Законы электростатики

3. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд –q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние x,

если x R.

Ответ:

E

q

1

x

;

4

0 x2

x2

R2 3 / 2

E

3qR 2

при x

R.

8

0

x4

§ 2. Диэлектрики и проводники в

электрическом поле

В диэлектрике электрическое смещение:

D

0 E

P ,

где

P - электрическая поляризация (вектор поляризованности), причем в

изотропных диэлектриках:

1,

P

0 E;

где

- диэлектрическая восприимчивость.

Связь между поверхностной плотностью

1

связанных зарядов на границе

диэлектрик –

проводник

и

поверхностной плотностью

зарядов на

проводнике:

	1	1 .
1

Задачи с решениями

Задача 1. В пространстве, наполовину заполненном парафином (ε = 2), создано однородное электрическое поле, напряженность которого в воздухе Е1 = 2 В/м. Вектор Е1 образует угол α = 60° с границей парафин - воздух, которую можно считать плоской. Определить векторы электрического смещения, напряженности и поляризации в парафине.

Решение.

Рис. 2.1.

11

В условии задачи источник электрического поля не задан, но известны модуль и направление напряженности, а следовательно, и вектора электрического смещения в воздухе. Т. к. в воздухе D1 = ε0E1, вектор D1

параллелен вектору E1, а модуль его равен
D1 = ε0E1 = 1,77.10-11 Кл/м2.	(1)

В парафине вектор электрического смещения связан с напряженностью электрического поля соотношением

D2 = ε0εE2.

(2)

При этом нормальные и тангенциальные составляющие векторов (по отношению к границе диэлектрика) будут иметь вид

Dn2 = ε0εEn2 , Dτ2 = ε0εEτ2.

(3)

Рис. 2.2.

Так как нормальная составляющая вектора электрического смещения при переходе через границу диэлектрика не изменяется, то

Dn1 = Dn2	(4)
ε0En1 = ε0εEn2	(5)
En1 = εEn2.	(6)

Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля не терпит разрыва при переходе через границу диэлектрика, т. е.

Eτ1 = Eτ2 .

(7)

Следовательно, Dτ1 = Dτ2/ε.

Отсюда получим соотношение для модуля вектора электрического смещения

D

D2

D2

D2

2 D2 .

(8)

2

n 2

2

n1

1

Так как в воздухе Dn1

D1 sin , D 1

D1 cos , получаем

2,3 10 11 Кл/м2.(9)

D

D

sin2

2 cos2

2

1

При этом вектор D2 образует с границей раздела угол β:

sin

Dn2

D1 sin

0,65,

(10)

D2

D2

т. е.

β = 40°.

Аналогично найдем направление и величину напряженности электрического поля в парафине

12

En21

E

2

E 2

E 2

E 2 .

(11)

2

n2

2

1

Так как в воздухе En1

E1 sin , E 1

E1 cos , получаем

E

E

sin2

cos2

1,3 В/м.

(12)

2

2

1

Вектор E2

образует с границей диэлектрика угол γ:

sin

En2

E1 sin

0,65,

(13)

E2

E2

т. е.

γ = 40°,

γ = β.

Таким образом, векторы электрического смещения и напряженности электрического поля при переходе через границу диэлектрика меняют свое направление, оставаясь по-прежнему параллельными друг другу.

Вектор поляризации в парафине определим из выражения

D2 = ε0E2 + P2

Так как векторы D2 и E2 сонаправлены, вектор P2 направлен параллельно им, а его модуль равен

P	D	0	E	2	1,2 10 11	Кл/м2.	(14)
2	2

Задача 2. Металлический шар радиуса R имеет заряд Q. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра шара. Каков потенциал шара?

Рис. 2.3.

Решение

В металлическом проводнике заряды могут располагаться только на поверхности проводника. Если бы заряда q не было, заряд Q был бы равномерно распределен по поверхности. При наличии заряда q заряд Q попрежнему располагается на поверхности шара, но уже не распределен равномерно (см. рисунок).

Потенциал точки О равен

q		Qi	,	(1)
4 0 d	i 4 0 R

где Qi - малые части заряда Q, расположенные на поверхности шара.

Но	Qi Q , т.к. шар - изолированный проводник.
	i
	13

Тогда

	q			Q	.	(2)
	4 0 d	4		0 R

Таков потенциал точки О, и таков же потенциал любой точки шара, поскольку в металлическом проводнике в равновесии φ = const и электрическое поле отсутствует.

Задача 3. Четыре большие металлические пластины расположены на малом расстоянии d друг от друга. Крайние пластины соединены проводником, а на внутренние пластины подана разность потенциалов .

Найти: а) напряженность электрического поля между пластинами; б) суммарный заряд, приходящийся на единицу площади каждой пластины.

1

2

3

4

	Рис. 2.4.
Решение:
Плотности зарядов пластин равны									1 , 2 , 2 , 1 .
Напряженности полей между пластинами
	E				1	,			(1)
	12
					0
E			1		2			,	(2)
	23
			0
	E				1		.		(3)
			34

0

Разность потенциалов между крайними пластинами равна нулю, т.к. они соединены проводником:

E12 E23	E34 d 0 .	(4)
Разность потенциалов между второй и третьей пластинами равна			:
E23d	.	(5)

Решая совместно (1)-(5), найдем напряженности полей между пластинами и поверхностные плотности заряда на каждой пластине:

E23		; E12 E34		.	(6)
	d		2d
					14

		0 ;		3			;	(7)
1			2			0
	2d				2d
3	2 ; 4			1 .				(8)

Задача 4. Небольшой шарик висит над горизонтальной безграничной проводящей плоскостью на изолирующей упругой нити жесткости k. После того как шарик зарядили, он опустился на x см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным l. Найти заряд шарика.

Решение:

Используем метод зеркальных изображений, заменив систему: шарик + проводящая плоскость на два противоположно заряженных шарика, находящихся на расстоянии 2l друг от друга.

Сила упругости, действующая на шарик со стороны нити, уравновесится силой кулоновского притяжения шарика отрицательно заряженным шариком:

kx		q2		,	(1)
			2
4		0 2l

- 55 -

откуда найдем заряд шарика:

q 4l	0 kx .		(2)

15

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти силу притяжения заряда q к бесконечной проводящей плоскости, находящейся на расстоянии h от этого заряда.

	q 2
Ответ: F		.
	16 0 h2

2. Точечный заряд q находится на расстоянии h от бесконечной проводящей плоскости. Найти напряженность поля в точке А, указанной на рисунке. Найти поверхностную плотность σ заряда на плоскости в этой точке.

Рис. 2.5.

Ответ: Е			2qh			,		0	Е			2qh
		2		2	32						2		2	32
	h		r							h		r

(Примечание: связь поверхностной плотности заряда проводника с напряженностью поля вблизи его поверхности можно доказать, используя метод зеркальных изображений).

3. Два одинаковых маленьких шарика подвесили на нитях равной длины, закрепленных в одной точке. Шарикам сообщили одинаковые одноименные заряды. После этого шарики погрузили в жидкий диэлектрик, плотность которого 1 . Плотность шариков 2 . Найти диэлектрическую проницаемость среды, если угол расхождения нитей в воздухе равен , а в жидкости .

		sin2				tg
Ответ:					2			2					.
		1			sin2
1										tg
		2			2					2

§ 3. Электроемкость. Энергия электрического поля

Электроемкость проводника

C dUdq .

Заряд конденсатора электроемкостью C при напряженности U : q CU .

16

Электроемкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов:

C	0 S	; C	2	0 l		; C	4	0 R1 R2	.
	d		ln	R2			R	R
				R1			2	1

При параллельном соединении конденсаторов электроемкость батареи:

C Ci ;

при последовательном соединении

C	1	.
	1

Ci

Энергия заряженного конденсатора

	CU 2		q2
W				.
	2		2C

Плотность энергии электрического поля

	0	E 2
		,
0		2

где E – напряженность поля.

Задачи с решениями

Задача 1.

Всхеме, показанной на рисунке, емкости

конденсаторов равны С1 = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ, С3 = 3 мкФ, С4 = 4 мкФ.

Рис. 3.1.

Напряжение между точками А и В равно U = 100 В. Найти напряжение U4 на конденсаторе C4, если до подключения напряжения U конденсаторы были не заряжены.

Решение.

Рис. 3.2.

1) Найдем общую электроемкость конденсаторов.

Так как конденсаторы С3 и С4 подключены последовательно, то

1	1			1	.	(1)
C34		C3		C4
						17

Следовательно, C34

C3C4

.

C3

C4

При параллельном соединении имеем

C234

C2

C34

C2 (C3

C4 )

C3C4

.

(2)

C3

C4

1

1

1

(3)

Cобщ

C1

C234

Cобщ

C1C234

C1 (C2 (C3

C4 )

C3C4 )

.

C1

C234

(C1

C2 )(C3 C4 ) C3C4

2) Найдем заряд на обкладках первого конденсатора.

U	q1
	Cобщ					(4)
q UC				UC1 (C2 (C3		C4 ) C3C4 )	.
		общ
1				(C1	C2 )(C3	C4 ) C3C4

3) Найдем разность потенциалов между точками О и В.

U

U

q1

OB

AO

C1

U (1

C2 (C3

C4 ) C3C4

)

(5)

(C1

C2 )(C3

C4 ) C3C4

U

C1 (C3

C4 )

(C1

C2 )(C3

C4 ) C3C4

С другой стороны,

q3

q3

q3 (C3

C4 )

,

(6)

OB

C3

C4

C3C4

где q3 - заряд на обкладках третьего и четвертого конденсаторов. Приравнивая выражения, получаем

	q3		UC1C3C4	.	(7)
		(C1	C2 )(C3 C4 ) C3C4

4) Найдем напряжение на четвертом конденсаторе.

U		q3		UC1C3	9,09B.	(8)
	4	C4		(C1 C2 )(C3 C4 ) C3C4

Задача 2. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от x1 до x2 , если при этом поддерживать неизменным:

а) заряд конденсатора, равный q;

18

б) напряжение на конденсаторе, равное U.

Решение:

а) Согласно закону сохранения энергии работа модулю изменения энергии электрического поля конденсатора.

Учитывая, что заряд поддерживается неизменным, запишем работу в следующем виде:

A	q2	1		1		,	(1)
	2		C1		C2

где электроемкость плоского воздушного конденсатора

	0 S
C	x .	(2)

Подставляя (2) в (1), находим работу

	q2
A			x2 x1 .	(3)
	2	0 S

б) При неизменном напряжении удобно использовать другое выражение для энергии поля, квадратичное по напряжению. Тогда для работы имеем выражение:

		U 2
	A			C1 C2 .	(4)
		2

Используя формулу (2), находим работу

		SU 2	x		x
A	0			2	1	.	(5)
		2x1 x2

Задача 3. Две прямоугольные пластины длины l и площади S расположены параллельно друг другу на расстоянии d. Пластины заряжены до разности потенциалов U. В пространство между пластинами втягивается диэлектрик с диэлектрической проницаемостью . Толщина диэлектрика равна d, его ширина равна ширине пластин, а длина больше l. Найти зависимость силы, действующей на диэлектрик со стороны поля, от расстояния x.

l

d

x

Рис. 3.3.

19

Решение:

Энергия конденсатора в случае, когда диэлектрик втянут на расстояние x внутрь конденсатора, равна

W1	C U 2		Q 2		(1)
	1	,
	2		2C1

где C1 – электроемкость конденсатора.

При частичном вдоль пластин заполнении конденсатора диэлектриком конденсатор можно рассматривать как систему параллельно соединенных конденсаторов с суммарной емкостью

C1

0 xS

0 l x S

0 S

1

1

x

. (2)

dl

dl

d

l

Заряд конденсатора равен

Q

0 S

U .

(3)

d

При изменении расстояния x на dx энергия изменится и станет равной

	W2		C U 2			Q	2			(4)
			2				,
			2		2C2
где изменившаяся электроемкость
C2	0 S	1	1			x		dx	.	(5)
	d						l

Работа силы F при изменении x на dx равна убыли энергии поля

	F dx W1				W2 .				(6)
Подставляя (1) – (5) в (6), получаем силу
F	0	SU 2			1		2 .		(7)
	2dl		1		1	x
						l

Задача 4. Определить энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной a в системе, показанной на рис.

+ q

+ q

+ q

+ q

Рис. 3.4.

Решение:

Энергия взаимодействия зарядов равна сумме

20