Содержание теоретического материала и ссылки на литературу

№ задачи	Содержание	Литература
1	Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах. Приложения двойных интегралов	[1], гл.II, § 7.1-7.6; [2], гл. 13, § 1, 2, 4; [5], гл. I , № 1-8, 77, 78, 81, 85, 90, 94; [6], гл. 13, № 1-4, 15-22, 86-89, 96-99
2	Тройной интеграл и его основные свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовых и в цилиндрических координатах. Приложения тройного интеграла	[1], гл.II, § 8.1-8.4; [2], гл. 13, § 10; [5], гл. I , № 95, 96, 99, 101, 105, 109, 112, 113, 117; [6], гл. 13, № 151, 154, 161, 164, 167, 184
3	Криволинейный интеграл II рода (по координатам), его основные свойства, вычисление и приложения	[1], гл.III, § 10.1, 10.2, 10.5; [2], гл. 13, § 5.3, 5.4, 9.2; [5], гл.II , № 181, 182, 189, 200; [6], гл. 13, № 103, 121-126, 147-149; [7], гл. II, № 2.112, 2.113, 2.115
4	Вектор-функция скалярного аргумента, ее дифференцирование и физический смысл производных	[3], гл. IX, § 1-4; [4], гл. VII , № 1134-1136, 1148, 1149
5	Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность и его вычисление с использованием поверхностного интеграла II рода. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля. Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность	[1], гл. VII, § 25, 25.2, 25.3; [2], гл.13, § 12, 14.2, 14.4, 14.5; [5], гл.II , № 238, 241, 243, 257; [6], гл.13, № 220, 222, 223, 226; [7], гл. II , № 2.62(а), 2.96, 2.99, 2.111
6	Ротор векторного поля. Потенциальное векторное поле и его потенциал. Признак потенциальности векторного поля. Свойства потенциальных полей. Нахождение потенциала векторного поля с помощью криволинейного интеграла II рода. Соленоидальное векторное поле, его свойства. Признак соленоидальности векторного поля	[1], гл. VII, § 25.5, 27.1, 27.2; [2], гл. 13, § 14.3, 14.6; [5], гл. II , № 247, 249, 250, 263; [7], гл. II , № 2.60, 2.73, 2.75, 2.131, 2.135-2.137, 2.143

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал к выполнению контрольной работы

1. Двойной интеграл

1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 2-х переменных z=f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой областиxOy. Двойной интеграл от этой функции по областиDимеет вид:, где .

Область xOy называетсяправильной в направлении осиOy, если всякая прямая, параллельная осиOyпересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельныхOy).

Если областьD– правильная в направлении осиOy (рис. 1), то ее можно задать системой неравенств:

В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.

Пример. Вычислить , если , D:

Если областьD– правильная в направлении осиOх (рис. 2), то она задается системой неравенств:

и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D– правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

.

Если область D– неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла:

.