topology / Многообразия / Топология тора

Топология — это наука, изучающая деформации. Так, например, чашка и тор это разные вещи, но мы можем перевести одну в другую непрерывной деформацией. Тела, которые можно перевести друг в друга непрерывной деформацией, называются гомеоморфными (имеющими одинаковую форму); cогласно известной шутке, тополог — это человек, не способный отличить кофейную чашку от бублика!

Тор

Тор — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

Точка на торе параметризуется двумя угловыми координатами: одна описывает положение точки на вращаемой окружности, а другая угол, на который окружность следует повернуть. Можно заметить аналогию с широтой и долготой.

  

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения  R  и с радиусом образующей окружности  r  может быть задано в параметрическом в виде:

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

В частности, тор является поверхностью четвёртого порядка.

Площадь и объём

Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гульдина:

S = 4π²Rr.

Объём тела, ограничиваемого тором, как следствие из второй теоремы Гульдина: 

V = 2π²Rr².

На рисунке r обозначен как b.

Две теоремы, содержащие формулы для вычисления площади поверхности (1-я теорема) и объёма (2-я теорема) тела вращения. Они были найдены Паппом Алексанлрийским и переоткрыты швейцарским математиком П.Гульденом (Paul Guldin, 1577-1643).

1. Пусть плоская кривая лежит по одну сторону от некоторой прямой  l (в данном случае такой кривой является круг). Тогда площадь поверхности, получаемой при вращении этой кривой вокруг оси l , равна произведению длины кривой на длину окружности, пробегаемой ее центром масс:

S = 2πrL,

где L – длина кривой, а r – расстояние от ее центра масс до оси.

2.  Пусть плоская фигура лежит по одну сторону от некоторой прямой  l. Тогда объём тела, получаемого при вращении этой фигуры вокруг оси  l, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой ее центром масс:

V = 2πRS,

где S – площадь фигуры, а R – расстояние от ее центра масс до оси.

На самом деле, топологи обычно называют тором поверхность, гомеоморфную тору вращения, как, например, кофейная чашка.

Когда говорят о торе, полученном вращением окружности, они называют  тором вращения.

Меридианы и параллели

На торе вращения хорошо видны два семейства окружностей: меридианы (синие линии) и параллели (красные).

Когда мы имели дело со сферой, можно было легко сказать, что меридианы отличаются от параллелей тем, что каждый из них проходит через оба полюса, однако на торе никаких полюсов, да и вообще точек пересечения меридианов нет. Поэтому существует соглашение называть синие линии меридианами, потому что плоскости, в которых они лежат, содержат ось вращения, а красные линии - параллелями, так как плоскости, их содержащие, перпендикулярны оси вращения.

Окружности Вилларсо

Маленькое геометрическое чудо состоит в том, что через каждую точку на торе вращения можно провести 4 окружности: меридиан, параллель, окружность Хопфа и симметричную ей.

Этот факт известен давно, и эти окружности обычно называются в честь Вилларсо - математика девятнадцатого века. Лестница датируемого XVI веком страсбургского собора показывает, что архитекторам не понадобился Вилларсо для того, чтобы высечь окружности на поверхности тора.

При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей Вилларсо.

Как это доказать? Можно написать уравнение и проверить… Методы алгебраической геометрии позволяет сделать это практически без вычислений, используя понятие циклических точек. Это точки, которые не просто находятся на бесконечности, но к тому же ещё и мнимые!

.

«Тор наизнанку»

Top - замечательная поверхность. Проделав в торе из тонкой резины дыру, можно вывернуть его наизнанку. Между тем это действительно возможно, хотя и весьма трудно.
Предположим, что мы приклеили одну ленту вдоль параллели еще не вывернутого тора изнутри, а другую - вдоль меридиана снаружи.
Как выглядит тор после того, как его вывернули наизнанку?     Тор действительно можно вывернуть наизнанку через проделанное в нем отверстие. При выворачивании тора наружная и внутренняя ленты меняются местами. После того как тор вывернут наизнанку, малая лента (меридиан) растягивается в большую (параллель), а большая сжимается в малую. Резиновую модель тора, например велосипедную камеру, нелегко вывернуть наизнанку через дырочку, так как камеру при этом необходимо очень сильно растягивать. Гораздо легче вывернуть тор, сделанный из мягкой ткани. Сложите квадратный кусок ткани пополам и сшейте края так, чтобы получилась трубка. Согните трубку в кольцо и сшейте противоположные концы так, чтобы получился тор. В разглаженном виде такой тор будет иметь форму квадрата (сложенного в 4 раза исходного квадрата). "Дыру" следует прорезать по горизонтали в верхнем слое ткани, тогда вывернуть тор будет особенно легко. Итак, вывернем тор наизнанку через прорезь. Размеры его от этого не изменятся, но прорезь из горизонтальной превратится в вертикальную. Рисунок ткани, если таковой имеется, также повернется на 90°. Иначе говоря, при выворачивании параллели тора превратятся в меридианы, а меридианы - в параллели. Чтобы своими глазами убедиться в этом, начертите одним цветом параллель, а другим - меридиан. После выворачивания тора наизнанку обе окружности поменяются местами. Наглядно представить себе все этапы деформации тора при выворачивании его наизнанку нелегко. Рисунки, изображающие один за другим все этапы этой операции, приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли "Топология" в Scientific American за январь 1950 г. С тором связано много других парадоксов. Пусть, например, тор с дырой сцеплен с тором без дыры. Может ли один из торов "проглотить" другой так, чтобы тот оказался целиком внутри него? Оказывается, может. Подробности приведены в статье, опубликованной в мартовском номере журнала Scientific American за 1977 г. Другие парадоксы, связанные с торами, можно найти в статьях, опубликованных в том же журнале в декабре 1972 г, (о заузленных торах) и в декабре 1979 г.

Список Литературы

1.Электронный журнал «Прикладная геометрия» выпуск 5 №11

2.http://www.dimensions-math.org/Dim_RU.htm

3. В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович « Наглядная топология»

4. http://ru.wikipedia.org

5. В. В. Прасолов  «Наглядная топология»