topology / Введение / Кривые Пеано 1

Кривая Пеано

1. Определение и свойства кривой Пеано

2. Кривые Пеано, движения и прохождения

3. Неизбежные кратные точки деревьев и, как следствие, движений Пеано

4. Движение Пеано и пертайлинг

5. Список литературы

1. Определение и свойства кривой Пеано

Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых

содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства).

 Кривая Пеано -  непрерывная кривая в смысле Жордана, целиком заполняющая

некоторый квадрат, то есть проходящая через все его точки.

Первый пример кривой, обладающей этим свойством, был построен Дж. Пеано в 1890.

Простой пример кривой Пеано был указан Д. Гильбертом в 1891.

Свойства

Всякая кривая Пеано имеет кратные точки.

Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или

двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные

точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Пеано, а

конструкция Гильберта содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).

С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования

пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных

площадей, — такова, например, кривая:

r(t) = (x(t),y(t),t)

где первые две функции задают кривую Пеано.

Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества

квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке.

Известный интерес представляют так называемые правильные замкнутые кривые типа

Пеано - пределы последовательностей симметричных замкнутых кривых,

соответствующих последовательностям триангуляции произвольного правильного

многоугольника, каждая из которых является правильным (т. е. полученным делением на

две равные части) подразделением предыдущей. При этом последовательность кривых

можно выбрать так, чтобы предел площадей областей, ими ограниченных, был равен

заданной величине (даже нулю или площади всей подразделяемой фигуры).

Аналогично с помощью последовательностей триангуляции можно строить отображения

прямой в плоскость, в частности "периодические" кривые типа Пеано. Существует аналог

кривой Пеано, заполняющий многомерный и даже счетномерный куб.

Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича ;

если X - континуум, то эквивалентны условия:

а) пространство X локально связно,

б) X - непрерывный образ интервала.

Рис. 1. Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом. Здесь приведены первые шесть

итераций последовательности кривых.

Рассмотрим функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [0,1] следующим образом.

Пусть разложение x в троичной системе счисления имеет вид 0, x₁ x₂ x₃ ... x_k (каждое из x_k равно 0, 1 или 2).

Тогда f(x) мы определим как число, имеющее следующее разложение 0,f₁ f₂ f₃ ... f_k в

троичной системе:

f₁ = x₁ f₂ = x₃, если x₂ четно, и 2-x₃, если x₂ нечетно ... f_k = x_2k-1, если x₂+x₄+...+x_2k-2 четно f_k = 2-x_2k-1, если x₂+x₄+...+x_2k-2 нечетно

Аналогичным образом определим функцию g(x) = 0, g₁ g₂ ... g_k... в троичной системе

счисления:

g₁ = x₂, если x₁ четно, и 2-x₂, если x₁ нечетно ... g_k = x_2k, если x₁+x₃+...+x_2k-1 четно g_k =2-x_2k, если x₁+x₃+...+x_2k-1 нечетно

Рассмотрим теперь отображение: x → [f(x), g(x)]. Можно доказать, что:

1. Функции f(x) и g(x) корректно определены (т.е. в числах, допускающих 2 представления

в троичной системе счисления, значения f(x) и g(x) окажутся не зависящими от выбора

представления).

2. Функции f(x) и g(x) непрерывны на [0,1].

3. Система уравнений f(x) = a и g(x) = b имеет не менее 1 и не более 4 решений при

любых a и b, лежащих на отрезке [0,1].

Тем самым, отображение с координатными функциями f и g на плоскости x → [f(x),g(x)]

непрерывно переводит отрезок [0,1] в квадрат [0,1]².

2.Кривые Пеано, движения и прохождения

Для кривых Пеано остается справедливым формальное определение

размерности 

Кривая Пеано — всего лишь несколько необычное представление области или участка

плоскости, а все классические определения единодушны в том, что размерность такого

участка равна 2. Иными словами, человеку благоразумному следует избегать

употребления термина кривая, заполняющая плоскость.

К счастью, большая часть «кривых» Пеано, включая и полученные путем рекурсивного

построения Коха, поддается естественной параметризации с помощью скалярной

величины , которую можно назвать «временем».

Имея дело с такими кривыми, мы вполне можем использовать термины «движения

Пеано», «заполняющие плоскость движения», «движения, проходящие по всем плиткам»

или просто «прохождения по плиткам».

3.Неизбежные кратные точки деревьев и, как следствие, движений Пеано

Неожиданно находят очевидное объяснение и многие математические свойства

кривых Пеано.

Чтобы объяснить кратные точки, предположим, что некто начинает движение вдоль

берега реки, являющейся частью дерева рек Пеано, и движется вверх или вниз по

течению, обходя даже самые маленькие притоки (причем чем уже приток, тем быстрее

движение).

Очевидно, что в конечном счете наш путешественник придет в точку, которая находится

на другом берегу напротив точки его отправления. А поскольку в пределе река

бесконечно узка, то он по существу вернется в начальную точку. Таким образом, кратные

точки на кривой Пеано представляются неизбежными не только с математически

логической точки зрения, но и с позиций здравого смысла. Более того, эти точки всюду

плотны.

Неизбежно также, что некоторые точки он посетит более чем дважды, так как в

местах слияния рек совпадают по меньшей мере три береговых точки. Если все слияния

ограничиваются только двумя реками, нет необходимости учитывать более чем тройную

кратность. С другой стороны, если мы согласны иметь точки более высокой кратности,

можно обойтись и без тройных точек.

Как правило, реки Пеано представляют собой не стандартные фигуры, но фрактальные

кривые.

Больше того, среди приводимых Ричардсоном данных имеются сведения и о таких

государственных границах, которые частично проходят по рекам и границам

водоразделов. А в цитате из Штейнгауза реки и вовсе упоминаются открытым текстом.

Что касается водосборных бассейнов рек, то каждый из них может быть окружен

замкнутой кривой, напоминающей береговую линию и составленной из участков границы

водораздела. Бассейн любой крупной реки представляет собой совокупность бассейнов

более мелких рек и притоков, вдоль и поперек исчерченную этими самыми реками и

притоками, однако для исчерпывающего описания столь сложной на первый взгляд

структуры нам необходимы всего лишь несколько заполняющих плоскость кривых,

ограниченных кривыми фрактальными.

4.Движение Пеано и пертайлинг

Возьмем оригинальную кривую Пеано и представим величину   как число в системе исчисления с основанием  вида  Значения времени с одинаковым первым

«знаком» после запятой отобразятся на одну и ту же девятую часть исходного квадрата,

значения с одинаковым вторым «знаком» отобразятся на одну и ту же восемьдесят первую () часть исходного квадрата и т. д. Таким образом, покрытие отрезка [0, 1]

отображается на покрытие квадрата. Последовательные девятые доли линейных плиток

отображаются на последовательные подплитки плоскости. А свойство отрезка,

именуемое пертайлинг, т. е. рекурсивная и бесконечная разбиваемость на меньшие

плитки, подобные целому отрезку [0, 1], отображается на аналогичное свойство квадрата.

Различные движения Пеано, коими мы обязаны Э.Чезаро и Д. Пойа, отображают это

свойство также и на всевозможные самоподобные покрытия треугольников.

В более общем смысле большинство движений Пеано порождают самоподобные

покрытия плоскости. В простейшем случае существует некое основание , и мы

начинаем с линейного пертайлинга, заключающегося в последовательном разбиении

целого на -е доли. Однако прохождение снежинки, изображенное на рис. 104 и 105,

подразумевает неравномерное разбиение интервала времени  [0, 1] сначала на четыре

подынтервала длиной , затем на четыре подынтервала длиной , один — ,

два —  и два — .

Рис.2. КВАДРАТИЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КОХА С РАЗМЕРНОСТЬЮ : ОРИГИНАЛЬНАЯ КРИВАЯ ПЕАНО, ПРОХОЖДЕНИЕ КВАДРАТА

Список использованной литературы:

1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, 1977.

2. Лузин И. И. Теория функций действительного переменного, 2 изд., 1948.

3. Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу"

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — Москва: Институт компьютерных исследований, 2002