Bessel functions

2.3.Интегральные представления функций Бесселя

2.3.1.Интегральное представление, введенное Бесселем для

функций целого индекса =n

Формула Коши, полученная в курсе теории функций комплексной переменной, позволяет найти коэффициенты разложения (87) в виде контурного интеграла

1

Z

dt

<

1

Z

dt

"

x

1

!#

Jn(x) =

(x; t) =

exp

t

;

(92)

2 i

t

2 i

t

2

t

C

C

где замкнутый жорданов контур C охватывает точку t = 0 на комплексной

плоскости t. Для функций Бесселя целого индекса этот контур может быть

выбран в виде окружности единичного радиуса (детали доказательства можно найти, например, в [1]). Полагая в этом случае

t = ei		;	jtj = 1 ;	dt		= d ;	(93)
				it
получаем первое интегральное представление
1
Jn(x)=		Z	d expfi [x sin n ]g :				(94)
	2

В силу симметричности пределов интегрирования мнимая часть данного интеграла обращается в нуль, и мы получаем интегральную формулу Бесселя

(Bessel, 1824)
1
Jn(x)=		Z	d cos (x sin n ) :		(95)
		0
Для нецелых значений интеграл
		1
J (x) =			Z	d cos (x sin )	(96)
			0

задает функцию Ангера-Вебера, которая в общем случае не совпадает с функцией Бесселя J (x), и для описания последней необходимо пользоваться интегральным представлением Пуассона (Poisson, 1823).

21

2.3.2. Представление функций Бесселя произвольного индекса с

помощью интеграла Пуассона

Для того, чтобы получить интегральную формулу Пуассона для функций Бесселя первого рода произвольного индекса, рассмотрим интеграл сле-

дующего вида

2

F (x) Z	d' cos(x sin ')(cos ')2 :	(97)
0

Раскладывая cos(x sin ') в степенной ряд, представим функцию F (x) в виде

	суммы		n x2n
		1			(n)
	F (x) =	nX
			(2n)!F ;			(98)
		( 1)
		=0
	где вспомогательный интеграл
	2
	F (n) Z	d'(sin ')2n(cos ')2				(99)
	0

зависит только от номера n и индекса . Заменой переменной интегрирования z = sin2 ' интеграл (99) сводится к бета-функции и выражается через гамма-

функции Эйлера:

F (n)=	1	1 dz zn	21	(1	z)	21	=	1		n+	1	; +	1	!	=	(n+21) ( +21)	: (100)
								2B			2					2 (n+ +1)
	2 Z												2
		0

Вспоминая упражнение с гамма-функцией полуцелого аргумента, выполненное в разделе 2.1.3. (формулы (73)-(75)), приведем отношение гамма-функций с удвоенным аргументом к следующему удобному виду

n+21

=

n+21

=

n 21 21 21

=

(2n+1)

(2n)!

(2n)!

= 2(2 n

3 22 2( n1) 2 13 p = 2n

:

4

n

1)

3

1

5

4

n

n

5

p

2 (2n)!

2 n!

2 n!

Тогда функция F (x) может быть записана как

2 1 ( 1)n

x

2n+

3

F (x) =

p

x

!

+

1

2

;

2

2

2!

6nX

(n+1) (n+ +1)

7

4

=0

5

(101)

(102)

22

а сумма, выделенная квадратными скобками, есть ничто иное, как разложение в ряд функции Бесселя первого рода индекса . Сравнивая (102) и (97)

получаем представление функции J (x) с помощью интеграла Пуассона:

				x2
J (x) =	2						2	d' cos(x sin ')(cos ')2 :	(103)
							Z
	p +1
					2		0

Заменой t = sin ' оно сводится к другому известному интегралу

				x						1		t2)
J (x) =				2						dt cos(xt)(1			21	;	(104)
		1	+1
		2					2			1

который легко обобщается на случай функций Бесселя мнимого аргумента.

2.3.3. Интегральные представления модифицированных функций Бесселя

Для справки уместно также привести интегральное представление типа Пуассона для модифицированных функций Бесселя (Schla i, 1868)

				x					1		t2)
I (x) =				2					dt e xt(1			21	:	(105)
		1	+1
		2					2		1

Формула (105) может быть получена из (104) следующим образом: в силу симметричности пределов интегрирования (104) не изменится, если заменить cos(xt) под знаком интеграла на cos(xt)+i sin(xt) = eixt, следовательно, за-

мена x на ix непосредственно приводит к (105). Представление модифициро-

ванных функций Бесселя с помощью контурного интеграла [1] вовлекает в рассмотрение несобственные интегралы по бесконечному интервалу

	1				1
I (x) =		Z	d ex cos cos	sin	Z	d e x cosh :	(106)
		0			0

Важно отметить, что при целом = n вторая часть этого интеграла исчеза-

ет, поскольку sin n = 0. Используя (106) в определении (44), моментально

получаем первое интегральное представление для функции Макдональда

1			x
K (x) =	2		2			1d e x cosh (sinh )2 :	(107)
	+1
			2			0

23

Однако, наиболее известным интегральным представлением для этой функции является формула (Schla i, 1873)

1
K (x) = Z	d e x cosh cosh ;	(108)
0

которая нашла широкое применение в релятивистской статистике.

2.4. Об асимптотическом поведении функций Бесселя при больших значениях аргумента

Для того, чтобы получить главную часть разложения функции Бесселя произвольного индекса при больших значениях аргумента, следует обратить внимание на то, что при x ! 1 уравнение (4) превращается в

Y 00(x) + Y = 0

(109)

независимо от значения индекса . Индекс появляется только при конкретизации констант интегрирования:

		A
Y (x) ! C1 cos x+C2 sin x )	y(x) !	p		cos (x + ) :	(110)
			x
Для полуцелого индекса константы A	è в (110) могут быть непосред-

ственно вычислены. Действительно, следуя методу математической индукции, легко установить, что при x ! 1

J3

(x)

v

2

cos x ; J5

(x)

v

2

sin x ; :::

2

u

x

2

u

x

! u

! u

t

t

Jn+1

(x)

v

x 1

n

!

= v

cos x 1

n+

1

!

:

(111)

2 sin

2

2

u

x

2

u

x

"

2

2

4

#

! u

u

t

t

Заменив n+12 на произвольное , получим известные асимптотические разложения функций Бесселя первого, второго и третьего рода

v

u

u 2 !

J (x ! 1) ' t x cos x 2 4 ;

v

u

u 2 !

Y (x ! 1) ' t x sin x 2 4 ;

H(1)(x	)	v
				2 ei(x 2 4 ) ;
		u
	! 1 ' u		x
		t

24

H(2)(x		)	v				(112)
					2 e i(x 2 4 ) :
			u
	! 1 ' u				x
			t				x ! 1,
Если мы имеем дело с функциями Бесселя мнимого аргумента при
то из уравнения (4) следует, что
Y 00(x) Y = 0	) Y (x) = C1 cosh x + C2 sinh x :						(113)

Повторяя вышеприведенные рассуждения, получим широко известное асимптотическое разложение функции Макдональда

	K (x	)	s				e x ;	(114)
				2x
		! 1 '

откуда следует, что главная часть этой функции не зависит от и совпадает

ñточным значением для K 12 (x) из формулы (81).

2.5.О корнях функций Бесселя

Теория корней функций Бесселя первого, второго и третьего рода детально разработана и изложена, например, в книгах [1,2], однако обсуждение е¼ деталей выходит за рамки курса. Мы ограничимся только одним утверждением:

Функции Бесселя первого рода J (x) действительного индекса имеют бес- численное множество нулей, расположенных на действительной оси симметрично относительно точки x = 0.

Если индекс есть целое число, то все нули - простые за исключением значения x = 0, которое при = n = 1; 2; ::: является нулем соответствующей кратности n.

Указанные свойства нулей функций Бесселя первого рода легко иллюстрируются на примере функций полуцелого индекса (следует обратить внимание на формулы (85)).

25

ЛЕКЦИЯ III.

Ряды Фурье-Бесселя и их приложения

3.1. Ортогональность функций Бесселя

Как следует из формулы (45), функция Бесселя J (kx) с аргументом kx есть решение уравнения

2

d2

d

2

2

2

x

J (kx) + x

J (kx) + (k

x

)J (kx) = 0 :

(115)

dx2

dx

Перепишем (115) в самосопряженном виде (3) для k = k1 è k = k2

d

"x

d

J (k1x)# +

0k12x

2

1 J (k1x) = 0 ;

dx

dx

@

x A

d

"x

d

J (k2x)# +

0k22x

2

1 J (k2x) = 0 ;

(116)

dx

x

dx

@

A

умножим первое из полученных уравнений на J (k2x), второе на J (k1x) и найдем их разность. Полученное уравнение приведем к виду

				(k22 k12)xJ (k1x)J (k2x) =
=		d	(x	"J (k2x)	d	J (k1x)		J (k1x)	d	J (k2x)#)	(117)
					dx				dx
	dx

и выполним интегрирование по x в интервале (0; l). При вычислении интегра-

ла от полной производной в правой части (117) потребуем, чтобы выражение в фигурных скобках обратилось в нуль на нижнем пределе x = 0. Учитывая

тот факт, что разложение в ряд функции Бесселя индекса (25) начинается со степенного множителя x , легко убедиться, что равенство нулю выполнимо

при > 1. В результате приходим к следующему интегральному соотноше-
íèþ	l
(k22 k12) Z
	xdxJ (k1x)J (k2x) =
0
= l [k1J (k2l)J0 (k1l) k2J (k1l)J0 (k2l)] ;		(118)

в котором штрих обозначает производную по всему аргументу, указанному в скобках. Поскольку функции Бесселя первого рода имеют бесконечное число вещественных корней в интервале x > 0, предположим, что J (k1l) = 0 è

26

J (x).

(j )

J (k2l) = 0. Иными словами, пусть параметр k1 связан с i-ым по счету кор-

( )

íåì (i ) функции Бесселя индекса соотношением k1 = il , а параметр k2 -

ñ j-ûì корнем по правилу k2 = l . Тогда правая часть равенства (118) об- ращается в нуль. Если при этом k12 6= k22, что для некратных положительных

корней означает i 6= j, то получаем знаменитое интегральное соотношение

Zl xdxJ	0	il	x	1 J	0	jl	x	1	= 0 ;	(119)
		( )				( )
0	B			C	B			C
	@			A	@			A

которое по устоявшейся терминологии означает, что функции Бесселя одного и того же индекса ортогональны на интервале (0; l) с весовой функцией x, åñëè (i ) è (j ) представляют собой несовпадающие корни функции

Если параметры k1 è k2 совпадают, мы получаем так называемое соотношение нормировки для функций Бесселя. Чтобы получить это соотношение, положим k1 = k, и пусть k2 ! k. В этом случае из (118) следует равенство

Z	l			2		2	lk	2 J0 (kl)J (k2l)3		;	(120)
	xdxJ2(kx) = lim
				4
	k2	!	k		(k	2		k )
0								5

которое раскрывается по правилу Лопиталя дифференцированием по k2. Ýòà операция приводит к равенству

Z	l	l2		2
	xdxJ2(kx) =
			[J0 (kl)]		:	(121)
		2
0

Если kl есть отличный от нуля корень функции Бесселя, то второе из соотношений (57) превращается в равенство J0 (kl)= J +1(kl). С учетом этого обстоятельства соотношение ортогональности - нормировки принимает окон- чательный вид

l

xdxJ

0

i( )x

1 J

0

j( )x

1

=

l2

ij J2

( )

:

(122)

Z

l

l

B

C

B

C

2

+1

i

0

@

A

@

A

Напомним, что оно справедливо для функций Бесселя индекса > 1.

3.2.Ðÿäû Фурье-Бесселя

Âпредыдущем параграфе мы установили, что система функций

8J

0

1( )x

1

; J

0

2( )x

1

; ::: ; J

0

i( )x

1

; :::9

(123)

l

l

l

>

B

C

B

C

B

C

>

<

=

>

@

A

@

A

@

A

>

:

;

27

ортогональна на интервале (0; l) с весом x, если > 1, а (1 ); ::: (i ) - ýòî положительные корни функции Бесселя J (x), занумерованные в порядке их возрастания. Функцию f(x), определенную на интервале (0; l), можно разложить в ряд Фурье-Бесселя

f(x) =	1	ai J	0	i( )x	1	:	(124)
	iX
			B		C
	=1		@	l	A

Коэффициенты разложения ai находятся по стандартной схеме: левую и пра-

( )

!

вую часть (124) cледует домножить на xJ jl x , проинтегрировать в пределах от нуля до l и воспользоваться условиями ортогональности-нормировки

(122). В результате получим коэффициенты Фурье-Бесселя

ai =	2 2	2	( )	Zl xdxf(x)J	0	il	x	1	:	(125)
						( )
					B			C
	l J +1( i ) 0
					@			A

Обсуждение вопросов сходимости ряда Фурье - Бесселя выходит за рамки курса, мы ограничимся только одной наиболее часто используемой формулировкой условий, гарантирующих такую сходимость [1]:

Если функция f(x) определена и непрерывна внутри интервала (0; l), à èí-

теграл	l	pxdxf(x) существует и абсолютно сходится, то при				1
	R					2	ðÿä
	0

Фурье-Бесселя (124) с коэффициентами (125) равномерно сходится внутри интервала (0; l).

3.3. О некоторых приложениях функций Бесселя

3.3.1.Задача о распространение тепла в цилиндре конечных

размеров

Классическая задача теплопроводности [4,5] приводит к исследованию уравнения параболического типа

	@	U = a2 U :	(126)
	@t

С учетом симметрии задачи оператор Лапласа записывается в цилиндри-

ческих координатах

=

1

@

@

!

+

1

@2

+

@2

;

(127)

@

2

2

2

@

@'

@z

28

а искомая температура ищется как функция четырех независимых переменных U(t; ; '; z). Для примера рассмотрим однородную граничную задачу первого рода, то есть будем полагать, что на боковой поверхности цилиндра радиуса R ( =R), а также на его нижней (z=0) и верхней (z=h) крышках поддерживается температура, равная нулю:

U(t; R; '; z) = U(t; ; '; 0) = U(t; ; '; h) = 0 :

(128)

Начальное условие зададим с помощью некоторой функции F

U(0; ; '; z) = F ( ; '; z) ;

(129)

которая определена и непрерывна внутри цилиндра и обращается в нуль на его поверхности в согласии с граничными условиями (128). Следуя методу разделения переменных, ищем частные решения уравнения (126) в виде:

U(t; ; '; z) = T (t) R( ) (') Z(z) :

(130)

Подставив данное произведение в (126), выполнив операции дифференцирования и разделив вс¼ уравнение на U, получим равенство

T_ (t)

1

0

0

1 00(')

Z00(z)

:

(131)

=

[

R

(

)]

+

+

T a2

R

2

Z

Здесь для краткости точкой обозначена производная по времени. Левая часть равенства (131) не зависит ни от , ни от ', ни от z, а потому обязана быть

константой. Логика подсказывает, что эта константа в принципе может быть положительной, нулевой и отрицательной. Однако только в последнем слу- чае, когда константу можно обозначить как 2, решение для временной

функции T (t)

T (t) = T e a2 2t

(132)

экспоненциально спадает с течением времени. Это пример того, как физи- ческие мотивы накладывают ограничения на свободу математического моделирования. Продолжая такие рассуждения, мы вынуждены заключить, что последнее слагаемое в (131) также равно константе

	Z00(z)		= const ;	(133)
	Z

29

и эта константа должна быть определена из граничных условий Z(0) =

Z(h) = 0. Если принять, что данная константа положительна, то есть const =2 > 0, то решение (133) приобретает вид

Z(z) = C1 cosh z + C2 sinh z ;

(134)

и никак не может обратиться в нуль на обеих границах интервала (0; h). Если

предположить, что константа равна нулю, то решение (133) примет вид

Z(z) = C1 + C2z

(135)

и тоже не позволит удовлетворить граничным условиям. Если же константа отрицательна, то есть, const = k2 < 0, то решение

Z(z) = C1 cos kz + C2 sin kz

(136)

удовлетворит нулевым граничным условиям, если

k =	n		;	Z(z) = Cn sin	nz	!	:	(137)
	h
					h

Совершенно аналогично приходим к выводу, что

	00(')		= const ;	(138)

однако теперь вместо граничных условий для функции необходимо потре-

бовать выполнение условий периодичности по полярному углу '

(' + 2 ) = (') :

(139)

Перебирая заново случаи с положительной, нулевой и отрицательной константой, неминуемо приходим к выводу, что только отрицательная константа const = m2 удовлетворяет требованию (139), причем m может быть только

целым числом. Тогда функция (') моментально находится

(') = C(1) cos m' + C(2) sin m' :

(140)

m

m

Возвращаясь к уравнению для функции R( ), подставим в (131) все найден-

ные нами константы

1

[

R

0( )]0

m2

=

n

!2

2

(141)

R

l

30