IW_2_Math_Analysis

§ 2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1)Понятие производной. Производная функции x n .

2)Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

3)Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.

4)Геометрический смысл дифференциала.

5)Непрерывность дифференцируемой функции.

6)Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.

7)Производная сложной функции.

8)Инвариантность формы дифференциала.

9)Производная обратной функции.

10)Производные обратных тригонометрических функций.

11)Гиперболические функции, их производные.

12)Производные высших порядков. Формула Лейбница.

13) Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого.

13)Дифференцирование функций, заданных параметрически.

$ 2.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Исходя из определения производной, доказать, что:

а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая;

б) производной четной дифференцируемой функции есть функция нечетная;

в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.

2)	Доказать, что если функция f (x)	дифференцируема в точке х = 0 и f (0) , то
	f '	(0) lim	f (x)	.
		x 0	x
3)	Доказать, что производная f ' (0) не существует, если

x sin(1/ x), x 0 f (x) 0, x 0

4) Доказать, что производная от функции

1

x2 sin(1/ x), x 0 f (x)

0, x 0

разрывна в точке х = 0.

5) Доказать приближенную формулу

a2 z a z /(2a), a 0, z a

6) Что можно сказать о дифференцируемости суммы f (x) g(x) в точке x x0 , если в этой точке:

а) функция f (x) дифференцируема, а функция g(x) недифференцируема;

б) обе функции f (x) и g(x) недифференцируемы.

7) Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 и f (x0 ) 0 , а функция

g(x) недифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение f (x)g(x) является

недифференцируемым в точке x0

8) Что можно сказать о дифференцируемости произведения f (x)g(x) в

предположениях задачи 6?

Рассмотреть примеры:

f (x) x,

g(x)

x

, x0 0

f (x) x,

sin(1/ x), x 0,

g(x)

0, x 0, x0 0;

f (x)

x

,

g(x)

x

, x0 0;

f (x)

x

,

g(x)

x

1, x0 0.

9) Найти

f ' (0) , если f (x) x(x 1)...(x 1234567).

10) Выразить дифференциал d 3 y от сложной функции y y(u(x)) через производные

от функции y(u) и дифференциалы от функции u(x) .

10)Пусть y(x) и x( y) дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить x через y и y .

Расчетные задания

Дифференцирование. Задача 1

2

Понятие производной

Постановка задачи. Исходя из определения, найти производную функции в точке .

План решения.

1. По определению

.

Замечание. При вычислении предела , но .

2. Вычисляем предел

.

3. Если предел существует и равен , то , если предел не существует,

то не существует.

Задача 1. Исходя из определения производной, найти .

Исходя из определения производной, имеем:

3

Т.к. хотя	при	не определен, но является конечной величиной. Т.е.
заданная функция в точке		имеет производную равную единице:	.

Задача 1. Исходя из определения производной, найти f 0 .

		x2 sin	2			x 0;
tg x3					,
1.1. f x			x
	x	0.
0,

1.2.

		1
arctg x cos				,
1.3. f x		5x
	x 0.
0,

		1			2	x, x 0;
arcsin x2 cos
f x		9x			3
	x 0.
0,

x 0;

1.4.

		3
sin x sin				,
1.5. f x		x
	x 0.
0,

		sin		1			x 0;
ln 1			x3 sin			,
f x				x
	x 0.
0,

x 0;

								1.6.
					x2 sin	1		1,	x 0;
	1+ln
				1
	f x					x
			x 0.
	0,

4

1.7. f

1.9. f

	sin	5
		ex2 sin		1			x,		x 0;
			x
	x
		x 0.
	0,
										1.8. f x
				3				1
	arctg x3 x 2 sin								,	x 0;
	x							3x
		x 0.
	0,

		4		x	2
x2 cos						,	x 0;
		3x	2
	x 0.
0,

		5
sin x cos			, x 0;
1.10. f x		x
	x 0.
0,

		6
x arcsin x2 sin				,
1.11. f x		x
	x 0.
0,

				7
arctgx sin						,	x 0;
1.13. f x					x
		0.
0, x
	x2 cos		1				x 0;
2x2					,
f x			9x
	x 0.
0,

x 0;

1.12.

				1 x ,
tg 2		x2 cos 1 8 x			x 0;
f x
	x 0.
0,

1.14.

5

			11				x 0;
x2 cos2						,
1.15. f x					x		1.16.
		0.
0, x
	x2 cos				1		x 0;
2x2						,
f x					x
	x 0.
0,

ln cos x

1

,

x 0;

f x

6x x sin

,

x 0;

1.17.

f x

x

1.18.

x

x 0.

x 0.

0,

0,

ex2

cos x

xsin

5

, x 0; 1.20.

x

1,

x 0;

1.19.

f x

x

f x e

x 0.

x 0.

0,

0,

x2 sin

2

x

1

2x,

x 0;

1.21.

f x 3

x 0.

0,

3x2 cos

2

1,

x 0;

1.22. f x

1+ln 1

x

x 0.

0,

1.23. f x

1.25. f x

		xsin	3
			5 x 1,
	e
			x 0.
	0,
			3x
	arctg
			2
			x 0.
	0,

										tgx			sin x
x 0;				1.24. f x				2				2			,	x 0;
												x2
												x 0.
					0,
x2 sin	1		, x	0;
	x
							3				2
							2
					sin	x			sin
											x
													1	x2 ,		x 0;
			1.26.	f x e
						x			0.
				0,
			6

					2x3 sin			5				1 x,					x 0;
	3		1
1.27.	f x							x
					x 0.
	0,
																			2		x			1
																		x		e			sin	x2	,
																	1.28. f x
																					x 0.
																		0,
		ln 1 2x				2	x				3
															,	x 0;
1.29.	f x				x
					x 0.
	0,
																	cos x cos3x
																										,
																					x
																	1.30. f x
																			x		0.
																	0,
									1
	1		cos xsin											,		x 0;
1.31.	f x								x
					x 0.
	0,

Дифференцирование. Задача 2

Уравнение касательной и нормали

x 0;

x 0;

Постановка задачи. Составить уравнение касательной и/или нормали к кривой в точке с абсциссой .

План решения. Если функция в точке имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид

, (1)

где и .

Если , то уравнение касательной имеет вид .

Если , то уравнение нормали имеет вид

7

. (2)

Если , то уравнение нормали имеет вид .

1.Находим значение .

2.Находим производную .

3.Подставляя найденные значения и в (1) и/или (2), получаем уравнения касательной и/или нормали.

Задача 2. Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой .

Уравнение нормали:	.
Имеем:
	.

, .

Получаем уравнение нормали:

или .

Составить уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой .

Уравнение касательной: .

Имеем:

8

.

, .

Получаем уравнение касательной:

или .

Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой x0 .

2.1. y 4x x2													4,			x0 2.
2.2. y 2x2				3x 1,												x	2.
																0
2.3. y x x3 ,											x 1.
													0
2.4. y x2			8							x 32,							x	4.
																	0
2.5. y x						x3 ,							x		1.			2.6. y 3 x2			20,	x	8.
													0									0
	1
					x
2.7. y									,				x 4.					2.8. y 84		x 70,		x	16.
1					x								0									0
2.9. y 2x2				3x 1,												x	1.
																0
2.10. y x2				3x 6												x2 ,		x0 3.
2.11. y			x 33										x,			x	64.
																0
2.12. y x3				2									x3			2 ,		x0 2.
2.13. y 2x2 3,														x	1.
													0
2.14. y		x29		6							,			x		1.
		x4 1											0
2.15. y 2x							1			,			x		1.
							x						0
																		9

2.16. y 2

x8 2

3 x4

1 , x0

1.

2.17. y

x5

1

,

x

1.

2.18. y

x16

9

, x

1.

x4 1

0

1

5x2

0

2.19. y 3 3

2

,

x0 1.

2.20. y 1 3x 2 ,

x0 2.

x

x

2.21. y x x2 1 ,

x0 2.

2.22. y x2 3x 3

3,

x0 3.

2.23. y 2x x2

1 ,

x0

1.

2.24. y 2 3

3

,

x0 1.

x

x

2.25. y

1 3x2

, x

1.

3 x2

0

2.26. y 14

x 153

x 2,

x 1.

0

2.27. y 34

x

x,

x 1.

0

2.28. y 3x 2x3

3,

x0 1.

2.29. y x2

10 3,

x

2.

0

2.30. y x2 2x 3

4,

x0 4.

2.31. y 63

x 164

x 3,

x 1.

0

Дифференцирование. Задача 3

Дифференциал

Постановка задачи. Найти дифференциал функции .

План решения.

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и

обозначается (или ):

10