pract1

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

точка x ближе к точке x0 , тем выше точность такой ап-

проксимации, и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки x0 , тем выше точность, с которой многочлен Тей-

лора Tn (x) аппроксимирует функцию в этой окрестности.

ПРИМЕР 1.2: Разложите функцию

f (x) = e−x в ряд Тей-

лора в окрестности точки x0

= 2 до 4 порядка.

РЕШЕНИЕ: Запишем ряд Тейлора до 4-го порядка в об-

щем виде:

f (x) = f (x0 ) +

f ′( x0 )

(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

(x − x0 )2 +

1!

2!

+

f ′′′(x0 )

( x − x0 )3 +

f ( IV ) ( x0 )

(x − x0 )4

+ o

((x − x0 )4 ).

3!

4!

Найдем производные заданной функции в точке x0 = 2 :

f ′(x0 ) = (e−x )′

= −e−x

= −e−2 ,

x0 =2

x0 =2

f ′′(x0 ) = (e−x )′′

= (

−e−x )′

= e−x

= e−2 ,

x0 =2

x0 =2

x0 =2

f ′′′(x0 ) = (e−x )′′′

= (e−x )′

= −e−x

= −e−2 ,

x0 =2

x0 =2

x0 =2

f ( IV ) (x0 ) = (e−x )( IV )

= (−e−x )′

= e−x

= e−2 .

x0 =2

x0 =2

x0 =2

Подставим полученные значения в исходную формулу:

f (x) = e−2 − e−2 (x − 2) +	e−2	(x − 2)2 −	e−2	(x − 2)3 +	e−2	(x − 2)4 + o((x − x0 )4 ).
2		6		24

14

Семинар 1. Основные понятия

Аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния (метод Ляпунова) состоит в следующем. Пусть x — стационарное состояние уравнения

dxdt = f (x) . Зададим небольшое отклонение переменной x

от ее стационарного значения: x = x +ξ , где ξ x					1 . Под-
ставим	выражение для точки x в исходное уравнение:
d(x +ξ)	= f (x +ξ) .		Левая часть	уравнения примет вид:
dt
d(x +ξ)	= dx	+ dξ = dξ , поскольку		в стационарном	состоя-
dt	dt	dt	dt

нии скорость изменения значения переменой равна нулю: ddtx = 0 . Правую часть разложим в ряд Тейлора в окрестно-

сти стационарного состояния, учитывая, что f (x) = 0 , оставим только линейный член в правой части уравнения:

ddtξ = f ′(x) ξ .

Получили линеаризованное уравнение или уравнение первого приближения. Величина f ′(x) есть некото-

рая постоянная, обозначим ее a: a = f ′(x) . Общее решение линеаризованного уравнения имеет вид: ξ(t) = const eat

(см. Решение уравнения экспоненциального роста, стр. 8). Это выражение описывает закон, по которому будет изменяться во времени заданное нами отклонение от стационарного состояния ξ . Отклонение будет со временем

затухать, т.е. ξ → 0 при t → ∞, если показатель степени в экспоненте будет отрицательным, т.е. a = f ′(x) < 0 . В этом случае стационарное состояние x по определению будет устойчивым. Если же a = f ′(x) > 0 , то с увеличением времени отклонение будет только увеличиваться, стацио-

15

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

нарное состояние — неустойчивое. В случае a = f ′(x) = 0 уравнение первого приближения ответа на вопрос об устойчивости стационарного состояния дать не может. Необходимо рассматривать члены более высокого порядка разложения функции в ряд Тейлора.

Кроме аналитического метода исследования устойчивости стационарного состояния, существует и графический. Разберем этот способ на примере.

ПРИМЕР 1.3: Пусть dxdt = f (x) . Найти стационарные со-

стояния уравнения и определить их тип устойчивости с помощью графика функции f (x) = x4 −6x3 +5x2 .

РЕШЕНИЕ: Найдем особые точки:

f (x) = x 4 −6x3 +5x 2 = 0 , x 2 (x 2 −6x +5) = 0 ,

x = 0 или	x 2	−6x +5 = 0 ,
1	(x −1)(x −5) = 0 ,
	x2	=1 или x3 = 5 .

Строим график функции f (x) (рис. 1.2).

Определим по графику, устойчиво ли каждое из найденных стационарных состояний. Зададим небольшое от-

клонение изображающей точки от особой точки x1 = 0 влево: x1 −ξ . В точке с координатой x = x1 −ξ функция f (x) при-

нимает положительное значение: f (x1 −ξ) > 0 или

d (x1 −ξ) > 0 . Последнее неравенство означает, что со време- dt

нем координата x должна увеличиваться, то есть изобра-

16

Семинар 1. Основные понятия

Рис. 1.2. График функции f (x) , пример 1.3.

жающая точка должна возвращаться к точке x1 = 0 . Теперь зададим небольшое отклонение изображающей точки от осо-

бой точки	x1 = 0 вправо: x1 +ξ . В этой области функция f (x)
сохраняет	положительное значение, следовательно, со вре-

менем координата x также должна увеличиваться, то есть изображающая точка должна отдаляться от точки x1 = 0 .

Таким образом, малое отклонение x1 +ξ выводит систему из

стационарного	состояния, по определению	особая точка
x1 = 0 неустойчива. Аналогичные рассуждения			приводят к
тому, что любое отклонение от особой точки		x2	=1 со време-
нем затухает,	стационарное состояние x2 =1	устойчиво. От-

клонение изображающей точки в любом направлении от стационарного состояния x3 = 5 приводит к ее удалению от

точки x3 = 5 , это неустойчивое стационарное состояние.

17

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ 1

1.1. Найдите стационарные состояния уравнений:

dxdt −ηx4 =γ x2 ; dxdt −rx =δx2 ; dxdt − Ax3 = −Bx ;

(u − x) + dxdt = 2u − x2 ; dxdt +6x = x2 +8 ;

dxdt +15 = x2 +2x .

1.2. Разложите функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 до 4 порядка:

f (x) = x3 +1, x0 =1; f (x) = e−x , x0 = 2 ;

f (x) =	3 x , x =1;
		0
f (x) =	2 , x =1;
	x	0

f (x) = ln x , x0 =1; f (x) = sin x , x0 = 0 .

18

Семинар 1. Основные понятия

1.3. Пусть dxdt = f (x) . Определите по графику функ-

ции f (x) устойчивость всех стационарных состояний уравнения.

а

б

в		г

1.4. Пусть dxdt = f (x) . Найти стационарные состояния

уравнения и определить их тип устойчивости с помощью графика функции f (x) :

f (x) = x4 −6x3 +5x2 ; f (x) = x4 + x3 −6x2 .

1.5. Пусть	dx	= (x −1)(x2 +bx +1) . Постройте график за-
	dt

висимости величины стационарного значения переменной x от значений параметра b. Сколько стационарных состояний имеет уравнение при b (−∞, +∞) ?

19