labdt1fa

Лабораторная работа №1 Метод последовательных приближений

(принцип сжимающих отображений)

(Варианты заданий)

А. Решение уравнения неподвижной точки на прямой

Вариант А-1

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->cos(x);

># погрешность

>epsilon:=1e-6;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := cos

ε := .1 10−5 x0 := 0

Вариант А-2

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=2;

># функция A(x)

>A:=x->1+0.9*sin(x);

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 2

A := x → 1 + .9 sin(x)

ε := .01 x0 := 0

Вариант А-3

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->1/sqrt(x+1);

># погрешность

>epsilon:=0.0001;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := x → √ 1

x + 1

ε := .0001 x0 := 0

Вариант А-4

># концы отрезка

>a:=-1;

>b:=0;

># функция A(x)

>A:=x->-1/sqrt(x+3);

># погрешность

>epsilon:=1e-5;

># начальная точка

>x0:=0;

a := −1 b := 0

A := x → −√ 1

x + 3

ε := .00001 x0 := 0

1

Вариант А-5

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->-0.3*x^3+1;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := x → −.3 x3 + 1 ε := .01

x0 := 0

Вариант А-6

># концы отрезка

>a:=-3/4;

>b:=0;

># функция A(x)

>A:=x->(x^3-1)/2;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная точка

>x0:=0;

a := −3 4

b := 0

A := x → 12 x3 − 12 ε := .01

x0 := 0

Вариант А-7

># концы отрезка

>a:=1;

>b:=8;

># функция A(x)

>A:=x->1+2*x^(1/3);

># погрешность

>epsilon:=0.005;

># начальная точка

>x0:=1;

a := 1 b := 8

A := x → 1 + 2 x(1/3) ε := .005

x0 := 1

Вариант А-8

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->1-0.5*tan(Pi*x/4);

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := x → 1 − .5 tan( 14 π x)

ε := .001 x0 := 0

Вариант А-9

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->0.5*(tan(Pi*x/4)+0.5);

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := x → .5 tan( 14 π x) + .25

ε := .01 x0 := 0

Вариант А-10

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=evalf(Pi);

># функция A(x)

>A:=x->Pi*(sin(x)+1)/4;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0

b := 3.141592654

A := x → 14 π (sin(x) + 1)

ε := .01 x0 := 0

2

Вариант А-11

># концы отрезка

>a:=evalf(-Pi);

>b:=evalf(Pi);

># функция A(x)

>A:=x->Pi*(cos(x)+1)/4;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная точка

>x0:=0;

a := −3.141592654 b := 3.141592654

A := x → 14 π (cos(x) + 1)

ε := .01 x0 := 0

Вариант А-12

># концы отрезка

>a:=-4;

>b:=4;

># функция A(x)

>A:=x->sin(Pi*x/4)+1;

># погрешность

>epsilon:=0.002;

># начальная точка

>x0:=0;

a := −4 b := 4

A := x → sin( 14 π x) + 1

ε := .002 x0 := 0

Вариант А-13

># концы отрезка

>a:=-4;

>b:=4;

># функция A(x)

>A:=x->cos(Pi*x/4);

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=0;

a := −4 b := 4

A := x → cos( 14 π x)

ε := .001 x0 := 0

Вариант А-14

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->(0.9*x+1)/((0.9*x+1)+1);

># погрешность

>epsilon:=1e-9;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := x → .9 x + 1

.9 x + 2 ε := .1 10−8

x0 := 0

Вариант А-15

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->(2*x+1)/((2*x+1)+1);

># погрешность

>epsilon:=1e-6;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := x → 2 x + 1 2 x + 2

ε := .1 10−5 x0 := 0

Вариант А-16

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->(-0.9*x+1)/(-0.9*x+2);

># погрешность

>epsilon:=1e-3;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := x → −.9 x + 1 −.9 x + 2

ε := .001 x0 := 0

3

Вариант А-17

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1/2;

># функция A(x)

>A:=x->arccos(x)/Pi;

># погрешность

>epsilon:=1e-5;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 12

A := x → arccos(x)

π

ε := .00001 x0 := 0

Вариант А-18

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1/2;

># функция A(x)

>A:=x->1/2-arcsin(x)/Pi;

># погрешность

>epsilon:=1e-6;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 12

A := x → 1 − arcsin(x) 2 π

ε := .1 10−5 x0 := 0

Вариант А-19

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->exp(1)^(-x/2);

># погрешность

>epsilon:=1e-3;

># начальная точка

>x0:=0;

a := 0 b := 1

A := x → (e)(−1/2 x)

ε := .001 x0 := 0

Вариант А-20

># концы отрезка

>a:=0.1;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->1-x*exp(1)^(-x);

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=1;

a := .1 b := 1

A := x → 1 − x (e)(−x)

ε := .001 x0 := 1

Вариант А-21

># концы отрезка

>a:=1.1;

>b:=2;

># функция A(x)

>A:=x->2-ln(x);

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=2;

a := 1.1 b := 2

A := x → 2 − ln(x)

ε := .001 x0 := 2

Вариант А-22

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># функция A(x)

>A:=x->ln(exp(1)-x);

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=1;

a := 0 b := 1

A := x → ln(e − x)

ε := .001 x0 := 1

4

Вариант А-23

># концы отрезка

>a:=1/2;

>b:=2;

># функция A(x)

>A:=x->x+(2-x^2)/4;

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=2;

a := 12

b := 2

A := x → x + 12 − 14 x2 ε := .001

x0 := 2

Вариант А-24

># концы отрезка

>a:=5/6;

>b:=3;

># функция A(x)

>A:=x->x+(5-x^2)/6;

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=3;

a := 56

b := 3

A := x → x + 56 − 16 x2 ε := .001

x0 := 3

Вариант А-25

># концы отрезка

>a:=1;

>b:=2;

># функция A(x)

>A:=x->1+1/(1+x);

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=2;

a := 1 b := 2

1 A := x → 1 + x + 1

ε := .001 x0 := 2

Вариант А-26

># концы отрезка

>a:=1;

>b:=3;

># функция A(x)

>A:=x->2+1/(2+x);

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=3;

a := 1 b := 3

1 A := x → 2 + 2 + x

ε := .001 x0 := 3

Вариант А-27

># концы отрезка

>a:=30;

>b:=40;

># функция A(x)

>A:=x->30+(1000-900)/(x+30);

># погрешность

>epsilon:=0.001;

># начальная точка

>x0:=30;

a := 30 b := 40

100 A := x → 30 + x + 30

ε := .001 x0 := 30

5

Задание Б. Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода

Вариант Б-1

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=-0.5;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->((t+s)-abs(t-s))/2;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->1;

a := 0 b := 1

µ := −.5

K := (t, s) → 12 t + 12 s − 12 |t − s| y := 1

ε := .01 x0 := 1

Вариант Б-2

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=-0.5;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->((t+s)+abs(t-s))/2;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->1;

a := 0 b := 1

µ := −.5

K := (t, s) → 12 t + 12 s + 12 |t − s| y := 1

ε := .01 x0 := 1

Вариант Б-3

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=Pi/4;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->cos(t*s);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1;

># погрешность

>epsilon:=0.03;

># начальная функция

>x0:=t->1;

a := 0

b := 14 π

µ := 1

K := (t, s) → cos(t s)

y := 1

ε := .03 x0 := 1

Вариант Б-4

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=Pi/2;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1/Pi;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->sin(t-s);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->-cos(t);

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0

b := 12 π

µ := π1

K := (t, s) → sin(t − s)

y := t → −cos(t)

ε := .01 x0 := 0

6

Вариант Б-5

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=Pi/2;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1/Pi;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->cos(t-s);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->cos(t);

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0

b := 12 π

µ := π1

K := (t, s) → cos(t − s) y := cos

ε := .01 x0 := 0

Вариант Б-6

># концы отрезка

>a:=1/sqrt(2);

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=-1;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->sin(t*s*Pi);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 12 √2

b := 1 µ := −1

K := (t, s) → sin(t s π)

y := 1

ε := .01 x0 := 0

Вариант Б-7

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=exp(-1);

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->exp(-(t-s)^2);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->t;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1

µ := e(−1)

K := (t, s) → e(−(t−s)2)

y := t → t

ε := .01 x0 := 0

Вариант Б-8

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1/5;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->1+t*s;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->(1-t)^3;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->t;

a := 0 b := 1

µ := 15

K := (t, s) → 1 + t s

y := t → (1 − t)3

ε := .01

x0 := t → t

7

Вариант Б-9

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=0.8;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->(1-t)*s;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->cos(Pi*t);

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->1-2*t;

a := 0 b := 1 µ := .8

K := (t, s) → (1 − t) s

y := t → cos(π t)

ε := .05

x0 := t → 1 − 2 t

Вариант Б-10

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=-1;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->exp(1)^(s-t-2);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->exp(1)^(-t);

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1

µ := −1

K := (t, s) → (e)(s−t−2)

y := t → (e)(−t)

ε := .05 x0 := 0

Вариант Б-11

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->exp(-1-abs(t-s));

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1;

># погрешность

>epsilon:=0.02;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1 µ := 1

K := (t, s) → e(−1−|t−s|)

y := 1

ε := .02 x0 := 0

Вариант Б-12

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->(1-abs(t-s))/2;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1-exp(-t);

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1 µ := 1

K := (t, s) → 12 − 12 |t − s| y := t → 1 − e(−t)

ε := .05 x0 := 0

8

Вариант Б-13

># концы отрезка

>a:=-1;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1/3;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->(1+t*s)/2;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1-t^2;

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->t^2;

a := −1 b := 1

µ := 13

K := (t, s) → 12 + 12 t s y := t → 1 − t2

ε := .05

x0 := t → t2

Вариант Б-14

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в урванении

>mu:=0.5;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->(t-s)^2;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->cos(Pi*t);

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1 µ := .5

K := (t, s) → (t − s)2

y := t → cos(π t)

ε := .05 x0 := 0

Вариант Б-15

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=exp(-3);

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->1+exp(1)^(s+t);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->sin(Pi*t);

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1

µ := e(−3)

K := (t, s) → 1 + (e)(s+t) y := t → sin(π t)

ε := .05 x0 := 0

Вариант Б-16

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=-0.6;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->1-(t-s)^2;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->t;

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1

µ := −.6

K := (t, s) → 1 − (t − s)2

y := t → t

ε := .05 x0 := 0

9

Вариант Б-17

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в урванении

>mu:=3/4;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->(t-s);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->t;

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->t^2;

a := 0 b := 1

µ := 34

K := (t, s) → t − s

y := t → t

ε := .05

x0 := t → t2

Вариант Б-18

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=-1/3;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->1/(1+(t-s)^2);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1

µ := −1 3

K := (t, s) →

1

1 + (t − s)2

y := 1

ε := .01 x0 := 0

Вариант Б-19

># концы отрезка

>a:=-Pi;

>b:=Pi;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1/6;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->1/(2*Pi)+sin(t)*cos(s)/Pi;

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1;

># погрешность

>epsilon:=0.01;

># начальная функция

>x0:=t->1;

a := −π
b := π
µ := 1
6
K := (t, s) →	1 1	+	sin(t) cos(s)
	2 π		π

y := 1

ε := .01 x0 := 1

Вариант Б-20

># концы отрезка

>a:=0;

>b:=1;

># коэффициент в уравнении

>mu:=1;

># интегральная ядро

>K:=(t,s)->1/(2+(t-s)^2);

># функция в правой части уравнения

>y:=t->1-t^2;

># погрешность

>epsilon:=0.05;

># начальная функция

>x0:=t->0;

a := 0 b := 1 µ := 1

K := (t, s) →

1

2 + (t − s)2

y := t → 1 − t2

ε := .05 x0 := 0

10