Рациональные дроби (Степанов)

5

Рациональные дроби

Под целой рациональной функцией подразумевается многочлен п-й степени

f(x) = a₀x ⁿ + a₁x ^n – 1+ a₂x ^n – 2 ++ a_n, (1)

где а₀  0 и п  0.

Дробно-рациональная функция или рациональная дробь – это частное двух целых рациональных функций . Будем рассматривать рациональные дроби с действительными коэффициентами.

Рациональная дробь называется несократимой, если её числитель взаимно прост со знаменателем.

Теорема. Всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, определяемой однозначно с точностью до множителя нулевой степени, общего для числителя и знаменателя.

Доказательство. Всякую рациональную дробь можно сократить на наибольший делитель её числителя и знаменателя, после чего будет получена равная ей несо­кратимая дробь. Если равны друг другу несократимые дроби и , то есть

, (2)

то из взаимной простоты f(x) и g(x) следует, что (х) делится на f(x), а из взаимной простоты g(x) и (х) следует, что f(x) делится на (х). Отсюда f(x) = с(х), а тогда из (2) следует g(x) = с(х).

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Будем считать, что многочлен степени 0 является правильной дробью.

Теорема. Всякая рациональная дробь представима притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Пусть дана рациональная дробь f(x)/g(x). Если, деля числитель на знаменатель, получим равенство

f(x) = q(x) g(x) + r(x),

где степень r(x) меньше степени g(x), то очевидно,

Если также справедливо равенство

,

где степень (х) меньше степени (х), то справедливо равенство

Так как слева стоит многочлен, а справа – правильная дробь, то обязательно q(x) = q₁(x) и

Из изложенного ранее следует, что среди многочленов с действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, неразложимыми на множители меньшей степени, или неприводимыми, являются лишь линейные многочлены вида х – а и квадратные многочлены вида

(конечно, здесь – комплексно сопряженные числа)

Правильная рациональная дробь f(x)/g(x) называется простейшей, если её знаменатель g(x) является степенью неприводимого многочлена р(х),

g(x) = р^k(х), k  1, а степень числителя f(x) меньше степени р(х).

Основная теорема о рациональных дробях. Всякая правильная рацио­нальная дробь разлагается в сумму простейших дробей.

Рассмотрим сначала правильную рациональную дробь , где многочлены g(x) и h(х) взаимно просты. Тогда существуют многочлены u₁(х) и v₁(x), такие что

g(x) u₁(х) + h(х) v₁(x) = 1

Отсюда

g(x)[u₁(х) f(x)] + h(х)[v₁(x) f(x)] = f(x) (3)

Пусть остаток от деления произведения u₁(х) f(x) на h(х) равен u(х), степень которого меньше степени h(х). Тогда равенство (3) можно переписать в виде

g(x) u(х) + h(х) v(x) = f(x), (4)

где многочлен v(x) легко определяется. Так как степень произведения g(x) u(х) меньше степени произведения g(x) h(х), и степень f(x) меньше степени произведения g(x) h(х) по условию теоремы, то и произведение h(х) v(x) имеет степень, меньшую, чем g(x) h(х). Поэтому степень v(x) меньше степени g(x). Из (3) следует равенство

,

в правой части которого стоит сумма правильных дробей.

Если хотя бы одни из знаменателей g(x) или h(х) разлагается в произведение взаимно простых множителей, то можно провести дальнейшее разложение. Отсюда следует, что всякая правильная дробь разлагается в сумму нескольких правильных дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого многочлена. Если дана правильная дробь f(x)/ g(x), знаменатель которой разлагается на неприводимые множители

(конечно, всегда можно считать, что старший коэффициент знаменателя рациональной дроби равен единице), причём p_i(х)  p_j(x) при i  j, то

Все слагаемые в правой части этого равенства являются правильными дробями.

Рассмотрим правильную дробь вида u(х)/р^k(x), где р(х) – неприводимый многочлен. Разделим u(х) на р^j(x), где j – наибольшее натуральное число из тех, при которых можно осуществлять деление u(х) на р^j(x) (j  k – 1). Отметим, что при степени многочлена и(x) равной т, если р(x) = х – а, то j = т. Если же р(x) = х² + рх + q (p² – 4q < 0), то при т чётном j = т/2, а при т нечётном j = (т  1)/2.

Полученный остаток разделим на р^j1(x) и т. д. В результате придём к равенствам



При этом степень u(х) по условию меньше степени р^k(x), а степень каждого из остатков u_i(х) i = 1,2,,j + 1 меньше степени соответствующего делителя р^j–i+1(x), то степени всех частных s₁(x), s₂(x),…, s_j+1(x) будут строго меньше степени многочлена р(х).

.

Отсюда получается искомое представление рациональной дроби u(х)/р^k(x) в виде суммы простейших дробей:

,

и основная теорема доказана.

Теорема единственности. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей.

Пусть некоторая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей двумя способами. Вычитая одно из этих представлений из другого и приводя подобные члены, получим сумму простейших дробей, тождественно равную нулю. Пусть знаменатели простейших дробей, составляющих эту сумму, будут некоторыми степенями различных неприводимых многочленов р₁(х), р₂(х),, р_s(х) и пусть наивысшая степень многочлена р_i(х), i = 1,2,,s, являющегося одним из этих знаменателей, будет . Умножим обе части рассматриваемого равенства на произведение . Все слагаемые полученной суммы, кроме одного, превратятся при этом в многочлены. Слагаемое превратится в дробь . Знаменатель этой дроби не является делителем числителя, так как многочлен р₁(x) неприводим, а все множители числителя с ним взаимно просты. Выполняя деление числителя на знаменатель с остатком , в результате получим, что равна нулю сумма многочлена и отличной от нуля правильной дроби, что невозможно.