.

2.Якщо набір векторів містить лінійно залежну підсистему, то весь набір – лінійно залежний.

3.Якщо набір векторів лінійно незалежний, то будь-яка його

підсистема – лінійно незалежна.

На практиці для перевірки лінійної залежності або незалежності набору векторів використовують наступну схему, яку ми проілюструємо на прикладі.

Приклад 8. Перевірити лінійну залежність або незалежність

		1					2						3
набору векторів			3	,				1	,				1 , p R – параметр.
	a				a	2				a	3
1		1					1						p
			3					2
													1

Користуючись означенням лінійної незалежності, слід розглянути наступну рівність 1a1 2a2 3a3 0 та перевірити, чи може вона виконуватись при ненульових значеннях чисел 1, 2, 3 . Якщо так, то вектори набору – лінійно залежні за означенням, інакше

– лінійно незалежні. Запишемо дану рівність в координатах векторів:

	1				2				3			0			1 2 2 3 3 0
		3				1				1			0				2 3 0
1				2				3							3 1
																		.
	1				1				p			0						p 0
																1	2	3
		3				2				1			0				2 2	3 0
															3 1

Очевидно, отримали однорідну СЛР з невідомими 1, 2, 3 , отже

питання про лінійну залежність або незалежність набору векторів зводиться до питання, відповідно, невизначеності або визначеності однорідної СЛР (оскільки, якщо однорідна СЛР визначена, то вона має лише тривіальний – нульовий розв’язок, якщо невизначена, то крім тривіального має ще й інші розв’язки). З’ясуємо це питання, розв’язуючи систему за методом Гауса. Очевидно, для однорідної СЛР досить розглядати матрицю системи, а не розширену матрицю.

78

1		2	3
А	3	1	1 .
1		1	p
	3	2	1

Як бачимо, стовпчики цієї матриці є векторами набору a1, a2,a3 .

	1		2	3		1 2			3			1		2	3		1		2	3
А	3		1	1			0	5	10				0	1	2			0	1	2	.
		1	1	p			0	1	p 3				0	1	p 3			0	0
																				p 1
		3	2	1			0	4	8				0	1	2			0	0	0

Виникають дві можливості:

1) якщо p 1, то СЛР – невизначена, оскільки третю змінну можна вважати вільною, отже, набір векторів a1, a2,a3 є лінійно залежним (зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 2);

2) якщо p=1, то СЛР – визначена, отже, набір векторів a1, a2,a3

єлінійно незалежним (зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 3). Зауваження. При дослідженні набору векторів на лінійну

залежність або незалежність можна одразу виписувати матрицю, стовпчики якої складають вектори цього набору, вважаючи цю матрицю матрицею однорідної СЛР, після чого, користуючись методом Гауса, досить з’ясувати визначеність чи невизначеність цієї системи.

Базис векторного простору, розклад вектора за базисом.

Лінійно незалежна підсистема набору векторів a1,a2, ,ak

називається максимальною лінійно незалежною підсистемою,

якщо дописування до неї довільного вектору цього набору, який не входить в цю підсистему, робить її лінійно залежною.

Твердження. Максимальні лінійно незалежні підсистеми даного набору векторів можна вибирати по-різному, але кількість векторів кожної з них – однакова.

Кількість векторів у максимальній лінійно незалежній підсистемі даного набору векторів називається рангом набору.

Максимальна лінійно незалежна підсистема векторів простору Rn називається базисом цього простору, а кількість векторів в цій підсистемі співпадає з розмірністю простору.

79

Висновок. Очевидно, базис є мінімальним набором векторів простору, якого досить, щоб всі інші вектори простору можна було подати у вигляді лінійних комбінацій векторів цього набору.

Теорема (про розклад вектора простору за базисом).

									Rn , тоді будь-
Якщо	е ,е			, ,е		n		– деякий базис векторного простору
	1 2
який	вектор							Rn однозначно подається у вигляді лінійної
							x

комбінації базисних

векторів, тобто існує єдиний набір дійсних чисел

(x1,x2, ,xn )

такий,

що

x

x1

e1

x2

e2

xn

en

, при

цьому

набір

(x1,x2, ,xn )

називається

координатами вектора

у

базисі

x

е1,е2, ,еn , а дана лінійна комбінація називається розкладом за базисом.

Теорема. Якщо е1,е2, ,еn – лінійно незалежний набір векторів

простору, причому будь-який вектор x цього простору лінійно

виражається через вектори набору е1,е2, ,еn , то:

1)е1,е2, ,еn – базис даного простору;

2)простір – n-вимірний.

На практиці для знаходження розкладу вектора за базисом використовують наступну схему, яку ми проілюструємо на прикладі.

					Приклад											9.					Перевірити,	що	набір		векторів
			1							2							2									3
				1		,					2		,						1		є базисом та розкласти вектор						7		за
	е						е	2						е	3									x
1
																			0								7
				2							1

цим базисом.

Прирівняємо вектор

до лінійної комбінації векторів набору

x

x1

x2

x3

,

де числа

x1,x2,x3

поки що невідомі. Запишемо

e1

e2

e3

x

цю рівність у координатах векторів:

1

2

2

3

x1 2x2 2x3 3

1

7

2x2 x3

7 .

x1

1

x2

2 x

3

x1

0

7

x2

7

2

1

2x1

Отже, отримали неоднорідну СЛР, розв’язуючи яку знайдемо

коефіцієнти розкладу вектора

за набором векторів

,

,

. Для

x

е1

е2

е3

цього скористаємось методом Жордана-Гауса:

	1		2	2		3		1 2			2		3		2 0			1		4
			2	1						4	3					0	4	3		10
А 1						7 0							10
		2	1 0			7			0	5	4		13			0	0	1		2

80

							2 0			0	6			1 0			0	3
								0	4	0	4				0	1	0	1
																			.
								0	0	1	2				0	0	1	2
					Очевидно, СЛР – сумісна та визначена, отже, вектори набору
		,		,			утворюють						базис,				оскільки набір є лінійно незалежним,
	е1		е2		е3

кількість векторів співпадає з їх розмірністю. Координати вектора x в цьому базисі (–3, 1, 2).

Таким чином, набір векторів е1,е2,е3 є базисом простору,

розклад вектора x за цим базисом має вигляд x 3e1 e2 2e3 . Зауваження. Приклад показує, що для знаходження розкладу

вектора x за набором векторів слід скласти матрицю, стовпчиками

якої є вектори набору, а стовпчиком вільних членів – вектор x . Вважаючи цю матрицю розширеною матрицею неоднорідної СЛР, слід розв’язати систему методом Гауса або Жордана-Гауса. При цьому можливі випадки:

1)якщо СЛР виявиться несумісною, то вектор x не

розкладається за векторами набору, отже набір векторів не є базисом;

2)якщо СЛР виявиться сумісною, але невизначеною, то вектор

xрозкладається за векторами цього набору, але неоднозначно, отже набір векторів не є базисом, оскільки вектори набору лінійно залежні;

3)якщо СЛР виявиться сумісною та визначеною, то вектор x розкладається за векторами цього набору однозначно, отже вектори набору лінійно незалежні, причому за умови, що їх розмірність співпадає з кількістю (кількість рівнянь системи співпадає з кількістю невідомих), набір векторів є базисом простору.

Зв’язок рангу матриці з рангом набору векторів

Розглянемо матрицю

a11	a12	a1j	a1n
	a22 a2 j
a21				a2n
.	. . .		.	.
	ai 2	aij
A ai1				ain .
.	. . .		.	.
	. . .		.	.
.
	am2 amj
am1				amn

81