Основные понятия систем массового обслуживания

Системы МО являются частью более широкого класса динамических систем, которые иногда называют системами потоков. Системой потоков называется система, в которой некоторые предметы перемещаются по одному или нескольким каналам с ограниченной пропускной способностью с целью перемещения из одной точки в другую. При анализе систем потоков их разбивают на два основных класса:

1. регулярные системы, т. е. системы, в которых потоки ведут себя предсказуемым образом (известны величина потока и время его появления в канале). В случае, когда канал один, расчет системы тривиален. Очевидно, что между интенсивностью потока λ и скоростью обслуживания с есть соотношение λ < c;

2. нерегулярные системы, т. е. системы, в которых потоки ведут себя непредсказуемым образом.

Более интересным является случай регулярного потока, который распределяется по сети каналов. Очевидно, что условие λ < c сохраняется для каждого канала. При этом возникает сложная комбинаторная задача.

Рис. 6

Имеется семь дорог:

1. A→B→E→F

2. A→B→D→F

3. A→B→D→E→F

4. A→C→D→ F

5. A→C→B→ E→F

6. A→C→B→D→E→F

7. A→C→B→ D→F

Необходимо перевезти груз из А в F. Пропускная способность каждого канала известна. Какова пропускная способность сети и каким путем должен следовать поток? Решить эту задачу можно с помощью теоремы о максимальном потоке, которую мы рассматривали ранее (рис.6).

Ко второму классу относятся случайные вероятные потоки, в которых время поступления требования не определено, число требований непредсказуемо. Решением таких задач и занимается теория массового обслуживания.

В общем случае система массового обслуживания может быть представлена на рисунке 7.

Рис. 7.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, производительностью, правильностью работы и эффективностью.

В качестве характеристик эффективности могут применяться следующие величины и функции:

• среднее количество заявок, которые может обслужить СМО в единицу времени;

• среднее количество заявок, получающих отказ и покидающих СМО;

• вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет обслужена;

• среднее время ожидания в очереди;

• среднее количество заявок в очереди;

• средний доход СМО в единицу времени и другие экономические показатели СМО.

Анализ СМО упрощается, если в системе протекает марковский процесс, тогда систему можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а предельные вероятности – линейными алгебраическими уравнениями.

Марковский процесс требует, чтобы все потоки были пуассоновскими (без последействий), но аппарат марковских процессов используется и тогда, когда процесс отличен от марковского. В этом случае характеристики СМО могут быть оценены приблизительно: чем сложнее СМО, тем точнее приближение.

Классификация систем массового обслуживания

СМО могут быть двух видов:

1. СМО с отказами;

2. СМО с ожиданием (т. е. с очередью).

Обслуживание в системах с очередью может иметь различный характер:

1. обслуживание может быть упорядоченным;

2. обслуживание в случайном порядке;

3. обслуживание с приоритетом, при этом приоритет может быть с прерыванием и без прерывания.

Системы с очередью делятся на:

1. системы с неограниченным ожиданием, при этом поступившая в СМО задача становится в очередь и ждет обслуживания. Рано или поздно она будет обслужена;

2. системы с ограниченным ожиданием, при этом на заявку в очереди накладываются ограничения, например ограниченное время пребывания в очереди, длина очереди, общее время пребывания в СМО. В зависимости от типа СМО для оценки эффективности могут быть применены разные показатели.

Для СМО с отказами используются следующие показатели эффективности:

• абсолютная пропускная способность А – среднее число заявок, которое может быть обслужено в единицу времени;

• относительная пропускная способность Q – относительное среднее число заявок. При этом относительную пропускную способность можно найти по формуле

где λ – это интенсивность поступления заявок в СМО.

Для СМО с ожиданием абсолютная пропускная способность А и относительная пропускная способность Q теряют смысл, но важными становятся другие характеристики:

1. единица времени ожидания в очереди;

2. среднее число заявок в очереди;

3. среднее время пребывания в системе.

Для СМО с ограниченной очередью интересны обе группы характеристик.