Algebra_10kl_RU

периодическая с периодом T = 2π, а функция

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

1) у = | sin х | = | f (x) |

Y

2) у = sin | х | = f (| x |)

Y

Задача 4

Постройте график функции и укажите промежутки ее убыва

ния и возрастания:

1) y = cos(x −

π

);

2) у = –tg х.

6

К о м м е н т а р и й Графики данных функций можно получить с помощью геометрических пре

образований графиков функций:

1)f (x) = cos х;

2)ϕ (x) = tg х. Тогда получаем графики функций:

1) y = cos(x − 6π )= f(x − 6π ) — параллельным переносом графика функции f (x) вдоль оси Ох на 6π единиц;

2) y = –tg х = –ϕ (x) — симметрией графика функции ϕ (x) относительно оси Ох.

Чтобы записать промежутки убывания и возрастания функций, отметим, что функция y = cos(x − 6π )

у = –tg х периодическая с периодом T = π. Поэтому для каждой из функций достаточно выяснить на одном периоде, где она убывает и где возрастает, а затем полученные промежутки повторить через период.

Ре ш е н и е

1)X Графикфункции y = cos(x − 6π ) получаем из графика функции у = cos х параллельным переносом вдоль оси Ох на 6π единиц.

72

§ 5. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Функция убывает на каждом из промежутков 6π +2πk; 76π +2πk , k Z,

и возрастает на каждом из промежутков −56π +2πk; 6π +2πk , k Z. Y

2)X График функции у = –tg х получаем симметричным отображением графика функции у = tg х относительно оси Ох.

Функция убывает на каждом из промежутков (− 2π + πk; 2π + πk), k Z. Y

Вопросы для контроля

1.а) Постройте график функции у = sin х. Пользуясь графиком, охаракте ризуйте свойства этой функции.

б*) Обоснуйте свойства функции у = sin х.

2.а) Постройте график функции у = cos х. Пользуясь графиком, охаракте ризуйте свойства этой функции.

б*) Обоснуйте свойства функции у = cos х.

3.а) Постройте график функции y = tg х. Пользуясь графиком, охарактери зуйте свойства этой функции.

б*) Обоснуйте свойства функции y = tg х.

4.а) Постройте график функции y = ctg х. Пользуясь графиком, охаракте ризуйте свойства этой функции.

б*) Обоснуйте свойства функции у = ctg х.

73

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Упражнения

1.

Пользуясь свойствами функции у = sin x, сравните числа:

1°) sin 100° и sin 130°; 2) sin 1° и sin 1;

3°) sin

21π

и

sin

12π

.

5

5

2.

Пользуясь свойствами функции у = cos x, сравните числа:

1°) cos 10° и cos 40°;

2) cos (–2) и cos (–3);

3°) cos

3π

и cos

6π

.

7

7

3.

Пользуясь свойствами функции у = tg x, сравните числа:

tg

2π

10π

3) tg (–1,2π) и tg (–0,1π).

1°) tg 15° и tg 140°;

2°)

9 и tg

9 ;

4.

Пользуясь свойствами функции у = сtg x, сравните числа:

1) ctg 3° и ctg 5°;

2) ctg

π

и ctg

13π

;

3) ctg (–1) и ctg (–1,2).

10

10

5.

Расположите числа в порядке их возрастания:

1) sin 3,3, sin 3,9, sin 1,2;

2) cos 0,3, cos 1,9, cos 1,2;

3) tg 0,7, tg (–1,3), tg 1,5;

4) ctg 0,5, ctg 2,9, ctg 1,1.

Постройте график функции и укажите нули функции и промежутки зна

копостоянства (6–9).

1) y = sin(x −

π

);

2°) y = sin

x

6.

;

3) у = sin (–x);

4°) у = –sin x;

3

3

5°) у = 3 sin x;

6) у = –| sin x |;

7*) у = sin x + | sin x |.

7.

1) y = cos

(

x + π

;

2°) у = cos 3x;

3) у = cos (–x);

4°) у = –cos x;

6 )

5°) у = 2 cos x;

6) у = | cos x |;

7*) у = cos x – | cos x |.

8.

1)

y = tg

x − π

;

2) у = tg 2x;

3) у = tg (–x); 4) у = tg | x |;

5) у = | tg x |.

(

4 )

9.

1)

y = ctg

x +

π

;

2) у = ctg (–x);

3) у = –ctg x;

4) у = 3 ctg x.

(

3 )

Постройте график функции и укажите промежутки возрастания и убыва

ния функции (10–13).

π

10.

1°) у = sin 3x;

2°) у = 3 sin x;

3°) у = sin x + 1;

4*) y = sin 2x +

.

(

4 )

11.

1°) y = cos

x

;

2°) у = cos x – 1;

3) у = cos| x |;

4*) y = 3 cos(2x − 3π ).

2

12.

1) у = tg 4x;

2) у = tg x + 3;

3) у = –2 tg x; 4*) у = tg x + | tg x |.

13.

1) y = ctg

x

;

2) у = –2ctg x;

3) у = | ctg x |;

4*) у = ctg x + ctg | x |.

3

74

	§6	СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ
		ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
				Т а б л и ц а 14
	x2 + y2 = 1		Основное тригонометрическое тождество
			sin2 α + соs2 α = 1
			sin α
			tg α= cos α	1 + tg2 α =	1
					cos2 α
			ctg α = cos α
			sin α		1
				1 + ctg2 α =
	cos α = x		tg αæctg α = 1		sin2 α
	sin α = y
	Объяснение и обоснование

( На рисунке в таблице 14 изображена единичная окружность, то есть ок ружность радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружно сти имеет вид x2 + y2 = 1.

Пусть при повороте на угол α точка P0 (1; 0) единичной окружности пере ходит в точку Pα (x; y) (то есть при повороте на угол α радиус OP0 переходит в радиус OPα). Напомним, что синусом α называется ордината точки Pα (x; y) единичной окружности, то есть sin α = y, а косинусом α называется абсцисса этой точки, то есть cos α = x. Координаты точки Pα удовлетворяют уравнению окружности, тогда y2 + x2 = 1, следовательно,

sin2 α + соs2 α = 1. )

Это соотношение называют основным тригонометрическим тождеством. Напомним также, что:

	tg α =	sin α			(где cos α ≠ 0);			ctg α=	cos α	(sin α ≠ 0).
		cos α							sin α
	Тогда tg α ctg α =		sinα			cosα	= 1, то есть
			cos α
						sinα

tg αæ ctg α = 1 (sin α ≠ 0 і cos α ≠ 0).

С помощью этих соотношений и основного тригонометрического тожде ства получаем:

1+ tg2 α = 1+	sin2	α	=	cos2 α + sin2 α			=	1	, то есть
	cos2	α						cos2 α
					cos2 α
			1
1 + tg2 α =						(cos α ≠ 0)
					cos2 α

75

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Аналогично получаем:	1+ ctg2 α = 1+		cos2		α	=	sin2 α + cos2 α	=	1	, то есть
			sin2		α				sin2 α
							sin2 α
	1
1 + ctg2 α =				(sin α ≠ 0).
		sin2 α

Примеры решения задач

Задача 1 Зная значение одной из тригонометрических функций и ин тервал, в котором находится α, найдите значение трех осталь ных тригонометрических функций:

1) sin α =	4	, 90° < α < 180°;	2) tg α =	1	,	π < α <	3π	.
5			3			2

Ре ш е н и е

1)X Из равенства sin2 α + соs2 α = 1

получаем: соs2 α = 1– sin2 α. Отсю да cos2 α = 1 − (54 )2 = 259 . Поскольку 90° < α < 180°, то соs α < 0, а зна

чит, cos α = −		9		= −			3			.
25				5
				4
Тогда tg α =	sin α			=	5					= −		4		,
	cos α
					−	3				3
				5							cos α				3
		ctg α =												= −		. Y
											sin α
														4

2) X Из равенства tg αæсtg α = 1 по

					1
	лучаем ctg α =									= 3.		Подставля
						tg α
	ем в равенство 1+ tg2 α =														1		зна
													cos2 α
	чение tg α и получаем:
	1+	1	=	1	. Отсюда							cos2 α =						9	.
	9			cos2 α													10
	Поскольку π < α < 3π,											то соs α < 0,
										2
	тогда cosα = −						9			= −		3		.
					10							10
								1				3					1
	sinα = tgα cosα =							3		−					= −					.
																	10
												10

Y

Ко м м е н т а р и й

1)Равенство sin2 α + соs2 α = 1 свя зывает sin α и соs α и позволяет выра

зить одну из этих функций через дру гую. Например, соs2 α = 1 – sin2 α.

Тогда cos α = ± 1− sin2 α. Учитывая,

в какой четверти находится α, мы мо жем определить знак, который необ ходимо взять в правой части формулы (это знак косинуса во ІІ четверти).

Зная sin α и соs α, находим

tg α =	sinα	и ctg α =	cos α	.	Укажем,
	cos α
			sin α

что после нахождения tg α значение сtg α можно также найти из соотно шения tg αæ сtg α = 1.

2) Равенство tg αæсtg α = 1 связы вает tg α и сtg α и позволяет выразить одну из этих функций через другую как обратную величину.

	Равенство	1+ tg2 α =	1		связы
			cos2	α

вает tg α и соs α и позволяет выразить одну из этих функций через другую.

Например, cos2 α =						1		. Тогда
						+ tg2	α
				1
cosα = ±		1		. Зная, в какой чет
		+ tg2	α
1

верти находится α, мы можем опреде

76

§ 6. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Задача 2

X 1 − cos2 α tg2 α

Задача 3

				лить знак, который необходимо взять
				в правой части формулы (это знак ко
				синуса в ІІІ четверти).
				Для нахождения sin α можно вос
				пользоваться соотношением
				tgα cosα =			sin α		cosα = sin α.
							cos α
Упростите выражение			1	− cos2 α	.
				tg2 α
Р е ш е н и е					К о м м е н т а р и й
= sin2 α = cos2 α. Y				Для преобразования числителя
				данной дроби из основного триго
sin2 α				нометрического тождества sin2 α +
cos2 α				+ соs2 α = 1 находим: 1– соs2 α = sin2 α.
				Затем, используя определение тан
				генса: tg α =		sinα		, упрощаем полу
						cos α
				ченную дробь.

Упростите выражение sin4 α – соs4 α + соs2 α. К о м м е н т а р и й

Для преобразования тригонометрических выражений наряду с тригоно метрическими формулами используют также алгебраические формулы, в час тности, формулы сокращенного умножения. Так, выражение sin4 α – соs4 α можно рассматривать как разность квадратов: (sin2 α)2 – (соs2 α)2. Тогда его можно разложить на множители (на произведение суммы и разности sin2 α и соs2 α), а затем применить основное тригонометрическое тождество sin2 α + соs2 α = 1.

Р е ш е н и е

Xsin4 α – соs4 α + соs2 α = (sin2 α + соs2 α)(sin2 α – соs2 α) + соs2 α = =1æ(sin2 α – соs2 α) + соs2 α = sin2 α – соs2 α +соs2 α = sin2 α. Y

			ctgα		π	< α < π.
	Задача 4*	Упростите выражение		при
			tgα + ctgα
					2

К о м м е н т а р и й

Сначала используем определение тангенса и котангенса: tg α = sinα ,

cos α

ctg α = cos α , а после преобразования знаменателя дроби — основное тригоно

sinα

77

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

метрическое тождество sin2 α + соs2 α = 1, далее упрощаем полученную дробь. В конце учитываем, что a2 = a . Для раскрытия знака модуля находим знак косинуса в заданном промежутке и учитываем, что при a < 0 значение | a | = –a.

Р е ш е н и е

ctgα

cos α

cos α

cos α

sinα

sin α

sin α

X

=

=

=

=

tgα + ctg α

sinα

+

cosα

sin2 α + cos2 α

1

cos α

sinα

cos α sinα

cos α sinα

= cos2 α =

cosα

= − cosα, поскольку во ІІ четверти

(

π

< α < π)соs α < 0. Y

2

(sinα + cos α )2 − 1

= 2.

Задача 5

Докажите тождество

tg α cos2 α

К о м м е н т а р и й Докажем, что левая часть равенства равна правой. Для этого в знаменате

ле используем формулу tgα = sinα , а в числителе возведем выражение в скоб

cos α

ках в квадрат и используем формулу sin2 α + соs2 α = 1. Напомним, что тожде( ством называется равенство, верное при всех допустимых значениях букв, входящих в него. Поэтому данное равенство является тождеством только при условии tg α ≠ 0 и соs α ≠ 0.

Р е ш е н и е

X

(sin α + cos α )2 − 1

=

sin2 α + cos2 α

+ 2 sinα cos α − 1

=

1 + 2 sinα cosα − 1

=

2 sinα cosα

= 2.

sin α

tg α cos2 α

cos2

α

sin α cos α

sin α cosα

cos α

2 = 2. Таким образом, данное равенство является тождеством. Y

З а м е ч а н и е. При доказательстве тождеств чаще всего используют такие приемы:

1)с помощью тождественных преобразований доказывают, что одна часть равенства равна другой;

2)рассматривают разность левой и правой частей тождества и доказывают, что эта разность равна нулю (этот прием используют в тех случаях, когда планируется преобразовывать обе части тождества).

Вопросы для контроля

1.Запишите соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента.

2*. Докажите соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента.

78

§ 6. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Упражнения

1. Существует ли число α, одновременно удовлетворяющее условиям:

1°)	sinα =		1		,	cosα =		1		;	2°)		sinα =			3	,	cosα =			4	;	3°) sin α = 0,7, соs α = 0,3;
	3								3						5			5
4°)	tgα =	3		, ctgα =			5		;		5°)	tgα =		4	, ctgα =				7	;		6)	tgα = 2 + 3, ctgα = 2 − 3?
	5					3							7					4

2.Зная значение одной из тригонометрических функций и интервал, в кото ром содержится α, вычислите значения трех остальных тригонометриче ских функций:

1°)

sinα = −

12

,

3π

< α < 2π;

2°) соs α = –0,8,

π

< α < π;

2

2

13

3)

tgα =

3

, π < α <

3π

;

4) ctg α = –0,2,

π

< α < π.

2

2

2

3.

Упростите выражение:

1°) 1– sin2 α – соs2 α;

2°) (1– соs α)æ(1 + соs α);

3°)

ctg2 α sin2 α

;

1 − sin2 α

4°) sin2 α – tg α ctg α;

5) sin4 α +2 sin2 α соs2 α + соs4 α;

6)

tg α

−

ctg α

;

7)

cos α tg α

− ctgα cosα;

1+tg2 α

1+ctg2 α

sin2 α

8)

(sin

α + ctgα )(sin

α − ctgα );

9*)

sin6

α + cos6

α − 1

;

1

1

sin4

α + cos4

α − 1

10*)

1+sinα

−

1 − sinα

при π < α <

3π

.

1 + sin α

1 − sin α

2

4.

Докажите тождество:

1°)

1

− 1 = tg2 α;

2°)

1

− 1

= ctg2 α;

cos2 α

sin2 α

3°) (sin α + соs α)2 + (sin α

– соs α)2 = 2;

4)

ctg α

= cos2

α;

ctgα + tg α

5)

1 + tg2 α

=

1

;

6)

cos α

+

1 + sin α

=

2

;

1 − tg2 α

cos2

α − sin2 α

1

+ sinα

cosα

cos α

2

2

2

7) ctg2 α – соs2 α = ctg2 α соs2 α;

8) (1+ tgα) + (1− tgα) =

;

cos

2

α

9*)

cos3 α − sin3 α

= cosα − sinα;

10*)

1 − sin4 α − cos4 α

= 2 tg2

α.

1 + sin α cos α

cos4 α

5*. 1) Известно, что sinα + cosα = 1 . Найдите sin αæсоs α.

2

2) Известно, что tg α + сtg α = 2. Найдите: а) tg2 α + сtg2 α; б) tg3 α + сtg3 α.

79

§7

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

7.1. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

Т а б л и ц а 15

1. Косинус разности и суммы

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

2. Синус суммы и разности

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

3. Тангенс суммы и разности

tg(α + β ) =

tg α + tg β

tg(α − β ) =

tg α − tg β

1 + tg α tg β

1 − tg α tgβ

Объяснение и обоснование

1. Косинус разности и суммы.

( Чтобы получить формулу для cos (α – β), сначала рассмотрим случай, ког да α и β находятся в промежутке [0; π] и α > β. На единичной окружности

обозначим точки Рα и Рβ и изобразим векторы OPα и OPβ (рис. 71). Эти

векторы имеют те же координаты, что и точки Рα и Рβ, то есть:

OPα

(cos α; sin α ),

OPβ

(cos β; sin β ).

Длины (модули) этих векторов рав

= 1,

= 1, а угол

ны единице:

OPα

OPβ

между ними

равен

α – β (то есть

РαOРβ = α – β).

Найдем скалярное произведение

векторов

OPα

и OPβ двумя способами:

1) как сумму произведений одноимен

Рис. 71

ных координат:

80

§ 7. Формулы сложения и их следствия

OPα OPβ = cosα cos β + sinα sin β;

2) как произведение длин (модулей) векторов на косинус угла между ними:

OPα OPβ = OPα OPβ cos PαOPβ = 1 1 cos(α − β)= cos(α − β).
Таким образом,
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .	(1)

Полученное равенство называют формулой косинуса разности. Словесно ее можно сформулировать так:

косинус разности двух углов (чисел) равен произведению косинуса первого угла (числа) на косинус второго плюс произведение синуса первого на синус второго.

Чтобы обосновать эту формулу в общем случае, напомним, что по опреде лению угол между векторами ( РαOРβ) может быть только в пределах от

0 до π. Поэтому при α > β угол между векторами OPα и OPβ может равняться α – β (рис. 71), или 2π – (α – β) (рис. 72), или принимать значения, отлич ные от этих значений на целое число оборотов (то есть на 2πk, где k Z). Учитывая периодичность (с периодом 2π) и четность функции косинус, по лучаем, что в любом случае cos РαOРβ = cos (α – β), таким образом, приве денное обоснование остается верным для любых значений α и β.

С помощью формулы (1) легко вывести формулу косинуса суммы: cos (α + β) = cos (α – (–β)) = cos α cos (–β) + sin α sin (–β) =

= cos α cos β – sin α sin β. Таким образом,

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β	.	(2)

Косинус суммы двух углов (чисел) равен произведению косинуса пер вого угла (числа) на косинус второго минус произведение синуса пер вого на синус второго. )

2. Синус суммы и разности.

(Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности.

Сначала по формуле (1) получим два полезных соотношения. А именно:

cos (	π	− ϕ)= cos π cos ϕ + sin π sin ϕ =
2		2	2

= 0 cos ϕ + 1 sin ϕ = sin ϕ. Перепишем полученную формулу справа налево:

	sinϕ = cos	(	π	− ϕ .	(3)	Рис. 72
			2
				)

81