Понятия целевой функции и ограничений.

   Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:          (2)         (3)         (4)         (5)     При этом система линейных уравнений (3) и неравенств (4), (5), определяющая допустимое множество решений задачи ^ W, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(Х) называется целевой функцией или критерием оптимальности. 

В самом общем виде задача линейного программирования математически записывается следующим образом:          (1) где X = (x₁, x₂ , ... , x_n); W – область допустимых значений переменных x₁, x₂ , ... , x_n ;f(Х) – целевая функция. 

Решение распределительной задачи.

Аппроксимация функций.

Подбор эмпирических зависимостей.

Эмпирическая формула — формула, показывающая тип и соотношение элементов в соединении.

1

Проще всего построить график функции тренда непосредственно сразу после внесения имеющихся данных в массив. Для этого на листе с таблицей данных выделите не менее двух ячеек диапазона, для которого будет построен график, и сразу после этого вставьте диаграмму. Вы можете воспользоваться такими видами диаграмм, как график, точечная, гистограмма, пузырьковая, биржевая. Остальные виды диаграмм не поддерживают функцию построения тренда.

2

В меню «Диаграмма» выберите пункт «Добавить линию тренда». В открывшемся окне на вкладке «Тип» выберите необходимый тип линии тренда, что в математическом эквиваленте также означает и способ аппроксимации данных. При использовании описываемого метода вам придется делать это «на глаз», т.к. никаких математических вычислений для построения графика вы не проводили.

3

Поэтому просто прикиньте, какому типу функции более всего соответствует график имеющихся данных: линейной, логарифмической, экспоненциальной, степенной или иной. Если же вы сомневаетесь в выборе типа аппроксимации, можете построить несколько линий, а для большей точности прогноза на вкладке «Параметры» этого же окна отметить флажком пункт «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)».

4

Сравнивая значения R^2 для разных линий, вы сможете выбрать тот тип графика, который характеризует ваши данные наиболее точно, а, следовательно, строит наиболее достоверный прогноз. Чем ближе значение R^2 к единице, тем точнее вы выбрали тип линии. Здесь же, на вкладке «Параметры», вам необходимо указать период, на который делается прогноз.

5

Такой способ построения тренда является весьма приблизительным, поэтому лучше все-таки произвести хотя бы самую примитивную статистическую обработку имеющихся данных. Это позволит построить прогноз более точно.

6

Если вы предполагаете, что имеющиеся данные описываются линейным уравнением, просто выделите их курсором и произведите автозаполнение на необходимое число периодов, или количество ячеек. В данном случае нет необходимости находить значение R^2, т.к. вы заранее подогнали прогноз к уравнению прямой.

7

Если же вы считаете, что известные значения переменной лучше всего могут быть описаны с помощью экспоненциального уравнения, также выделите исходный диапазон и произведите автозаполнение необходимого количества ячеек, удерживая правую клавишу мыши. При помощи автозаполнения вы не сможете построить других типов линий, кроме двух указанных.

8

Поэтому для наибольшей точности построения прогноза вам придется воспользоваться одной из нескольких статистических функций: «ПРЕДСКАЗ», «ТЕНДЕНЦИЯ», «РОСТ», «ЛИНЕЙН» или «ЛГРФПРИБЛ». В этом случае вам придется высчитывать значение для каждого последующего периода прогноза вручную. Если вам необходимо произвести более сложный регрессионный анализ данных, вам понадобится надстройка «Пакет анализа», которая не входит в стандартную установку MS Office.

Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных.

Для того, чтобы установивить линейную зависимость для заданных табличных данных с помощью Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. В ячейки A1 и B1 ввести текст соответственно «xi» и «yi».

2. Заполнить диапазон ячеек A2:B6 значениями из таблицы:

   x0	y0
   x1	y1
   .	.
   .	.
   .	.
   xn	yn

3. В ячейку С1 ввести текст n=.

4. В ячейку D1 ввести число 4.

5. В ячейки C2:С5 ввести текст «Mx», «My», «Mxy», «Mx2» соответственно.

6. В ячейку D2 ввести формулу =СУММ(A2:A6).

7. В ячейку D3 ввести формулу =СУММ(B2:B6).

8. В ячейки A8, B8 ввести текст «x*y», «x^2» соответственно.

9. В ячейку A9 ввести формулу =A2*B2 и методом протягивания заполнить диапазон ячеек A10:A13.

10. В ячейку B9 ввести формулу =A2^2 и методом протягивания заполнить диапазон ячеек B10:B13.

11. В ячейку D4 ввести формулу =СУММ(A9:A13).

12. В ячейку D5 ввести формулу =СУММ(B9:B13).

13. В ячейки D8, D11, D14 текст «D=», «D1=», «D2=» соответственно.

14. В ячейку E8 и F9 ввести формулу = D2.

15. В ячейку E9 ввести формулу =D5.

16. В ячейку F8 ввести формулу =D1+1.

17. В ячейку H8 ввести текст «D=».

18. В ячейку I8 ввести формулу =МОПРЕД(E8:F9) (вычисляет определитель матрицы).

19. В ячейку E11 ввести формулу =D3.

20. В ячейку E12 ввести формулу =D4.

21. В ячейку F11 ввести формулу =D1+1.

22. В ячейку F12 ввести формулу =D2.

23. В ячейку H11 ввести текст «D1=».

24. В ячейку I11 ввести формулу =МОПРЕД(E11:F12) (вычисляет определитель матрицы).

25. В ячейку E14 ввести формулу =D2.

26. В ячейку E15 ввести формулу =D5.

27. В ячейку F14 ввести формулу =D3.

28. В ячейку F15 ввести формулу =D4.

29. В ячейку H14 ввести текст «D2=».

30. В ячейку I14 ввести формулу =МОПРЕД(E14:F15) (вычисляет определитель матрицы).

31. В ячейки A16 и A17 ввести текст «a=», «b=» соответственно.

32. В ячейку B16 ввести формулу =I11/I8.

33. В ячейку B17 ввести формулу =I14/I8.

В итоге получаем следующее:

Ответ: g=3,5x+12,8.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1го порядка.

Метод Эйлера.

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Описание.

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция  определена на некоторой области . Решение ищется на интервале . На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах , которое обозначим через  определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности.

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция  непрерывна в  и непрерывно дифференцируема по переменной  в , то имеет место следующая оценка погрешности

где  — средний шаг, то есть существует  такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Значение.

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.