Семенов. Планирование эксперимента2

Таблица 2.

Значения числовых отметок по шкале желательности d

	y1, кгс/см2		y2, кгс/см2			y3, %
Значение
свойств	430	320	110	60	200	100
Числовые
отметки
по шкале
жела-
тельно-	0.63	0.2	0.63	0.3	0.63	0.2
сти d

Тогда

b0+430b1=0.755,

b0+320b1=-0.326. (1.13)

Решение системы (1.13) дает b1=0.0098, b2=-3.445.

Таким образом, частная функция желательности имеет вид d1=exp[-exp(-3.445+0.0098y1)]. (1.14)

Аналогично получены частные функции желательности d2 и d3: d2=exp[-exp(-1.45+0.02y2)], d3=exp[-exp(-1.25+0.01y3)]. (1.15)

Для всех композиций (таблица) частные функции желательности можно определять по формулам (1.14), (1.15). или по рис.4.

Обобщенная функция желательности (таблица) определена по формуле

(1.10) и имеет вид

1

D exp{ 3[exp( 3445. 00098.y1) (1.16)exp( 145. 002.y2) exp( 125. 001.y3)]}

11

www.mitht.ru/e-library

Наибольшее значение обобщенной функции желательности получено в

четвертом опыте (D=0.810). Хорошие композиции получены также в опытах

10 и 13.

Номер	d1	d2	d3	D
компо-
зиции
1	0.410	0.67	0.97	0.645
2	0.420	0.67	0.98	0.647
3	0.423	0.55	0.96	0.610
4	0.730	0.75	0.96	0.810
5	0.419	0.68	0.97	0.650
6	0.270	0.63	0.97	0.550
7	0.640	0.53	0.97	0.686
8	0.370	0.71	0.98	0.638
9	0.371	0.71	0.97	0.638
10	0.740	0.63	0.92	0.759
11	0.720	0.53	0.73	0.650
12	0.760	0.31	0.24	0.381
13	0.780	0.55	0.93	0.732
14	0.860	0.58	0.17	0.440

12

www.mitht.ru/e-library

Рис. 4. Функция желательности

2. Cложные планы

Для определения оптимальной комбинации качественных факторов применяют методы планирования эксперимента по схеме латинских, гипер-

греко-латинских квадратов и кубов [2]. Рассмотрим предварительно поня-

тие латинских и греко-латинских квадратов.

2.1. Латинские и греко-латинские квадраты

Как упоминалось ранее [1], дробный факторный эксперимент (ДФЭ) ис-

пользуется для сокращения числа опытов при выполнении эксперимен-

тальной работы. ДФЭ по схеме латинского квадрата был введен впервые Фишером. Латинский квадрат n n - это квадратная таблица, составлен-

ная из n элементов (чисел или букв) таким образом, что каждый элемент повторяется в каждой строке и каждом столбце только один раз [2]. Из трех элементов образуется латинский квадрат 3 3:

A	B	C
B	C	A
	C	A B	(2.1)
	13

www.mitht.ru/e-library

Из четырех элементов - латинский квадрат 4 4:
A	B	C	D
B	C	D	A
C	D	A	B
		D	A B C	(2.2)

Cтандартными или каноническими латинскими квадратами называются

такие квадраты, у которых первая строка и первый столбец построены в алфавитном порядке (элементы квадрата - буквы) или в порядке натураль-

ного ряда (элементы квадрата и числа). Квадраты (2.1) и (2.2) являются стандартными. Построены эти квадраты путем одношаговой циклической перестановки: вторая строка строится перестановкой в конец строки перво-

го элемента первой строки, третья строка - перестановкой в конец первого элемента второй строки и т.д. Одношаговая циклическая перестановка -

это наиболее простой способ построения латинского квадрата. В общем случае n n латинский квадрат может быть построен при n-1 одношаговых циклических перестановках. Число латинских квадратов зависит от разме-

ра квадрата и для n>3 оно достаточно велико. Так, имеется 576 латинских

квадратов 4 4, 161280 латинских квадратов 5 5.

К планированию эксперимента по схеме латинского квадрата прибегают при исследовании влияния на процесс трех факторов А, В и С. При этом факторы А и В могут быть связаны с самим исследованием, а в качестве

фактора С рассматривается неоднородность материала.

Все три фактора в латинском квадрате имеют одинаковое число уров-

ней (ai, bi, ci). Так, в плане (табл. 3) каждый фактор изменяется на двух

уровнях.

Таблица 3.

А		В
	b1		b2
		14

www.mitht.ru/e-library

a1	c1	c2
a2	c2	c1

В табл.3 представлен факторный эксперимент типа 22, на который наложен 2х2 латинский квадрат. Матрица планирования – соотвествующий табл. 3 план эксперимента, включающий три столбца и четыре строчки,

представлен в табл. 4.

Таблица 4.

План эксперимента n=2; N=4

Номер	А	В	С	y
1	a1	b1	c1	y1
2	a1	b2	c2	y2
3	a2	b1	c2	y3
4	a2	b2	c1	y4

Латинский квадрат является частью плана – по схеме латинского квадрата введен в планирование третий фактор С. Однако весь этот план

(табл. 3) принято называть латинским квадратом. В латинском квадрате каждый элемент повторяется только один раз в каждой строчке и в каждом столбце, поэтому каковы бы ни были нарушающие свойства элемента квадрата, они в равной степени скажутся при подсчете средних по стобцам и по строкам. Представленный в табл. 4 план представляет собой полови-

ну - полуреплику от ПФЭ 23.

Латинский квадрат 3 3 со структурной точки зрения можно рассматри-

вать как 1/3 реплику от полного факторного эксперимента 33. В общем слу-

чае латинский квадрат n n можно рассматривать как 1/n реплику от ПФЭ

n3.

15

www.mitht.ru/e-library

Планирование эксперимента по латинскому квадрату позволяет ввести в исследование три фактора. Для четырех факторов хорошими свойствами

обладает план эксперимента по схеме греко-латинского квадрата.

Рассмотрим следующие два латинских квадрата, составленные соот-

ветственно из латинских и греческих букв:
I			II
A B C D E
C D E A B
E A B C D
B C D E A									(2.3)
D E A B C

Если наложить эти два латинских квадрата один на другой и составить третий квадрат, каждая клетка которого содержит как латинскую, так и гре-

ческую букву соответствующих клеток исходных квадратов, то получим

A	B	C	D	E
C	D	E	A	B
	E	A	B	C	D	(2.4)
B	C	D	E	A
D	E	A	B	C

В полученном квадрате каждая буква одного квадрата связана один и только один раз с каждой буквой другого квадрата. Такие два латинских квадрата называются ортогональными. Полученный квадрат второго по-

рядка называют также греко-латинским квадратом. Задача о нахождении

16

www.mitht.ru/e-library

ортогональных латинских квадратов в комбинаторной математике еще полностью не решена. Доказано существование ортогональных латинских квадратов для n=3, 4, 5, 7, 8 и 9. Известно. что их нет для n=6. Для n=6 по-

этому можно построить обычный латинский квадрат и нельзя построить квадрат второго порядка. Латинский квадрат для n=10 не исследован.

Планирование эксперимента по схеме греко-латинского квадрата при-

меняется для четырех факторов. Число уровней для всех факторов долж-

но быть одинаково.

В греко-латинском квадрате имеется n2 различных комбинаций уровней факторов вместо n4 комбинаций полного четырехфакторного эксперимен-

та. Поэтому греко-латинский квадрат представляет собой 1/n2 реплику от полного факторного эксперимента. Так, греко-латинский квадрат 3 3

представляет собой 1/9 реплику от ПФЭ 34 (N=81), греко-латинский квадрат

4 4 - 1/16 реплику от ПФЭ 44, (N=256), 5 5 - 1/25 реплику от ПФЭ 54

(N=625).

Использование греко-латинских и гипер-греко-латинских квадратов в качестве планов экспериментов одновременно дает экономию в числе на-

блюдений и приводит к упрощению вычислений.

Основным допущением, лежащим в основе применения греко-

латинского квадрата и квадратов высших порядков, является предположе-

ние об отсутствии взаимодействий между факторами. Проверить адекват-

ность принятой линейной модели, как и при применении латинских квадра-

тов, можно только при наличии параллельных опытов.

2.2.Факторный эксперимент 22k, совмещенный

слатинским квадратом

17

www.mitht.ru/e-library

При совмещении факторного эксперимента l2 с ортогональными латин-

скими квадратами l l все факторы вводятся в планирование на четырех уровнях и всего можно исследовать эффекты (l+1) факторов [2].

Во многих задачах в планировании наряду с качественными факторами участвуют количественные, и их может быть достаточно много. Если всем факторам задавать одинаковое число уровней l>2, то или потребуется большое количество опытов, или необходимо будет ограничивать величи-

ной (l+1) число факторов, вводимых в план. Кроме того, для некоторых ка-

чественных факторов иногда невозможно задать более двух уровней. В та-

ких задачах полезными оказываются сложные планы: факторный экспери-

мент 22k, совмещенный с латинским квадратом размера 2k 2k [2, 5]. Они позволяют вводить в планирование несколько факторов на l=2k уровнях и достаточно большое число количественных и качественных факторов на двух уровнях. Такие планы можно построить только для факторного экспе-

римента 22k с количеством опытов, равным полному квадрату числа 2k, k=2,

3, ...

Для совмещения факторного эксперимента 22k с латинским квадратом удобно факторный эксперимент 22k представить в виде таблицы с 2k+1 вхо-

дами, на которую накладывается латинский квадрат размера 2k 2k , на-

пример табл. 3.

Таблица 3.

Совмещение факторного эксперимента 24 с латинским квадратом 4 4

		x2(-1)				x2(+1)
		x1(-1)	x1(+1)		x1(-1)		x1(+1)
x4(-1)	x3(-1)	A	B		C		D
x4(-1)	x3(+1)	B	A		D		C
				18

www.mitht.ru/e-library

x4(+1)	x3(-1)	D	C	B	A
x4(+1)	x3(+1)	C	D	A	B

Тогда фактор, вводимый в планирование по схеме латинского квадрата,

ортогонален 2k факторам, задающим полный факторный эксперимент.

Действительно, все l=2k уровней этого фактора встречаются в плане оди-

наково часто, и каждый уровень его встречается с любым уровнем исход-

ных 2k факторов одинаковое число раз.

Исходный план можно совместить с греко-латинским квадратом 2k 2k

или даже с гипер-греко-латинским квадратом, полученным наложением друг на друга (2k-1) ортогональных латинских квадратов, если существует полный ряд ортогональных латинских квадратов для данного l=2k. При этом введенные (2k-1) факторы ортогональны исходным 2k факторам, а

также ортогональны всем взаимодействиям факторов, задающим столбцы квадрата. План будет насыщенным, если эти взаимодействия считать не-

значимыми и использовать их для введения в план дополнительных фак-

торов на двух уровнях.

Представляют интерес самые различные варианты насыщенных орто-

гональных планов, полученных в результате совмещения факторного пла-

на 22k с одним латинским квадратом, двумя ортогональными латинскими квадратами и т.д. до (2k-1) ортогональных латинских квадратов. Каждый фактор, введенный в план на l=2k уровнях, имеет (2k-1) степеней свободы и оказывается смешанным с 2k-1 различными взаимодействиями 2k факто-

ров полного факторного эксперимента. Если ввести в план m факторов

(m<2k-1) на 2k уровнях, то они окажутся смешанными с m(2k-1) взаимодей-

ствиями исходных факторов. Всего в полном факторном плане 22k имеется

(22k-2k-1) взаимодействий. Следовательно, свободными от смешивания с главными эффектами (2k+m) факторов останутся (22k-2k-1)-m(2k-1) взаимо-

19

www.mitht.ru/e-library

действий. Их можно использовать для введения в план дополнительных факторов на двух уровнях. Насыщенный план тогда включает n=22k- m2k+2m-1 факторов, из которых m вводится на l=22k уровнях и (n-m) на двух уровнях. Наибольший практический интерес представляют планы при k=2,

т.е. N=16, l=4. Могут оказаться полезными планы при k=3, т.е. N=64, l=8.

Планы, построенные при k=4, требуют слишком большого числа опытов

(N=256).

При использовании сложных планов для количественных факторов,

введенных в план на двух уровнях, можно подсчитать главные эффекты факторов, которые благодаря ортогональности плана совпадают с эффек-

тами, вычисленными по методу наименьших квадратов, и затем провести крутое восхождение. При этом качественные факторы на этапе крутого восхождения устанавливаются на тех уровнях, которые дают лучшие эф-

фекты.

Эффекты факторов, введенных в план на двух уровнях, вычисляются следующим образом. Пусть проделано N=22k опытов по схеме сложного плана. В план введены n факторов, из них m установлено на l=2k уровнях,

а (n-m) - на двух уровнях. Получен ряд значений отклика: y1, y2, ..., yN. Тогда главный эффект фактора xi (i=1, 2, ..., n-m) получается как разность между суммой откликов во всех опытах, в которых xi установлен на верхнем уров-

не xi’, и суммой откликов во всех опытах, в которых xi установлен на ниж-

нем уровне x0i , деленная на число опытов в плане:

	mi	1	y(x1,...,xi, ,...xn m) y(x1,...,xi0,...,xn m)	(2.5)
		N

Отношение mi к (mi ) ош / N, где ош - ошибка в измерении откли-

ка, которое имеет t-распределение, можно использовать для оценки значи-

мости вычисленных эффектов. При этом если план ненасыщенный, то для

20

www.mitht.ru/e-library