Zolotaryuk_lectures

3.3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ СИСТЕМИ ДВОХ Д 61

Tyтнaстyпнима

îäíó

ψ1,2

φ1чином:,2 ¹ бaзи ами, тoму вони мoжуть бути вираженi одна через

2

X

спiввiдношення

залежностi елементiв

дe мaтриця

φi(x, λ) =

Tki(λ)ψk (x, λ) ,

(3.37)

k=1

oñêiëüêè ÂðoíñêiàíT назива¹ться3 нe зaлeжитьмaтрицеювiд

переходу, oкрiм тoгo det T (λ) = 1,

x. Не складно показати що

W (φ1, φ2) =

T11

ψ(1)

+ T21ψ(1)

T12

ψ(2)

+ T22ψ(2)

(3.39)

− hT11ψ1

1

2

1

i

2

+ T21ψ2

hT12ψ1

+ T22ψ2

= det T (λ)W (ψ1, ψ2) .

(2)

h

(2)

(1)

h

(1)

−

щоЗ iншого боку, за допомогою асимпотичних представлень легк встановити

oтрима¹мо

, тому, викорис овуючи

(3.39)

W (φ1, φ2) = W (ψ1, ψ2) = 1

кцiйКорисноdetрозрахуватиT (λ) = 1.

матрицi перех ду

óí-

φψ:

T11

=

W [φ1(x, λ), ψ2(x, λ)] = T11W [ψ1, ψ2] ,

(3.40)

−T22

=

W [φ2(x, λ), ψ1(x, λ)] = φ2(1)

ψ1(2) − ψ1(1)φ2(2) =

=

T12ψ1(1) + T22ψ2(1) ψ1(2) −

T12ψ1(2) + T22ψ2(2) ψ1(1) =

1)

= −T22W (ψ1, ψ2) ,

T12

= W [φ2(x, λ), ψ2(x, λ)] ,

2

Poзглянемо наступне iнтегральне пpeд тaвлeння базисниx ункцiй:(3.43

−T21

= W [φ1(x, λ), ψ1(x, λ)] .

ψ1(x, λ)

=

0

eiλx + Zx

K1(x, x′)eiλx

dx′ ,

4)

1

+∞

′

eê ïoíeíòa,

Mìó1,2(x, x′) = 0

x′ > x

1

e−iλx + Zx

K2(x, x′)e−iλx

5

ψ2(x, λ)

=

dx′ ,

0

+∞

′

Врoнськогоïoìiòèòè,(Âðoíñêiàí) äâoxψ1(x, λ) exp (−iλx)

φ2 x, λ) exp iλx

φ1(x, λ)

=

0

eiλx + Z−∞ M1(x, x′)eiλx

dx′

,

6

1

x

′

φ2(x, λ)

=

1

e−iλx + Z−∞ M2(x, x′)e−iλx dx′

0

x

′

äå ÿäðà K, M 1 2(x, x′) ¹ трикутними,

тобто

K1,2

(x, x′) = 0 ïðè x > x′

òa

(3.47)

U (x′, λ) = 0 çãiäío (3.21), òo i W (x) íe çaëeæèòü âiä x.

нe складнo при

щo.Ядраункцi¨нeзростають скорiше нiж

òî-

3Визначник

ðoçâ'ÿçêiâ

òa

ùoW (Âðoíñêiàíf1, f ) = det ˛

f1, f2 рiвняння (3.20)

f

(2)

f

(2)

˛ .

Iсну¹ тeoрeмa щo твардить

˛

f

(1)

f

(1)

˛

(3.38)

1

2

системи1

â òî÷öi2

˛

˛

˛

˛

˛

˛

òî÷öi

x пов'язяний iз Врoнскiаном в

x0 виразом

R x TrU (x′,λ) dx′

Oñêiëüêè Tr

W (x) = W (x0)e x0

.

62 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА

ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т

Прирозв'язкигoвopитиомплекснихâeðxíié

T12(λ) T21(λ)

дoпускаютьa aнaлiтичне пpодо женняeлeмeнтiвОЗСIЯННЯвeрxню п площину λ, a ψ2(x, λ) exp (iλx)

φ1(x, λ)

(−iλx), вiдпoвiднo, в нижню.

ðiâ

ння (3.40) виплива¹ щo

ìàòèчнапaдкуaнaлiтична.Провнижнiйaнaiтпiчнiплощинi,ть

a з рi няння(3.41) - що

T22(λ)

àëi-

T11

(λ)

â

нeмoжливoвласн х. значенняx

òa

â çaãaëüíîìó

óíêöiÿìè,

λ iснуватимуть власнi

значенняT (λ) ùo= 0¹. Aíaëoãi÷íoëÿìè ó âeðxíié ïiâïë

ùèíi

що спадають дo

λ рiвняння (3.18)-(3.19) мoжуть

0

0 експоненцiйно при x → ±∞. ßêùo Imλ <

φ1(x, λ) = T11(λ)ψ1 (x, λ) + T21(λ)ψ2 (x, λ) →x→+∞

e−

.

ùo→ T11(λ)

0

e

+ T21(λ)

1

1

ix(

Re

Im

λ)

0

Re

Im

λ)

Oчевидно

óíêöiÿ

φ1(x, λ) залишитьс

обмеженоювiдповiдаютьx ëèøe ça yìî

(Í Ø)

-

власступíèмй знеченв'язок ям:мiж

власними

. Ïiäñóìîвуючищo

вищевказане,дискретнимма¹мона

T22

(λ) = 0

φ1(x, λn) = βnψ2(x, λn), βn = T21 λn),

8)

едукцi¨Н).рiвнянняШ, тобтозадачiзаШредiнгеранаступнихозсiянняумов для виптадкiвсинуснелiнiйордон(3.49-

Для3.3.1випадку(Сного

φ2(x, λn) = bnψ1

(x, λn) ,

bn

= T12

(λn).

”+”. Íå

−1

ïîìiòèòè,

0

,

ìà¹r(ìiñöex) = ±q (x) , U (λ) = U±(λ)

≡ iλ

0

+

±q

ðeäóêöiÿ: ÿêùî

1

0

0

q

(3.50)

òî

ψ˜(x, λ )

=

ψ(2) (x, λ ), ψ(1)

(x, λ )

T

T , ¹ розв'язком

ψ(x, λ)

= ψ(1)

(x, λ), ψ(2) (x, λ)

загальностi розглянемо випадок

теж ¹ розв'язком. Без втр ти

ши явний вираç для базисiв у вираз редукцi¨,áaçè iâодержимоäiéñíèx λ. Пiдставив-

складно

взявши до увà

виразуùî даному випадку

= −U T (λ )ψ . Зазначимо

акогож,

U (λ) = −U T (λ ), òîìó ψx = U (λ)ψ

e

−

ψ:

e

якщо помiняти мiсцямиψ = ψелементи.едукцiявекторвиплива¹-стовпчикелементарно з ць

ченi спiввiдношення

−

ïiäñò

−

−

−

−

(2)

12

−

22

12

ψ(1)

ψx(1)

=

(

λ )

ψ(1)

+ q ψ(2)

→

ψ

2)

ψ(2)

ψx

=

qψ + λ ψ

Тепер мoжемо

a òo yâaòè peäyêöiþ äo

ía oñi

h−

−

−

Вищезазна

˜

ïiñëÿ

ановки˜

в (3.37) дають

(3.51)

ψ2(x, λ) = ψ1(x, λ) , φ1(x, λ) =

−φ2(x, λ),

λ = 0.

φ˜2 = T ψ˜1 + T ψ˜2 = T ψ2

T22ψ1 = φ1 = T11ψ1

T21ψ2,

3.3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ СИСТЕМИ ДВОХ Д 63

ñaìi

T = −b (λ)

a(λ)

, |a(λ)|

+ |b(λ)|

= 1 ,

λ = 0.

(3 52)

ìaòðèöi

T21

= b . Ó âè−àäêó, êîëè

звiдки випливають нaступнi влaстивостi мaтрицi пepexoдy: T

11

(λ) = T

λ

≡

(λ), T12(λ) = −T21(λ) ≡ b(λ):

(λ) b(λ)

2

2

.

Аналогiчним способом застосувавши редукцiю до випавдку "

eëeìeíòè

ïepexoäy oêðiì eëeìeíòa

"ìa¹ìî òi

дe iндeксиУвипадку1 2ðiâìoæ

íaäaëi

λ ¹ комплексною величиною, ма¹мо наступний вигляд матрицi перех ду:

базисуВбyдьT =-

b (λ )

a(λ)

,

a(λ)a (λ ) ± b(λ)b (λ ) = 1 .

a (λ ) b(λ)

якoму з вищезазначених випадкiв мoжeмo пpeдстaвити елемент(3.53)

äóêöi¨,

f (x, λ) =

f (1), f (2)

f

ановити,f (2)(x, −λ), f (1)(x, −λ) T

f (x, λ) =

, f

φ2 наступним чином:

˜

φ2(x, λ) = (λ)ψ1(x, λ) + b(λ)ψ1(x, λ)

янняа будeС ма¹мo

oпустити.

(3.54)

âó ðeäóêöiþ: ÿêùo

q(x) = q (x)

≡

ux/2. Цe допуска¹ дoдатко

няннiобидвiптотичнеакж(3¹.розв'язком20)

¹ розв'язком, тo i

зробившивуючирiв

замiну.iндексiвЦюредукцiю нескладно

ñò

1 ↔ 2

замiнивши(1)λ →(2)

−¹λðîçâ'ÿçê. îì, òo i

отриму¹мо, що якщот

Застос

fˇ(x, λ) = f (1)(x, −λ ) , −f (2)(x, −λ )

T

àñèì-

значення базисно¨ ункцi¨

¹ розв'язком. Poзглянувши

→ → ∞

ψ1(x, λ), отриму¹мо

→ → ∞

0

−ψ1(2)

(x, −λ )

!

0

eiλx

ˇ

ψ(1)

(x,

−

λ )

eiλx

Taким чином

1

x +

.

ψ1(x, λ)

x +

, ψ1(x, λ) =

−

(3−

43),

−

ми. Звiдси наступнi спiввiдношенняˇ

дляi цiцi¹¨дватарозв'язкирештибазис¹лiíiйноих залежниункцiй:-

W [ψ1(x, λ), ψ1

x, λ)] = 0

!

1

−ψ1(2)

(x, −λ )

!

2

ψ2(2)

(x, −λ )

ψ (x, λ)

=

ψ1(1)(x,

−λ )

ψ (x, λ) =

−ψ2(1)

(x,

−λ )

,

5)

φ (x, λ) =

φ(1)(x,

−

λ )

φ (x, λ) =

−

φ(1)(x,

−

λ )

.

1

2

56)

Пiдставляючиeлeмeнтiв матpицiце упepexoдy:вирази.40)-(3.

(3.äëÿ

oдeржимo нaступнi влaстивостi

1

φ1(2)(x,

λ )

!

2

φ2(2)

(x,

λ )

!

a (λ) = T

1)

h

(2)

(1)

(λ) −

(1)

(2)

i

(λ)

=

22

= W [ψ1(λ), φ2 (λ)]

φ2

(λ)ψ1

φ2

(λ)ψ1

(λ) =

(2)

(1)

(2)

(−λ ) = W [ψ1(−λ ), φ2(−λ )] = a(−λ ) ,

= φ2

(−λ )ψ1

(−λ ) − φ2 (−λ )ψ1

=

T

(λ) = W [φ , ψ ] =

φ(1)(λ)ψ(2)(λ)

φ(2)(λ)ψ(1)(λ)

(3.57)

b (λ)

(1)−

21

(2)

1

1 (2)

h

1

(1)

1

−

1

b(

1

i

=

ñiÿííÿ:Íàñëiäêîì= [ φ ( λ )ψ

1

( λ ) + φ

( λ )ψ

1

( λ )] =

−

−

λ ) .

−

1

−

−

1

−

−

спiввiдношень (3.57) будуть наступнi властивостi даних роз-

64 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т

• Першаиметричнозормулвiднo(3нo.57)Reознача¹, зокрема те що нyлi a(λ) poçòaøoâaíi

öi¹íòè	λ = 0 (тобто уявно¨ осi). При Reλ = 0 êîå i-
	a(λ) ¹ дiйсними.

• Другнаступнерозв'язкиспiввiдношенняормул(3.57)¹ справедивоюдляоскiлькиоеiцi¹нтлишевласнихвiдбиваннянадiйснiй осi де вона да¹

R(λ) = b(λ)/a(λ):

R( λ) =

−

R (λ). Проте,

óíêöi¨ r(x), q(x) ¹ iнiтними, то

−

ункцiямиль4

змiнно¨представлення. Це (3скла.44)-

(3äíî.47)ïîìiòèòè,.Òäiψ(x,проаналiзλ), φ(x, λ) вавш¹цiл ми¨хнi iнтегр

λ

ïë ùèíi.

b(λ) мож бути повнiстю визн че ою на всiй комплå ñíié

аютьДля дискретно¨нулямçaäa¹òüñчастини спектру [тобто

значе ь, що вiдповiд

•

(3

îñi, òî Re

(λ) ìà¹ìî

акi властивостi: якщо λn лежить на уявнiй

íèì

bn = 0

, äå

bn = b λn

íиком, визначе-

ормулою (3.49). Якщо ж ¹ нормувальним мно

супадкучaTeпep3.3розв'язкiвoвa.2 пoтpiбнoaсипoвeдiнкaЗалежнiстьотикивизначитиняня(3.35)(3даних.24)

λ

n

=

− m

b

n

=

−

m

λ

b

-

амичасуданiyзалежнихврозсiяннязaгaльнoму.вiд.ˆxнячави

ятaякрiвнянням.Maтрицяеволюцiонують.36)розсiянняe (3¹.асимтотик24),,пpиувiдточасiчo

до деяко¨ матрицi

V çà æäè â

à¹òüñ òî÷íiñòþ

αI, äå I -

динич

матриця. Визначення цi¹¨ матрицi

αI пов'язане iз визначенням пî аткових умов. Зa iк y¹мо aсимптотикy нa x → −∞ пoчaтковий мoмeнт aсу:

iвняння (3.f24)(x,ïpèt = 0, λ) →x→−∞ φ2(x, λ) =

0

e−iλx .

(3.58)

x → ±∞ мaтимe вигляд

¨хнiмиToдi залежнi

ft =

0−

−A− f .

A

0

асимптотичнимивiд асу влaзначеннями:нi yнкцi¨ нaступним чином будуть пов'язанi(3.59)з

ïoâeäiíê

φ(t)(x, t, λ) = φ1

(x, t, λ)eA−t , φ(t)

(x, t, λ) = φ2(x, t, λ)e−A−t ,

0)

1

2

(t)

ψ

t)

(x, t, λ) = ψ2(x, t, λ)e−A−t

,(3.61

3ayâaæèìoψ (x,ùet,paç,λ) =ùoψ1(x, t, λ) A−t ,

1

2

ïòoòèê ía

φ1,2 ta ψ1,2 взагалi зaлeжaть вiд чaсу (oкрiм a им

óíêöiÿ,

çâ'ÿçêè

), äe

зaдoвiльняють (3.35)

(3.36). Â òoé æe ÷añ ðo-

He

(t)±∞

âoíè(t)

дaнимавлaсниxaимпункцiйoтикамзaдa¹тьсянeзaдoврiвняннямльняють.

êëaäíoφ

(x, t, λ)

ψ

(x, t, λ)

1,2

1 2

äe

φ2,t = (V + A−I)φ2 ,

(3.62)

á ðy÷èI ¹ дooдиничноюyвaгиpoзклaд:мaтpицею. Poзглянемо a имптoтики нa x = +∞, òa,
назива¹тьсяплощинiокрiм нескiнченнояка ¹ голоморвiддaлено¨ноюточки(а .значить i аналiтичною) (3в .усiй63)
комплекснiй4Цiлою	φ2(x, t, λ) = a(λ, t)ψ2(x, λ) + b(λ, t)ψ1(x, λ) ,

3.3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ СИСТЕМИ ДВОХ Д 65 i пiдстaвляючи йoгo в (3.62), для piвняння oтрима¹мo:

a(λ, t)	=	a(λ, 0) , b(λ, t) = b(λ, 0)e−it/2λ ,			4)
Tyт булoЛевiткoристанoдетермi˙ àêîæ òe ùo â ìaòpèöi					(3.65
λn	=	0 , bn(t) = bn(0)e−	it/2λn	.

V для piвняння С€ A− = 1P3/.43iλглянемо.3. Виданимивипадоканарозсiя-довiльнихМарчеíaнятнихкаа.потенцiаормуëом)(явного.iвняннязв'язку€ельмiж анда-

ïoçía÷eííÿ

r(x) ta q(x),

ëå äëÿ çðó÷ oñòi çáeðeæeìo

пoки ,щo дoвiльними..3aувПoдiлимoaжимo,в щoрiвняннiiншi двa(3.54)eлeмeнтиoбидвi

чaстиним трицi пeрexoдya(λ) =¹T22(λ) b(λ) = T12(λ)

пiдставляючи (3.44),(3.45)

(3.66), oäeðæó¹ìo44) 45)

ψ1(x, λ) òa ψ2(x, λ), òoáòo

a(λ):

φ2(x, λ)

b(λ

íаступне питанрiвнянняяк ïîâ'язати данi розсiяння та(3.ун66)

кцi¨Зараз нас цiкавить

a(λ

= ψ2

x, λ

+ a(λ

ψ1(x, λ) .

-

ана. -Марченка,-(3.КдФдляцепротеможнавонозробимаòèмеза бiльшдопо

складниймогоюBикr(xрiвнянняорист) виглядаqàâøè(x)..Якiельпредстандавипадкуавлення-Левiт(3

exp (iλyñiìa) ïpoiíòeãðó¹ìî

¨x пo кoнтуру

Ïpè

(äèâââaæaòèì.èñ. 3ìo.3),ùoùo ïpoxoäèòü

ïoíaä ó

нулями a(λ).

дельтаií-òeãðyâaííióíêöi¨ Äiðaêa5. B peзyльтатiy oдержимo:> x òa êoðèñòa¹ìoñя визначенням

2

(λ)

=

1

e−iλx

+ Zx

K2

(x, ′)e−iλx dx′ +

(λ)

0

iλx

+

φ (x, λ)

0

+∞

′

b(λ)

1

Teïep+R(λ) Zx

K1

x, x′)e

iλx′

dx′ .

+∞

(3.67)

дoмнoжимo лiву тa пpaву чaстини нa

лощинiBpaxoâ, çãiäíoyþ÷è

çaíaëiòè÷íiñòüKoøi6,

φ2(x, λ) exp (iλy)

λ

K2

(x, y) +

òeopeìîþ

+ Zx

K1(x, x′)F1

(x′

+ y)dx′ = 0 .

(3

x′ + y)dx′,

0

2π I φ2

( a(λ)

dλ =

2

(x, y) +

F1(x0+ y)

+ Zx

K1(x, x′)F1

1

x, λ)

iλy

+∞

F1(

+ y) = 2π I (λ) eiλ(x óíêöi¨dλ.

(3.69)

1

b(λ)

+y)

ìà¹ìî

ïî

y âepxíié ïiâ-

F1

(x + y)

+∞

.70)

5Дельтаункцiя Дiрaкa може бути представлена наступним чином:

1

I eiλxdλ .

6ßê o óíêöiÿ

δ(x) =

(3.68)

2π

дливо ùî

f (z) ¹ aнaлiтичною в oбластi G, òo äëÿ будь-якого C, C G, справе-

HC f (z)dz ≡ 0.

66 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т

Im λ
Aналогiчнимис. 3.3:способомCxeмaтичнемoжнaзoбрaженнявчинити0	Re λ
	зкoнтурiврiвняннÿiíòeãpyâaííÿ.ì

iäìiííiñòü

лягятиме лишe в дом ожуваннi на

(3.71)

ï φ1(x, λ) = T11(λ)ψ1

(x, λ) + T21(λ)ψ2(x, λ) .

F2(x)70)= 2π I˜ T11(λ) e−

dλ .

e−iλy тазаноiтeгрyвaннi пo

êoíòyppeçyëü

oдeрп оходитьжимo пiд усiма нулями

B

˜

T11(λ)

, ÿê âê

íà èñ. 3.3.

ùî

òaòi,

K1 x, y + F2(x0+ y) + Zx+∞ K2(x, x′)F2(x′ + y)dx′ = 0,

2)

1

T

1

(λ)

iλx

(3.73

виглядi:Piвняння (3.

ta

(3.72) ìoжнa oб'¹днати, записавши ¨х у матричному

K(x, y) + F x, y) + Zx+∞ K(x, x′)F(x′ + y)dx′ = 0 ,

(3.74)

(3

! , F

K1,2 встановлю¹ться зв'язок:

У випадку НK =Ø ( K(2)

K(2)

=

F2

0

.

1

2

F1

K1(1)

K2(1)

0

ßêF1 (x) = 2π

r(x) = ±q (x)) нескладно помiтити що

I a (λ

e−

dλ =

2π I˜ a (λ ) e−

dλ = F2(x) .

1

b (λ

iλ x

1

b (λ )

iλx

íàñëiäîê

âëàñтивосòi

.51) ìiæ ÿäðàìè

!

(3.75)

K1

(x, y)

Для рi няння С€ [K2 (x, y) =

K1(2)

(x, y)

.

(1)

(3.76)

використоâóþ÷è (3.57),q(x) = q

(x) = r(x) ма¹мо подальше спрощення:

oтриму¹мо

2

2π I˜ a (λ )

˜

→ −

1

−b (λ )

→ −

F (x) =

b(λ)

e−iλxdλ =

1

iλx

=

I

e

dλ = F1

(x) .

2π

a(λ)

		2π I		a ( λ )
	=	1		−
				(3.77)

3.3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ СИСТЕМИ ДВОХ Д 67

Використовуючишення, якi ¹ наслiдкамвирази (3редукцiй.55)-(3.56)дляможрiвíаяннявстановитиС€: наступнi спiввiдно-

(1)

(1)

(2)

2)

(1)

(1)

(2)

(2)

Позглянемо перше з рiвнянь (3.74)

= K2

, K2

= −K2 .

K1

= K1

, K1

=

−K1

; K2

i виразивши з K1

(x, y) + Zx

K2

(x, x′)F2(x′ + y)dx′ = 0 ,

(1)

+∞

(1)

нього

K1(1)(x, y), пiдставимо його в рiвняння

K2

(x, y) + F1(x + y) + Zx

K1

(x, x′)F1(x′ + y)dx′ = 0 .

(1)

+∞

(1)

Пам'ятаючи про те, що

для для випадку С€:

F1 = F2, одержу¹мо наступний запис рiвняння €ЛМ

äåKпозначенo(x, y)+F (x+y)−Zx+∞ Zx+∞ K(x, x′′)F (x′+y)F (x′+x′′)dx′dx′′

(3 45)

= 0 , (3.78)

(1)

≡ K

F

≡ F1

çâ'ÿçêó ìiæ óíêöiÿìè

Метою3.3.4 задачiK2

,

.ÿ îãî

3aдачa¹ встановленняурси

авлень

читими важливийнтегральнихроботiядраакт,предствстановле

базиснихийль андомункцiйта(3Левiтаном.44)-q x. таi.¨хнСлr(xiäé

оригiнальнiйз знаядр

в (3.20) отриму¹мо

K1,2, M1,2 íå çàëåæàòü âiä λ. Пiдставивши

45)

−iλe−iλx

+ Zx

e−iλx

∂xK2(x, x′)dx′ − K2(x, x)e−iλx =

(3.79)

0

+∞

′

#

−

λ

x

" r(x)K2(1)(x, x′)

−

λK2(2)

(x, x′)

Z

= i

q(x)

e−

iλx

+ i

+∞

λK2(1)

(x, x′) + q(x)K2(2)

(x, x′)

e−

iλx′

dx′.

вищенаведених рiвнянь.

виднеoзглянемоспiввiднîшеннячатку перше з

Використавши оче-

Zx

+∞

h

(1)

i

h

h

(1)

79)i

i

∂x

(x, x′)e−

iλx′

dx′ = x′→+∞

K

′

−

iλx′

−

K2

2

′

lim

(x, x e

−K2

(x, x)e−

=

Zx

e−

(∂x − iλ)K2

x, x′

dx′,

(1)

iλx

+∞

iλx′

(1)

в наступному(3.80)

виглядi:пiдставимо його в (3.79) i перепишемо перше′ рiвняння (3.

Zx+∞

(∂x − ∂x′ )K2(1)(x, x′) − iq(x)K2(2)(x, x′)

dx′

−

h

2

′

−

′

i − h

2

i

i

+ x′→+∞ h

iλx

(3.81)

lim

K(1)(x, x )e

iq(x) + 2K(1)(x, x)

= 0 .

68 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т

Аналогiчним чином можна звести друге рiвняння з (3.79) до

Zx

h

−

2

−

наступнi

→+∞

2

′ −

i

(∂x + ∂x )K2

(x, x′) − ir(x)K2

(x, x′) dx′−x′

+∞

(2)

(1)

умовиlim

K

(2)

(x, x )e

iλx′

Таким чином, повиннi бути задоволенi

2)= 0.

′

(∂x

∂x′ )K(1)(x, x′)

iq(x)K(2)

(x, x′) =

0,

3)

2

(2)

óìîâ:′

(1)

′

(3.84

з врахуванням таких граничних′

(∂x

+ ∂x )K2

(x, x )

− ir(x)K2

(x, x ) = 0,

задачiнянняМаючи(СКошi,рiвняння) уСтобтовиглядiЛМпошукуNормувиг-солiтонногочасово¨

q(x) =

2K2(1)(x, x) ,

5)

′ lim

(1,2)

(x, x′) = 0 .

i буде використо

K2

3вуватисьi.4нянняПобудовав(3подальшому.85)¹ основним. рeзультатом цього пiдроздiлу

(3.86-

x →+∞

умовинкретногодорiвнянрозв'язкурiв-

ëядiи(3.78)ормулиеволюцi¨миможемо(3.початков74)розв'язкуабоприступатидля¨

-

рiвнянняншим,спiввiдношення:пов'язанаС€. Нагада¹мозядрому випадкурiвняннявищезгаданогоЛМ ормулоюрiвняння(3.86)дляма¹випадмiсце,що,

наступнекумiж

u(x, 0)

Побудувати

q(x) = q

(x) = r(x) ≡ ux/2 .

(3.87)

щоченнященнявизнача¹тьсзадачiв разiвîçâ'ÿçîêпрдлямо¨нулямирозсiянрiвнянняункцi¨âiäáèâaííÿскладатимутьсR(λóíêöiÿ) лише з дискретного, власнiспектруз-

акт: якщo " отенцiалN -солiтонний

ðîçâ'ÿçîê

oжнa, вз вши до yваги наступнийй

ux ¹ невiдбиваючим, тoбто R(λ) ≡ 0

пiвплощинi, i

îíà

ам ма¹ скi ченну(λ).сукупнiстьЦя з ¹ аналiтичн ю

âåðõ

ié

Piâ3.4.iñòü1 íóëþ

êîå

iцi¹нтальн

€ËÌ

N íóëiâ: λ1, λ2,

. . , λN .

óíêöié

п изводить до певного спро

глянемо без втрати заг

стi ункцiю, данихрозрiзiво мулах (3.69) iнтег(3.73). оз-

F1,2(x)

онтуру. ˆ¨ вир з можнà

еписати

наступ им чином, розбивши iнтеграл по Fê1(x)

iдiнтегральногодо iй дузiвздовжвiд всiх вертикальних

íà ñóìó

iнтегралаàëiâ âiä

вгору та вниз,

ïî

−çîâíiø∞

+∞

−∞+ iǫ доотрима¹мо+∞+ðàäióiǫ iнтегралiв по ко

þòü ê æåí íó

турам щоонтурiвхплю-

àê æ

λn. Спрямувавши

с зовнiшньо¨ дугиаслiдокбезмежн стi (i

äÿòüǫ →íóëi0)

трима¹мо(виразу.щоСпрямувавшиiнтегрпонiйтойзанулитьсяжчасрадiусив

îáõ

í

навкзануленнящо

ïенсують дин λnдного)до нуляйдадуть сумарнийщо нуль,iнтегралиiнтегралипорозрiзам оловсi скомнулiв-

3.4. ПОБУДОВА N -СОЛIТОННО О ОЗВ'ЯЗКУ IВНЯННЯ С

69

λnункцiяможуть бути вир женi через лишки7 ункцi¨ R(λ).

такому випадку

F1(x) набув๠вигляду

F1(x) = 2π Z−∞

R(λ)e dλ − n=1 cne

, cn = bn/a′(λn) .

N

Äëÿ óíêöi¨

1

+∞

iλx

X

iλn x

(3.88)

п овiвши аналогiчнi перетворення для контуру

˜,

ìó¹ìî

наступний вираз

îòðè-

F2

(x)

F2(x) = 2π Z−∞ T11(λ) e−

dλ + i n=1 dne−

, dn = T11′

(λn) .

N

1

+∞ T21

(λ)

λx

X

iλn x

T21

(λn)

íeâiäoìe

K(x,

) â

ÿä:

(3.89)

Аункцi¨:випадку невiдб в ючого [

спростяться

i äëÿ èïàдку рiвнянняR(λ) ≡С0€ нампотенцiалyдостатньоцiлишевиразиоднi¹¨очевиднотако¨

N

X oðìyëy

X

iλ

x

простий′

явний аналiтичний(3.90)

розв'язокВ такому.випадкуPозкладеморiвняння ЛМядрoдопускаютьn

F (x) = −

cne

, cn

= bn/a (λn) .

n=1

N

ˆ

iλn y

òaòi:ïiäñòaâèìo âèpaçè (3.90)K(x,òay(3) =.91) â Kn(x)e

(3,.78). Oäeðæèìo â peçyëü(3.91)-

)

ííÿ:âiäïîâiäíiI

âeêòopè.ïåpeïèñaòè3 K = (3K. 1

K2, ..., KN )

ice

= (c1e , c2

, ..., cN e

n=1

N

"δkn −

N

vnmvmk # Kˆ k(x) = icneiλn x ,

2)

X

X

94)

нaступнi пepeтвope

piвняння

k=1

m=1

cm

(λn +λm )x

Öeé âèpaç ìoæía vmn =

в спрощенoму; n, m виглядi= 1, 2, . . . , N,

(3.93)

λn

+ λm

− yãoão,

iλx

äe

(I − v

2

ˆ

,

(3.94)

K = ice

- oдинична мaтриця,

ˆ

ˆ

iλx

λ x

iλ x

-

iλ x

ˆìoæíaˆ здiйснититa

1

2

N

(I + v)Kˆ = i(I − v)−1ceiλx,

5)

i, дoдaючи oднe piвняння дo(I äpv)Kˆ = iìa¹ìo:(I + v)−1ceiλx,

(3.96

Kn(x) = 2 m=1 h(I + v)nm + (I − v)nmi cme

.

N

7Лишком ункцi¨ˆ

i

X

−1

−1

iλm x

(3.97)

f (z) â òî÷öiRes a назива¹ться iнтеграл

де контур

[f (z)]|z=a =

1

Iγ f (z)dz,

2πi

γ обходить точку проти годинниково¨ стрiлки.

70 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т

A звiдси, викopи тoвуючи oрмули (3.85) тa (3.87), одержу¹мо:

vрiвняння) , äå Lmn

N

доповíåííÿ

матрицi

(I ± v),

.

ux

= 4iK(x, x) = −2 m,n=1 h(I + v)nm + (I − v)nm

cme

N

X

1

−

1

i(λm +λn )x

(3.98)

Bзявши дo yвaги щo eлeмeнти oбepнe−î¨ ìaòpèöi

det(I ± v).

He клaднo oтpимaти ¨xнiй вигляд:

8

(I

±

v)−1

nm

= L±

/ det(I

±

mn

(3.98):- це алгебра¨чне

v) cm

ïåpeïèøeìo

ux

= −2 m,n=1 det(I + v) + det(I

−

.

X

L+

L−

i(λm +λn )x

mn

mn

Poзглянемo тепер пoxiднi вiд

(3.100)

ìaòpèöi v зpyчнo використовувати ¨й поäiáíó9 матрицю v˜, v˜mn =

N

N

d

X

dvmn

X

(λm +λn )xL±

det(I

v) =â piâí. (3.100),

Loäeðæèìo:=

ic

e

(3.101)

тaвляючи цe

±

dx

±

±

m

mn

ïiä dx

±

mn

m,n=1

m,n=1

ux

= −

"

det(I + v)

−

det(I − v)

#

= − i dx ln det(I − v) .

2

dxd

det(I + v)

d

det(I

− v)

2

d

det(I + v)

3aìi òü

(3.102)

Внаслiдок

e

(λm

−

λn )x

vmn

. Переписавши останнiй вираз як

v˜mne

iλn

= e

iλm x

vmn

можна

зробити висновок що роль матрицi

δmn

iλn

X гра¹ дi гональна матриця з елементам

(3.65) мaтpиця. 3 вpaxyванням явно¨ зaлeжностi

àíèx poçñiÿííÿ âiä ÷a y (3.64)-

v˜ ма¹ вигляд:

подiбностi ма¹мо

cm(0)

i(2λm x

−

t/2λm )

(3.103)

λm + λn e

.

v˜mn

=

ìàòðèöi

A = {Amn

} це вираз

ма¹B peзyльтaтiназвуvXдетермiнантно¨=oтриму¹мoXv˜ → X ±виразvXîðìó=äX

± Xv˜ → (I ± v)X = X(I ± v˜) .

ëяи:багатосолiтонного розв'язку, що також

8Aлгебра¨чне доповненняu(x, t) = −

2

det(I + v˜)

ln

= −4 arg det(I + v˜) ,

(3.104)

det(I

−

v˜)

(3.99)

0 A21

A22

··

··

··

A2n

··

··

A2N

1

··

A11

A12

A1n

A1N

(−1)m+n det B

·

·

·

·

·

Amn·

·

·

·

AmN·

C

äå

изначник береться

âiä

матрицi·

·

·

·

·

·

·

·

B

C

B

C

B

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

C

B

AN 1

AN 2

·

·

·

AN n

·

·

·

AN N

C

@

A

âMaтpицiпчиком.

N − 1 × N − 1

з видаленим

им рядком та

èì

ñòî9

m

òà m

A ta B нaзивaються пoдiбними якщo викону¹ться piвнi ть:

AX = XB .