Стахин Н.А., Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima
Рис. 49. График в графическом окне xMaxima
10.Решение задач линейной алгебры
Вданном разделе будут рассмотрены основные операции с матрицами. Для задания матрицы используется функция matrix:
В этих примерах были определены две квадратные матрицы: второго и третьего порядка.
10.1. Операции с матрицами
Сложение и вычитание матриц осуществляется поэлементно. Поэлементно могут быть перемножены или поделены элементы двух матриц или поэлементно (к каждому элементу матрицы) могут быть применены функции exp(); sqrt(); (табл. 6).
Возведение в степень xy будет записано символически (табл. 6). Поэлементное умножение обозначается символом *, поэлементное деление – символом /, поэлементное возведение в степень ^. Для сложения и вычитания матриц они должны быть одинакового размера. Ранг матрицы – rank(M) и определитель – determinant(M) определены только для квадратных матриц, транспонировать – transpose(M) можно любые матрицы, но при задании матриц нужно следить за тем, что они являются прямоугольными.
Далее мы рассмотрим основные операции с матрицами на конкретных примерах. Для этого будем использовать две матрицы: x и y.
72
Стахин Н.А., Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima
Таблица 6
Операции с матрицами
10.2. Умножение матриц и возведение их в степень
Умножение матриц (обозначается как пробел, точка, пробел) производится по правилу "строка умножается на столбец". Возведение матрицы в степень, обозначенное как ^ сводится к поэлементному возведению в степень компонент матрицы, но возведение в степень вида ^^ выполняется как умножение матрицы самой на себя требуемой число раз. Возведение в степень ^^(–1) означает поиск обратной матрицы.
Таблица 7
Умножение матриц
73
Стахин Н.А., Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima
10.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений могут быть решены различными способами: 1) Например, методом Крамера система двух уравнений с двумя неизвестными может быть решена так:
откуда следует, что решение системы уравнений a*u+b*v=E;
c*u+d*v=F
в аналитическом виде следующее u=(dE–bF)/(ad–bc); v=(aF–cE)/(ad–bc).
2) Эту же самую систему уравнений вида АХ = В с использованием обратной матрицы А-1 можно решить следующим образом: Х = А-1 В
3) А с использованием функции solve() ответ получим быстрее всего.
74