- •Владимир 2013 план
- •Распределение Эрланга
- •3. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.
- •Числовые характеристики показательного распределения
- •4.1 Распределение «хи-квадрат» (- распределение)
- •4.2 Распределение Стьюдента
- •Распределение Вейбула и Релея
- •5.1 Распределение Вейбула
- •5.1 Распределение Релея
«Утверждаю»
Заведующий кафедрой
«Управление качеством и
техническое регулирование» ВлГУ ________Ю.А. Орлов
«__»_______2013 г.
Л Е К Ц И Я
по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика» для бакалавров направления 221400.62 «Управление качеством»
Тема № 2 Случайные величины и их законы распределения
Занятие № 2.10Основные законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин
Вид занятия:лекция (12)
Литература: 1). Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов.-8-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2002-479 с. (122-123,149-151,146). 2.) Вентцель Е.С. Теория вероятностей . Учебник М.: Гос.издат.физ.мат.лит-ры., 1958-464с.(99-101,309-310).
Владимир 2013 план
проведения занятия
№ п/п
|
Учебные вопросы занятия
|
Время, мин.
|
|
I.
II
|
Вводная часть: Объявление темы, темы занятия. Постановка учебных целей занятия. Основная часть.
|
2-3
75
| |
|
|
|
|
111 |
Заключительная часть |
2-3
|
|
|
Подведение итогов занятия. Выдача задания на самостоятельную работу.
|
|
|
|
Материал основной части лекции
Закон равномерного распределения вероятностей.
При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального, показательного и других распределений.
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Найдем плотность равномерного распределения f(x), считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (а, b), на котором функция f(x) сохраняет постоянные значения:
По условию, Χ не принимает значений вне интервала (а, b), поэтому f(x)=0 при x < α и x > b.
Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то должно выполняться соотношение
Отсюда
Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения
(1.1)
График плотности равномерного распределения изображен на рис. 1.1.
Рис.1.1.
График плотности распределения
равномерного закона
Для интегральной функции распределения в соответствии с формулой взаимосвязи функции и плотности распределения, можно записать:
Окончательно с учётом свойств интегральной функции распределения для получим формулу
(1.2)
График функции распределения представлен на рис. 2.
Из формул (1) и (2) следует, что равномерное распределение является двухпараметрическим законом распределения, так как плотность и функция распределения определяются двумя параметрами «a» и «b», ограничивающими нижюю и верхнюю границу области возможных значений случайной величины.
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей равномерное распределение:
(1.3)
Из формулы (3) следует, что при равномерном распределении математическое ожидание случайной величины равно середине интервала, определяющего область её возможных значений.
Найдём дисперсию по формуле:
После разложения разности кубов на сомножители и вычитания дробей для дисперсии получим:
(1.4)
Среднеквадратичное отклонениеравномерно распределённой случайной величины будет равно:
(1.5)
Замечание. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1), а через r — ее возможные значения. Вероятность попадания величины R (в результате испытания) в интервал (с, d), принадлежащий интервалу (0, 1), равна его длине:
Действительно, плотность рассматриваемого равномерного распределения
Следовательно, вероятность попадания случайной величины R в интервал (с, d) (см. Лекцию 2.8)