6.6. Многоканальная смо с ожиданием.
Рассмотрим
многоканальную систему массового
обслуживания с ожиданием. Процесс
массового обслуживания при этом
характеризуется следующим: входной и
выходной потоки имеют интенсивности λ
и μ соответственно, параллельно
обслуживаться могут не более С
клиентов, то есть система имеет С
каналов обслуживания. Средняя
продолжительность обслуживания одного
клиента равна
.
Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:
где
.
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:
Остальные вероятностные характеристики
функционирования в стационарном режиме
многоканальной СМО с ожиданием и
неограниченной очередью определяется
по следующим формулам:
среднее число клиентов в очереди на обслуживание:
;
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди): LS=Lq+ρ;
средняя
продолжительность пребывания клиента
(заявки на обслуживание) в
очереди:
;
средняя
продолжительность пребывания клиента
в системе:
.
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
Пример 5.
Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
- вероятность состояний системы;
- среднее число заявок в очереди на обслуживание;
- среднее число находящихся в системе заявок;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение.
1)
Определим параметр потока обслуживаний
2) Приведенная интенсивность потока заявок ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25, при этом λ/μ∙с=2,5/2∙3=0,41<1. Поскольку λ/μ∙с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
3) Вычислим вероятности состояний системы:
4) Вероятность отсутствия очереди у мастерской:
Ротк≈Р0+Р1+Р2+Р3≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.
5) Среднее число заявок в очереди на обслуживание:
6) Среднее число находящихся в системе заявок:
Ls=Lq+
=0,111+1,25=1,361.
7) Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание:
суток.
8) Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе):
суток.
Ниже приведены варианты заданий к рассмотренным примерам в следующей таблице:
|
Вариант задания |
Характеристики СМО | ||||
|
Задача №1: Одноканальная СМО с отказами. Объект: пост обслуживания для мойки автомобилей |
Задача №2: Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью. Объект: пост диагностики автомобилей
|
Задача №3: Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью. Объект: пост диагностики автомобилей |
Задача №4: Многоканальная СМО с отказами. Объект: вычислительный центр |
Задача №5: Многоканальная СМО с ожиданием. Объект: механическая ремонтная мастерская завода | |
|
1 |
λ = 1,0 (автомобиль в час) tоб=1,5 часа
|
(N— 1)=3 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(N— 1)=3 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(n=3) λ=1,5 (задачи в час) tоб=1,8 часа
|
с=3 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
2 |
λ = 1,0 (автомобиль в час) tоб=2 часа
|
(N— 1)=2 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=2 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=3) λ=1,0 (задача в час) tоб=1,5 часа
|
с=4 λ=2,5 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
3 |
λ = 2,0 (автомобиля в час) tоб=1,8 часа
|
(N— 1)=3 λ=1,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=3 λ=1,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=3) λ=2,0 (задачи в час) tоб=1,8 часа
|
с=3 λ=2,5 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
4 |
λ = 3,0 (автомобиля в час) tоб=1,8 часа |
(N— 1)=3 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=3 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=3) λ=2,5 (задачи в час) tоб=1,5 часа |
с=5 λ=2,5 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
5 |
λ = 4,0 (автомобиля в час) tоб=1,8 часа
|
(N— 1)=2 λ=1,85 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(N— 1)=2 λ=1,85 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(n=3) λ=2,5 (задачи в час) tоб=1,8 часа |
с=4 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
6 |
λ = 1,0 (автомобиль в час) tоб=2,5 часа
|
(N— 1)=4 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=4 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=4) λ=1,5 (задачи в час) tоб=1,8 часа |
с=5 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
7 |
λ = 1,0 (автомобиль в час) tоб=2,2 часа
|
(N— 1)=4 λ=1,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=4 λ=1,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=4) λ=1,0 (задача в час) tоб=1,5 часа |
с=3 λ=1,0 (механизм в сутки) tоб=0,5 суток |
|
8 |
λ = 1,0 (автомобиль в час) tоб=1,5 часа
|
(N— 1)=4 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(N— 1)=4 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(n=4) λ=2,0 (задачи в час) tоб=1,8 часа |
с=4 λ=1,0 (механизм в сутки) tоб=0,5 суток |
|
9 |
λ = 1,0 (автомобиль в час) tоб=1,0 часа
|
(N— 1)=3 λ=0, 5 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=3 λ=0, 5 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=4) λ=2,5 (задачи в час) tоб=1,8 часа |
с=3 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,8 суток |
|
10 |
λ = 2,0 (автомобиля в час) tоб=2,8 часа
|
(N— 1)=3 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(N— 1)=3 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(n=3) λ=1,5 (задачи в час) tоб=1,5 часа |
с=4 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,8 суток |
|
11 |
λ = 2,0 (автомобиля в час) tоб=0,8 часа
|
(N— 1)=3 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =2,05часа |
(N— 1)=3 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =2,05часа |
(n=4) λ=1,5 (задачи в час) tоб=1,5 часа |
с=5 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,8 суток |
|
12 |
λ = 3,0 (автомобиля в час) tоб=0,8 часа
|
(N— 1)=3 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =2,05часа |
(N— 1)=3 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =2,05часа |
(n=3) λ=3,0 (задачи в час) tоб=0,5 часа |
с=5 λ=1,0 (механизм в сутки) tоб=0,5 суток |
|
13 |
λ = 4,0 (автомобиля в час) tоб=0,8 часа
|
(N— 1)=2 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=2 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=4) λ=3,0 (задачи в час) tоб=0,5 часа |
с=3 λ=3,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
14 |
λ = 5,0 (автомобилей в час) tоб=1,8 часа
|
(N— 1)=2 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =2,05часа |
(N— 1)=2 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =2,05часа |
(n=4) λ=5,0 (задач в час) tоб=0,5 часа |
с=4 λ=3,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
15 |
λ = 5,0 (автомобилей в час) tоб=0,8 часа
|
(N— 1)=4 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=4 λ=0,5 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=3) λ=5,0 (задач в час) tоб=0,5 часа |
с=5 λ=3,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
16 |
λ = 2,0 (автомобиля в час) tоб=0,5 часа
|
(N— 1)=4 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(N— 1)=4 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,5часа |
(n=3) λ=5,0 (задач в час) tоб=1,5 часа |
с=3 λ=4,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток
|
|
17 |
λ = 3,0 (автомобиля в час) tоб=0,5 часа
|
(N— 1)=4 λ=1,85 (автомобиля в час) tоб =1,8часа |
(N— 1)=4 λ=1,85 (автомобиля в час) tоб =1,8часа |
(n=4) λ=5,0 (задач в час) tоб=1,5 часа |
с=4 λ=4,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
18 |
λ = 4,0 (автомобиля в час) tоб=0,5 часа
|
(N— 1)=3 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=3 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=4) λ=4,0 (задачи в час) tоб=2,0 часа |
с=5 λ=4,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
19 |
λ = 5,0 (автомобилей в час) tоб=0,5 часа
|
(N— 1)=2 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=2 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=3) λ=4,0 (задачи в час) tоб=2,0 часа |
с=3 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,3 суток |
|
20 |
λ = 1,5 (автомобиля в час) tоб=1,8 часа
|
(N— 1)=3 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=3 λ=0,85 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=4) λ=2,0 (задачи в час) tоб=2,0 часа |
с=3 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
21 |
λ = 2,5 (автомобиля в час) tоб=1,8 часа
|
(N— 1)=3 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,0час |
(N— 1)=3 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,0час |
(n=3) λ=2,0 (задачи в час) tоб=2,0 часа |
с=5 λ=2,0 (механизма в сутки) tоб=0,3 суток |
|
22 |
λ = 3,5 (автомобиля в час) tоб=1,8 часа
|
(N— 1)=2 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,0час |
(N— 1)=2 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,0час |
(n=3) λ=3,0 (задачи в час) tоб=1,0 часа |
с=3 λ=1,5 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
23 |
λ = 4,5 (автомобиля в час) tоб=1,8 часа
|
(N— 1)=4 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(N— 1)=4 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =1,05часа |
(n=4) λ=3,0 (задачи в час) tоб=1,0 часа |
с=4 λ=1,5 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |
|
24 |
λ = 5.5 (автомобилей в час) tоб=1,8 часа
|
(N— 1)=3 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =2,0 часа |
(N— 1)=3 λ=2,0 (автомобиля в час) tоб =2,0 часа |
(n=4) λ=2,5 (задачи в час) tоб=2,0 часа |
с=5 λ=1,5 (механизма в сутки) tоб=0,5 суток |