- •2008Г. Тезисы к работе: «Решебник к задачам экзаменационных билетов по геометрии для классов с углубленным изучением математики за курс основной средней школы».
- •Билет №1.
- •Билет №2.
- •Билет №3.
- •Билет №4.
- •Билет №5.
- •Билет №6.
- •Билет №7.
- •Билет №8.
- •Билет №9.
- •Билет №10.
- •Билет №11.
- •Билет №12.
- •Билет №14.
- •X – искомый отрезок
- •Билет №15.
- •Билет №16.
- •Билет №17.
- •Билет №18.
- •Билет №19.
- •Билет №20.
- •Билет №21.
- •Билет №22.
- •Билет №23.
- •Билет №24.
- •2008Г. Тезисы к работе Мельниченко Анны: «Решебник к задачам экзаменационных билетов по геометрии для классов с углубленным изучением математики за курс основной средней школы».
Билет №11.
Задача №1. Центр описанной около треугольника окружности симметричен центру вписанной окружности относительно одной из сторон треугольника. Найти углы этого треугольника.
Дано:, окр.(О;R) – описанная, окр.(J;r) – вписанная.
Решение.
Т.к. цетры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно стороны треугольника, то центр описанной окружности лежит вне - тупоугольный
Заметим: J– центр вписанной окружности и О – центр описанной окружности лежат на диаметре. Т.к. диаметр перпендикулярен хорде, то- медианаи, значит,- равнобедренный.
Дополнительные построения: - биссектрисыи
.
Дополнительное построение: .
=(, т.к.JиO– симметричны относительно М,- общая). Значит.
AK– диаметр, т.к. проходит через центр окружности,
Ответ:.
Задача №2. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М такая, что АМ=АС, а на стороне ВС – точка К такая, что ВК=. В каком отношении отрезок ВМ делит отрезок АК?
Дано:,, АМ=АС,, ВК=.
Решение.
1) Проведем через вершину А прямую, параллельную BC.
Пусть
2) (т.к.)
3) (по двум углам), тогда
Ответ:
Билет №12.
Задача №1. Длины диагоналей ромба пропорциональны числам 3 и 4, его сторона равна 20 см. Найти: а) длины диагоналей; б) радиус окружности, вписанной в ромб.
Дано:ABCD– ромб,,
Решение.
А) ABCD– ромб, значити
, т.е.
см
см
см, тогдасм
Б) ABCD– описанный
(см2)
(см)
Ответ:;см
Задача №2. Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 и 18 см, а боковая сторона равна средней линии.
Дано:ABCD– равнобедренная трапеция,
см, см,MN– средняя линия,
Решение.
Т.к. MN– средняя линия, то
Т.к. ABCD– равнобедренная, то(см)
: по теореме Пифагора:(см)
(см2)
Ответ:(см2)
Билет №13.
Задача №1. В равнобедренном треугольнике АВС АС=b, AB=BC=a, AN и СМ – биссектрисы углов А и С. Найти длину отрезка MN.
Дано:,,,ANиMC– биссектрисыи
Решение.
1) Пусть , тогда
CM– биссектриса, откуда
2) С другой стороны (- общий,)
Ответ:
Задача №2. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5 см и 12 см точкой касания этого треугольника со вписанной в него окружностью. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса его меньшего угла?
Дано:- прямоугольный,BK– биссектриса, окр.(О;r),
E,K,M– точки касания,см,см
Решение.
Пусть , тогда,,
По теореме Пифагора:
- не удовлетворяет условию
Итак, см,см.
По свойству биссектрисы угла:
Ответ:
Билет №14.
Задача №1. Постройте отрезок длины, гдеa >b, если a и b – длины двух отрезков.
Дано: отрезкиaиb
Построение.
1)
2)
3)
X – искомый отрезок
Задача №2. Постройте треугольник по трём точкам касания его сторон с вписанной в треугольник окружностью.
Дано: точкиA,B,C.
Построить:, гдеA,B,C–
точки касания сторон с вписанной окружностью.
Построение:
1) Соединим точки A,B,C
2) OA1,OB1,OC1– серединные
перпендикуляры для
3) Построим окружность с центром
в точке О и радиусом OA
4) Строим EF,DE,DF, перпендикулярные
радиусам окружности
5) - искомый