- •Курсовая работа
- •Содержание
- •Введение
- •Нелинейные динамические модели
- •Выбор оптимального решения на основе классификации экономико-математических моделей
- •Биография
- •Логистическое уравнение
- •Логистическое отображение
- •Зависимость поведения от параметра
- •Аналитическое решение
- •Модель Ферхюльста (рождаемость и смертность с учетом роста численности)
- •Для этой модели нужно взять побольше временной диапазон ,т.К. Она наглядна на длинном промежутке времени временной диапазон ,т.К. Она наглядна на длинном промежутке времени. Динамика Ферхюльста
- •Гиперболический рост населения земли и модель с.П. Капицы
- •Модель роста населения земли и технологии м. Кремера
- •Модель роста жизнесберегающих технологий а.В. Подлазова
- •Миф о том, что синергетика может объяснить гиперболический рост численности населения Земли
- •Заключение
- •Список использованных источников:
Зависимость поведения от параметра
При изменении значения параметра , в системе наблюдается следующее поведение.
Если больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
Если больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение , независимо от начальных условий.
Если больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же придёт к тому же стационарному значению , но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения =3, при котором она крайне мала, меньше линейной.
Если больше 3 и меньше , численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями.
Если больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
При значении больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения . Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ ≈ 4.669... Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода.
При значении приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
Большинство значений, превышающих 3.57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений , при которых система ведет себя регулярно, обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения , существует интервал параметров , при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений — между 6, потом 12 и т. д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского.
При > 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.
Итог вышеперечисленного приведен на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра, а по оси ординат — принимаемые на больших временах значения.
Рис.3
Бифуркационная диаграмма логистического отображения
Структура бифуркационной диаграммы самоподобна: если увеличить область, к примеру, при значении= 3.82 в одном из трех ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искаженная и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.
Аналитическое решение
Для точное аналитическое решение выглядит следующим образом: