Теплопроводность через цилиндрическую однослойную стенку

Любая практическая задача теплообмена в итоге сводится к вычислению теплового потока или определения температурного поля.

Для определения температурного поля без внутренних источников теплоты используется дифференциальное уравнение теплопроводности:

, (8)

где – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры в теле,м²/с;с_р– удельная массовая изобарная теплоемкость,Дж/(кг.К);– плотность,кг/м³;– оператор Лапласа.

В цилиндрических координатах уравнение (8) имеет вид

, (9)

где – радиус-вектор;– угол наклона радиуса-вектора,z– вертикальная координата.

Для стационарного температурного поля в однослойной цилиндрической стенке (,и)при λ = idem дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

. (10)

Для решения дифференциального уравнения (10) введем новую переменную , тогда уравнение (10) запишется в виде

. (11)

После интегрирования дифференциального уравнения (11), получается

. (12)

Потенцируя выражение (12) и переходя к первоначальной переменной t, получаем

. (13)

Уравнение стационарного температурного поля в цилиндрической однослойной стенке получается после интегрирования выражения (13)

. (14)

Постоянные интегрирования С₁иС₂определяются из граничных условийIрода:

при r = r₁ t = t_c1; r = r₂ t = t_c2;(15)

, . (16)

Решение уравнений (16) позволяет найти постоянные интегрирования

,(17)

После подставки полученных значений С₁иС₂в уравнение (14), окончательно получается уравнение стационарного одномерного стационарного температурного поля в цилиндрической однослойной стенке (рис. 2):

, (18)

где t_c1, t_c2– температуры на внутренней и наружной поверхностях цилиндрической стенки;r₁, r₂– внутренний и наружный радиусы;r– текущий радиус (r₁  r r₂).

Полученное выражение температурного поля представляет собой уравнение логарифмической кривой.

Рис. 2. Стационарное температурное поле в цилиндрической однослойной стенке

Так как температура в рассматриваемом случае изменяется только в зависимости от текущего радиуса, то температурный градиент с соотношений (13) и (17) определяется следующем образом:

. (19)

Тепловой поток, передаваемый теплопроводностью через цилиндрическую однослойную стенку, определяется по закону Фурье (5) с учетом выражения температурного градиента (19) и площади поверхности (F = 2πrl) теплообмена:

=, (20)

Тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки l, называется линейной плотностью теплового потока.

,Вm/м(21)

Значения теплового потока Qи линейной плотности теплового потокаq_lне меняются во времени и по толщине стенки.

Формулы для определения теплового потока (20) и линейного теплового потока (21) можно представить в виде:

Q=,(22)

где R=,R_l=R/l − полное и удельное линейные термические сопротивления теплопроводности однослойной цилиндрической стенки.

Из соотношений (22) видно, что при стационарной теплопроводности перепад температур на цилиндрической стенке прямо пропорционален термическому сопротивлению и обратно пропорционален величине коэффициента теплопроводности.