Методичке_Миэм

t

Pm+1(t) = Pm (t) + ∫P(t −τ)am (τ)dτ,

0

-101-

надежного») переключателя, то расчет вероятности безотказной работы ТС можно произвести по следующей рекуррентной формуле:

(6.10)

где Pm+1(t), Pm(t) – вероятность безотказной работы резервированной ТС кратности (m+1) и m соответственно;

P(t–τ) – вероятность безотказной работы основной цепи (или элемента) ТС в течение времени (t–τ);

am(τ) – частота отказов резервированной ТС кратности m в момент времени τ.

Рекуррентная формула (6.10) позволяет получать расчетные соотношения для ТС любой кратности резервирования. При этом для получения формул расчета надежности необходимо выполнить интегрирование в правой части (6.10), подставив вместо P(t–τ) и am(τ) их значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием резерва.

Рис. 6.4. Резервирование замещением: а – общее; б – раздельное.

Расчетно-логические схемы общего и раздельного резервирования замещением представлены на рис. (6.4.а.) и (6.4.б.).

-102-

При общем резервировании замещением и нагруженном резерве (рис. 6.4.а.) для подсчета PТС(t) и ТТСср обычно используют выражения (6.3)÷(6.5).

При ненагруженном резерве и экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы вероятность PТС(t) и средняя наработка ТТСср определяются из следующих выражений:

		−λ t	m	(λ t )2
	PТС (t) = e	0	∑	0	;
				i!
			i =0		(6.11)
	TТСср =Tср0 (m +1),				(6.12)

где λ0,

Тср0 – интенсивность отказов и средняя наработка до отказа

основной цепи ТС.

При облегченном резерве и экспоненциальном распределении

соответственно имеем:

m

i

PТС

(t) = e−λ0t

1+

∑

ai

(1−e−λi t ) ;

(6.13)

i =1

i!

1

m

1

TТСср =

∑

,

λ

1+ iK

(6.14)

0

i =0

i =1

λ0

λ

где

K =

ai = ∏ j + λ

;

1

j =0

1

λ

;

0

λ1 – интенсивность отказов резервной цепи до замещения.

В случае раздельного резервирования замещением (рис. 6.4.б.), как уже говорилось, каждый элемент основной цепи O1,O2,…,On имеет свои резервные элементы Pi и соответственно свою контактность резервирования mi, которая в частном случае может быть и одинаковой для всех основных элементов. Следовательно, объединяя в отдельную группу каждый элемент основной цепи вместе со своими резервными элементами, мы получаем последовательное соединение отдельных резервированных групп, которые в совокупности и составляют резервированную ТС в целом. Таким образом, расчет надежности каждой резервированной группы элементов можно произвести по известным уже формулам общего резервирования замещением:

-для нагруженного резерва использовать формулы (6.3)÷(6.5);

-для ненагруженного – (6.11)÷(6.12);

-для облегченного – (6.13), (6.14).

Для определения ПН резервированных ТС в целом расчет ведется в дальнейшем по известной формуле для последовательного соединения элементов (6.1). Отсюда вероятность безотказной работы ТС с раздельным резервированием замещением может быть определена из выражения:

n
PТС (t) = ∏Pri (t),	(6.15)
i =1

где Pri(t) – вероятность безотказной работы групп, резервированных по способу замещения элементов основной цепи ТС i-го типа;

Pri(t) вычисляется по формулам (6.3)÷(6.5), (6.11)÷(6.14).

Все приведенные выше расчетные соотношения были получены, как указывалось, для случая «идеального» переключателя. На практике все

-103-

переключатели безусловно имеют отказы, при чем самого различного характера. Среди них следует отметить:

1)несрабатывание при отказе основной аппаратуры, в результате чего резервный элемент не будет включен взамен отказавшего основного, что приведет к отказу резервной группы;

2)ложное срабатывание, в результате чего произойдет переключение на резерв при исправной основной аппаратуре, что приведет к уменьшению времени до отказа группы в целом;

3)отказы, которые выводят из строя резервную группу в целом.

Учет всех этих обстоятельств существенно усложняет определение ПН резервной группы и в данном параграфе полностью приводиться не будет. Здесь мы рассмотрим приближенное решение этой задачи, учитывая только отказы переключателя первой и третьей групп из вышеуказанных. Схема для такого случая расчета надежности приведена на рис. 6.5. Элементы переключателя, отказы которых приводят к отказу резервной группы в целом, условно выделяются в отдельный блок ОП (общие элементы переключателя), включаемый последовательно с резервной группой.

Рис. 6.5. Расчетно-логическая схема резервированной группы с переключением.

Каждая ветвь резервной группы состоит из последовательно соединенных основного либо резервного элемента 1,2,3,… и элементов переключателя П, которые управляет данной ветвью, и отказы которых выводят из строя данную ветвь. Вероятность безотказной работы резервной группы в этом случае в течение времени с учетом ненадежности переключателя и при указанных выше допущениях может быть определена по следующей формуле:

	n
PРГ (t) = 1	−∏[1−Pi (t) PiП (t)] PОП (t),		(6.16)
	i =1

где Pi(t) – вероятность безотказной работы основного либо резервного элемента;

PiП(t) – вероятность безотказной работы совокупности элементов переключателя, которые осуществляют включение i-й ветви резервной группы;

PОП(t) – вероятность безотказной работы совокупности элементов переключателя, отказы которых приводят к отказу резервной группы в целом.

-104-

6.3.5. Резервирование с дробной кратностью

Расчетно-логическая схема одного из вариантов общего резервирования с постоянно включенным резервом и дробной кратностью приведена на рис.6.6.

Рис. 6.6. Дробное резервирование.

В рассматриваемой схеме используется n основных и (l–n) резервных элементов (I – общее число основных и резервных элементов).

При этом (l–n)>n и, следовательно, мы имеем дробную кратность резервирования равную m=(l–n)/n.

На основании ранее проведенных для других видов резервирование рассуждений можно получить выражения для вероятности безотказной работы и средней наработки на отказ для рассматриваемого случая общего резервирование ТС с дробной кратностью и постоянно включенным резервом при экспоненциальном распределении:

P (t) = l −n Ci P (l −i )(t)						i	(−1)j C j P j (t);
ТС	∑ l				∑		i	о
	i =0					j =0		(6.17)
	1	l −n		1
TТСср =		∑			,
	λ		n	+ i				(6.18)
	0	i =0

где P0(t) – вероятность безотказной работы основного или любого резервного элемента.

Рассмотрим теперь методы расчета надежности ТС при резервировании замещением с дробной кратностью.

Расчетно-логическая схема для такого типа резервирования при нагруженном резерве приведена на рис. 6.7.

Резервированная ТС состоит из n основных однотипных и (l–n) резервных элементов, находящихся в нагруженном резерве (n>(l–n)). При отказе одного из основных элементов на его место без перерыва в работе включается один из резервных. Причем резервные элементы также могут

-105-

отказывать. Таких замещений, не нарушающих работу ТС в целом, может быть не более (l–n).

Средняя наработка до отказа такой ТС в предположении абсолютно надежных переключающих устройств и равнонадежных элементов, каждый из которых имеет одинаковую интенсивность отказов λ0, может быть определена по формуле:

	=	1	1		+	1		+K+	1
T										,
		λ				n +1			l
ТСср			n								(6.19)
		0

где l – общее число основных и резервных элементов ТС.

Рис. 6.7. Резервирование замещением:

а – с дробной кратностью; б – мажоритарное.

Вероятность безотказной работы резервированной ТС в течение времени t для данного случая (рис. 6.7.а.) определяется из следующего выражения:

l −n	l −i
PТС (t) = ∑Cli [1−Pо(t)]i [Pо(t)] .		(6.20)
i =0

Рассмотрим частный случай резервирования с дробной кратностью, а именно мажоритарное резервирование, которое часто используется в устройствах дискретного действия (рис. 6.7.б.).

-106-

При мажоритарном резервировании вместо одного элемента (канала) включается три идентичных элемента (канала), выходы которых подаются на мажоритарный орган M (элемент приоритета). Если все элементы такой резервированной группы исправны, то на вход M поступают три одинаковых сигнала и такой же сигнал поступает во внешнюю цепь с выхода M. Если один из трех резервированных элементов отказал, то на вход M поступают два одинаковых сигнала (истинных) и один сигнал ложный. На выходе M будет сигнал, совпадающий с большинством совпадающих сигналов на его входе, т.е. мажоритарный орган осуществляет операцию определения приоритета или выбора по большинству. Следовательно, условием безотказной работы является безотказная работа любых двух элементов из трех и мажоритарного органа в течение заданного времени t.

Применяя выражение (6.20.) для n=2 и (l–n)=1 с учетом вероятности безотказной работы в течение времени мажоритарного органа PM(t), получим формулу для определения вероятности безотказной работы ТС с мажоритарным резервированием:

PТС (t) = PM (t) [3Pо2 (t)]−2Pо3 (t).	(6.21)
В случае ненагруженного резерва	при резервировании с дробной

кратностью (рис. 6.7.а.), (заметим, что такой вид резервирования называют часто скользящим) отказ одного из n основных однотипных элементов приводят к включению на его место одного из (l–n) резервных. При этом по условию элементы, находящиеся в резерве, отказывать не могут до их включения на место отказавшего основного элемента.

Исходя из этого условия и учитывая, что в процессе нормального функционирования ТС в работе находится постоянно n элементов, интенсивность отказов каждого из которых равна λ0, средняя наработка до отказа и вероятность безотказной работы в целом за время t при экспоненциальном распределении могут определяться из следующих выражений:

1

l −n

+1

l −n

+1

T

=

=T

ср0

;

λ

n

n

ТСср

(6.22)

0

(nλ t )i

l −n

l −n

λt

PТС (t) = e−nλt ∑

0

= e−λt ∑

,

i!

i!

(6.23)

i =0

i =0

где Tср0 – средняя наработка на отказ основного или резервного элемента;

λ=nλ0 – интенсивность отказов основной цепи ТС.

6.4.Расчет надежности ТС с информационной избыточностью

Вустройствах цифровой вычислительной техники, системах телемеханики и т.д. в настоящее время широко используются так называемые самокорректирующиеся коды, которые позволяют автоматически обнаруживать и исправлять ошибки в одном или нескольких разрядах, появляющиеся в результате отказов элементов или сбоев. При этом отказы или сбои не нарушают нормального функционирования ТС. Понятно, что устройства, защищенные самокорректирующимися кодами, обладают информационной избыточностью.

-107-

Анализ надежности таких устройств с информационной избыточностью обычно проводится двумя путями: приближенным и уточненным.

При приближенном анализе надежности ТС разделяется на две части: защищенную кодом от отказов и сбоев и незащищенную. Незащищенная кодом часть – это совокупность элементов, для которых появление хотя бы одного отказа или сбоя приводит к искажению информации на выходе всего устройства в целом. Для защищенной части в зависимости от применяемого кода определяется допустимое число одновременно исправляемых ошибок K

(обычно K=1) (рис.6.8.а.).

Пусть суммарная интенсивность отказов и сбоев незащищенной части равна λ1, а защищенной – λ2.

Рис. 6.8. ТС, защищенные самокорректирующимся кодом (приближенный расчет надежности).

Сформулируем теперь условие безотказной работы ТС в течение времени t:

-в незащищенной части устройства за время t не должно произойти ни одного отказа или сбоя;

-в защищенной части за то же время может произойти не более K

отказов и сбоев в сумме.

Вероятность выполнения этого условия и дает вероятность безотказной работы ТС с информационной избыточностью за время t:

	−λ t	k	(λ	t )i		−λ t
PТС (t) = e	1	∑	2		e	2	.
				i!
		i =0					(6.24)
Из условия		безотказной					работы и рассмотрения выражения (6.24)

следует, что ТС, защищенные кодом, по надежности эквивалентны последовательному соединению незащищенной части с K-кратно

-108-

резервированной (ненагруженный резерв) защищенной частью с идеально надежным переключателем (рис. 6.8.б.).

Уточненный анализ надежности позволяет учесть структуру ТС, защищенную самокорректирующимся кодом. В ряде случаев защищенная часть ТС может быть разбита на (n+N) независимых линеек или разрядов (рис. 6.9.а.). При этом работоспособность защищенной части обеспечивается отсутствием искажения информации в n линейках или, другими словами, допускается одновременный отказ N любых линеек (либо одновременное появление сбоя в N любых линейках).

Рис. 6.9. ТС, защищенные самокорректирующимся кодом (уточнена расчет надежности).

Сформулируем условие работоспособности ТС в течение t для этого случая. В незащищенной части устройства за время t не должно произойти ни одного отказа и сбоя. В защищенной части за время t могут отказать (появиться сбои) не более N линеек из (n+N) линеек. Отсюда вероятность безотказной работы ТС за время t будет определяться следующим выражением:

	N
PТС (t) = e−λ1 t ∑Cni +N P n+N−i (t)[1−P(t)]−i ,
	i =1		(6.25)
		λ t
	P(t) = exp−	2
где		n +N – вероятность безотказной и бессбойной

работы одной линейки защищенной части ТС за время t.

-109-

Из условия безотказной работы и вида выражения (6.25) следует, что ТС защищенные кодом, по надежности эквивалентны последовательному соединению незащищенной части с резервированной группой, составленной из n основных и N резервных (нагруженный резерв) линеек, т.е. группе со скользящим нагруженным резервом с абсолютно надежным переключателем

(рис.6.8.б.).

6.5. Расчет надежности ТС с временным резервированием

Использование временной избыточности наряду с рассмотренными уже структурной и информационной является также эффективным способом повышения надежности ТС.

При наличии временной избыточности на выполнение ТС какой-либо работы отводится время, заведомо большее, чем минимально необходимое. В

этом случае возможны два варианта использования аппаратуры:

1.когда выполненный объем работы при наступлении отказа обесценивается;

2.когда может происходить накопление работы, т.е. выполненный объем работы при наступлении отказа не обесценивается.

Рассмотрим более подробно первый вариант. Пусть отказ аппаратуры обесценивает работу, выполненную ею до момента наступления отказа. В этом случае работа будет все-таки выполнена в полном объеме, если после отказа произойдет восстановление аппаратуры и оставшегося времени будет достаточно чтобы, начав выполнение работы с самого начала, завершить ее в установленное время. При этом, естественно, можно допустить появление нескольких отказов, после каждого из которых аппаратура восстанавливается и каждый раз работа начинается с начала, и так до тех пор, пока работа не будет все-таки выполнена в полном объеме либо не будет исчерпан ресурс времени.

В качестве характеристик надежности аппаратуры с временной избыточностью целесообразно выбрать следующие:

-вероятность P(t,V) выполнения за заданное время t работы объемом V (при чем объем работы измеряется минимально необходимой продолжительностью ее выполнения при условии отсутствия отказов аппаратуры, а поскольку имеет место временная избыточность, то

V<t);

-среднее время Tt,V, затрачиваемое на выполнение работы объемом V на заданном промежутке времени t.

Для лучшего понимания изложенного рассмотрим определение указанных характеристик на следующем примере. Пусть работа, которая должна быть выполнена на аппаратуре, имеет объем (продолжительность) V. При этом интервал V укладывается в промежуток t целое число раз:

n = tV .

Проверка исправности аппаратуры происходит в конце промежутка времени V. Если первая проверка установит отсутствие отказа, то работа считается успешно завершенной. В противном случае аппаратура восстанавливается (для простоты будем считать, что мгновенно и с вероятностью P(0)=1), включается, и работа начинает выполняться с начала, после чего следует вторая проверка и т.д.

-110-

В соответствии с таким режимом работы может быть построен следующий ряд распределения:

ti	V	2V	……	nV
Pi	p	(1 – p)p	……	(1 – p)n–1p

где ti – возможные значения времени выполнения работы (i=1,2,…,n); Pi – вероятность выполнения работы за время ti;

P=P(V) – вероятность безотказной работы аппаратуры в течение промежутка времени V.

Поскольку работа может быть выполнена за время V, либо за время 2V и т.д., причем события tр=ti (tр – случайное время выполнения работы) являются событиями несовместимыми, то, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

P(t,V ) = p + (1− p)p +K+ (1− p)n−1 p.

Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии, окончательно получим:

P(t,V ) =1−(1− p)n .	(6.26)
Здесь следует подчеркнуть, что полученный	результат совпадает с

формулой для нагруженного (n–1)-кратного резерва. Однако в данном случае необходимая надежность обеспечивается не дополнительным включением резервных элементов, а за счет выделения дополнительно времени на выполнение работы одним аппаратом.

Среднее время, затрачиваемое на выполнение работы объемом V на заданном промежутке времени t легко может быть определено, как математическое ожидание случайной величины tр – случайного времени

выполнения работы – и без вывода в окончательном виде равно:
T	=V	1−(1− p)n (1+ np)	.
t,V		p		(6.27)

____________________________________________

Вопросы для самоконтроля:

1.Перечислите основные виды резервирования. Дайте их определения.

2.Каковы основные виды структурного резервирования?

3.Проанализируйте особенности пассивного и активного резервирования.

4.Чем отличается ненагруженный резерв от постоянного?

5.В чем состоит отличие нагруженного резерва от облегченного, резервирования с целой кратностью от резервирования с дробной кратностью?

6.Проведите на примере расчет надежности ТС со скользящим резервирование.

7.Поясните на примере особенности мажоритарного резервирования, его достоинства и недостатки.

8.Приведите основные отличительные черты приближенного и уточненного расчета надежности ТС с информационной избыточностью.