Законы электростатики

1

4

(1)

W

qi i ,

q j

2 i 1

3

где

i

- потенциал поля, созданного всеми зарядами, кроме i-го,

4

0 rj

j i

в точке расположения i-го заряда.

Используя формулу (1), находим искомую энергию:

W 4

1

q

2q

q

4

2

q2 (2)

2 4

0 a 4

0 2a

4

0 a

Задача

5.

Два небольших

металлических

шарика

радиусами R1 и R2

находятся в вакууме на расстоянии

r

R1, 2

и имеют некоторый

определенный суммарный заряд. При каком отношении q1 / q2 зарядов на шариках электрическая энергия системы будет минимальной? Какова при этом разность потенциалов между шариками?

Решение:

Электрическая энергия системы равна сумме собственных энергий

шариков W1				и W2	и энергии их взаимодействия W12:
W W		W		W	1		q		q			1	q	~	q		~ , (1)
								1		2	2					2
	1	2		12	2		1					2	1	2			1
где			q1, 2		- потенциалы шариков на их поверхности,													~		q1, 2	-
	1, 2
		4		0 R1,2														1, 2	4	0 r

потенциалы полей шариков на расстоянии r от центра.

Обозначив суммарный заряд шариков через q, представим заряд q2 = q – q1 и подставим в (1).

Рассмотрим энергию как функцию заряда q1 :

W	1			q2		q q 2		q q	q	. (2)
				1		1		1	1
	4	0 2R1				2R2			r

Энергия будет минимальна при выполнении условия:

W / q1

0 . С учетом того, что r

R1, 2

находим:

q1

q

R1

, q2

q

R2

,

(3)

R1

R2

R1

R2

откуда отношение зарядов равно

q1

R1

.

(4)

q2

R2

Легко убедиться в том, что вторая производная

2W

1

1

0,

q 2

R

R

2

1

1

21

т.е. энергия, действительно, принимает минимальное значение.

Задача 6. Сферическая оболочка заряжена равномерно с поверхностной плотностью . Воспользовавшись законом сохранения энергии, найти модуль электрической силы на единицу поверхности оболочки.

Решение:

Напряженность поля у оболочки равна

E		.	(1)

0

При увеличении радиуса оболочки на dr электрические силы совершат работу

dA F 4 r 2 dr ,	(2)
где F – электрическая сила, приложенная к единице площади оболочки.
Согласно закону сохранения	энергии, работа (2) равна энергии

электрического поля, заключенной в слое толщиной dr:

	dW	0 E 2	4 r 2 dr .	(3)
		2

Приравнивая dA и dW, получаем искомую силу:

		2
F			.
2		0

Задача 7. Конденсатор емкости C1 , заряженный до разности потенциалов U, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных незаряженных конденсаторов, емкости которых C2 и C3 . Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам?

Решение:

Начальный заряд первого конденсатора равен

q1 C1U .

(1)

После подключения батареи двух незаряженных конденсаторов заряд первого конденсатора перераспределится между конденсаторами так, чтобы напряжения на первом конденсаторе и батарее из двух последовательно

	соединенных конденсаторов были одинаковы:
		~	q2		q1 ,			(2)
		q1
			~		q2
			q1			,		(3)
			C1		Cб
	где емкость батареи
		Cб		C2C3			,	(4)
	~			C2	C3
		и q2 - заряды первого конденсатора и батареи после подключения.
	q1
								~	и заряд q ,
		Решая совместно уравнения (1)-(4), находим заряд q1

протекший по проводам:

22

~			C1		C2		C3				,	(5)
q1	q1
		C C	2		C C		3	C	C	3
	1				1			2
	~					U				.		(6)
q	q1 q1
			1			1		1

C1 C2 C3

Задача 8. Проводящий шар A радиуса R1 = 10 см зарядили до потенциала 1 = 2700 В и отключили от источника тока. После этого шар A соединили проволокой, емкостью которой можно пренебречь, с незаряженным проводящим шаром B радиуса R2 = 5 см. Шары находятся в воздухе. Определить: а) начальный заряд шара A; б) заряды и потенциалы шаров после соединения; в) энергию обоих шаров после соединения; г) энергию,

выделившуюся при соединении.

Решение:

Емкости шаров A и B:

C1 4	0	R1 , C2	4	0 R2 ,	(1)
где = 1.
Начальный заряд шара A равен:
q1	C1	1 4	0 R1	1 .	(2)

После соединения шаров происходит перераспределение заряда на шарах A и B так, чтобы потенциал шаров был одинаков:

							q1						q2					q2				,					(3)
										C1								C2
где q2 – заряд шара B после соединения.
Подставляя (1) в (3), получим
								q1					q2						R1				,				(4)
											q2								R2
откуда
				q2						q1				R2						.							(4.1)
													R				R
													1					2
Потенциал шаров после соединения равен
	q2					q1 R2																		R1		.	(5)
																		1
	C	2		R						R C				2									R		R
				1						2												1			2
Начальная энергия шара A равна
				2
	W				C1 1								2						R			2 .					(6)
																	0
		1		2														1				1
Энергия шаров после соединения
						q				2									2 R2
		W		1										0				1				1		.			(7)
				2									R1						R2

Энергия, выделившаяся при соединении, равна разности энергий (6) и (7):

23

W W			W	2		R	2	1	R1			. (8)
					0		1
	1					1			R1	R2
Подставляя числовые данные в равенства (1)-(8), получаем: q = 3 10-8 Кл;
			~												1
q2 = 10	-8			q1		q2 =				-8		Кл;	= 2 10	-3	В; W = 3 10	-5	Дж; W1	=
		Кл; q1								2 10
1 10-5 Дж.

Задача 9. Найти емкость системы одинаковых конденсаторов между точками

A и B.

C3

A

B

C1 C2

Рис. 3.5.

Решение:

Левые и правые обкладки первого и третьего конденсаторов соединены проводниками. Поэтому, первый и третий конденсаторы соединены параллельно между собой. При этом правая обкладка второго конденсатора соединяется проводником с левой обкладкой первого, и левая обкладка второго конденсатора соединяется с правой обкладкой третьего. Следовательно, второй конденсатор также параллельно соединен к первому и третьему.

Емкость системы параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей каждого из конденсаторов:

C C1 C2 C3 .

Задача 10. Найти емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса a, расстояние между центрами которых b, причем ba. Система находится в однородном диэлектрике с проницаемостью .

Решение:

Шарики находятся на большом расстоянии друг от друга. Следовательно, можно считать, что заряды распределяются по поверхности шариков почти равномерно. Пусть для определенности первый шарик заряжен положительно. Тогда второй шарик будет иметь отрицательный заряд.

Потенциал первого шарика равен

	q		q	.	(1)
1
	4 0 a		4 0b

Второй шарик имеет потенциал

	q		q	.	(2)
2
	4 0 a		4 0b
					24

Емкость системы шариков

C	q		2		0	ab	.	(3)
	1	2		b		a

При b a емкость равна

C 2 0 a .

(4)

Задачи для самостоятельного решения

1. Два конденсатора одинаковой емкости зарядили до напряжений U1 = 100 В и U2 = 200 В соответственно, а затем одноименно заряженные обкладки конденсаторов соединили попарно. Какое установится напряжение между обкладками?

Ответ: U	U1 U 2	= 150 В.
	2
2. Проводящий шар, находящийся в			воздухе, наэлектризован так, что
поверхностная плотность заряда равна			. На расстоянии l от поверхности

шара потенциал поля равен . Какова емкость шара?

2 2

Ответ: C 0

1 1		4	l	.
			0

3. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , как показано на рис. Площадь пластин конденсатора S. Определить емкость конденсатора.

l1

d		а)

l

б)

d1

l

Рис. 3.6.

25

Ответ: а) C				0 S	1		1	l1	,
				d				l
б) C		0		S
	d1		d d1

4. Четыре одинаковых точечных заряда q находятся в вершинах тетраэдра с ребром a. Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы

q

q

q

q

Рис. 3.7.

3q 2

Ответ: W 2 0 a .

ЛИТЕРАТУРА

1.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1979. 368 с. с илл.

2.Буховцев Б.В., Кривченков В.Д., Мякишев Г.Я., Сараева И.М. Сборник задач по элементарной физике. М.: Наука, 1974. 416 с. с илл.

26