- •Безверхняя и. С.
- •§2. Линейные операции над векторами
- •§3. Линейная зависимость векторов
- •§4. Координаты вектора
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •§6. Направляющие косинусы вектора
- •§7. Векторное произведение векторов.
- •§8. Смешанное произведение векторов.
- •Раздел 2. Метод координат на плоскости
- •§1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§3. Декартова прямоугольная система координат
- •§ 4. Ориентация плоскости
- •§5. Полярные координаты
- •§6. Алгебраическая линия
- •§7. Прямая линия на плоскости
- •7.1.Различные уравнения прямой
- •7.3. Взаимное расположение двух прямых
- •7.4. Прямая в декартовой прямоугольной системе координат
- •§8. Формулы преобразования координат
- •§ 9. Линии 2-го порядка
- •9.1. Эллипс
- •9.2. Гипербола
- •9.3. Парабола
- •9.4. Кривые 2-го порядка как конические сечения
- •§10. Общее уравнение линии 2-го порядка
- •Часть 1. Преобразуем систему координат поворотом на угол вокруг начала.
- •Часть 2. Исследуем уравнение (17):
- •Раздел 3. Система координат в пространстве
- •§1. Плоскость
- •§2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§3.Плоскость в дпск. Основные задачи.
- •§4. Прямая в пространстве.
- •§5. Поверхности 2-го порядка
- •5.1. Понятие поверхности 2-го порядка
- •5.2. Цилиндрические поверхности.
- •5.3. Конические поверхности
- •5.4. Эллипсоид
- •5.5 Однополостный гиперболоид
- •5.6. Двуполостный гиперболоид
- •5.7. Эллиптический параболоид
- •5.8. Гиперболический параболоид
- •Вариант индивидуального задания.
- •Литература
Федеральное агентство по образованию РФ
ГОУВПО Тульский государственный педагогический университет
им. Л. Н. Толстого
Кафедра алгебры и геометрии
Безверхняя и. С.
Конспект лекций по курсу «Геометрия»
Часть 1. Аналитическая геометрия
для студентов факультета математики, физики и информатики
Тула - 2006
Раздел 1. Элементы векторной алгебры
§1. Основные определения
Опр. Отрезок называется направленным, если принимается во внимание порядок его концов:начало,конец.
Опр. Направленный отрезок называется вектором:
Если имеем нуль – вектор или нулевой вектор
Опр. Отрезки иодинаково направлены (сонаправлены), если одинаково направлены лучи и
Опр. Векторы иназываютсяпротивоположными.
Опр. Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными.
Опр. Длина соответствующего направленного отрезка называется модулем или длиной вектора.
Опр. Векторы равны, если равны их длины и одинаковы направления.
Мы будем рассматривать свободные векторы, то есть те, которые можно откладывать от любой точки.
Как видно, в отличие от скалярной величины которая характеризуется только числом (площадь, объем, температура и т.д.), вектор более сложное понятие, для него нужно указать и длину, и направление (скорость, ускорение, момент силы и т.д.).
§2. Линейные операции над векторами
К линейным относятся операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
2.1. Сложение векторов
Правило треугольника
Сумма векторов:
Как видно, здесь строится .
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
Правило параллелограмма Правило многоугольника
Теорема 1. Сложение векторов обладает свойствами:
1.
2.
3. (коммутативность сложения);
4. (ассоциативность сложения).
∆ 1.Пусть
2.Пусть
3.Смотри правило параллелограмма.
4. Смотри правило многоугольника:
▲
2.2..Вычитание векторов
Опр. Разностью двух векторов иназывается вектортакой, что
Найдем вектор Для этого прибавим к обеим частям последнего равенства вектор:
Итак, разность векторов всегда существует. Её обозначают так:
2.3. Умножение вектора на число
Пусть некоторый вектор,вещественное число.
Опр. Произведением вектора на числоназывается такой вектор, который удовлетворяет условиям:
1)
2) , если,
, если .
Условиями 1) и 2) вектор определяется однозначно.
или , то естьи.
Теорема 2. Умножение вектора на число обладает свойствами:
1.
2.
3.
4. .
∆ Докажем первые два свойства.
1. Обозначим и покажем, что.
, то есть .
2. Обозначим .
Векторы иимеют одну и ту же длину.
Возможны случаи:
и и
и
И т.д.
Направления векторов ивсегда совпадают, длины их равны. Следовательно,▲
2.4. Векторные пространства
Рассмотрим все множество векторов и определим в нем линейные операции сложения и умножения на число. Такое множество называетсялинейным пространством, если при этом выполняются условия 1-4 для сложения и 1-4 для умножения на число.
Примеры векторных пространств:
Множество вещественных квадратных матриц 2-го порядка является 4-мерным линейным пространством.