4.Функции n-переменных.

Если каждой точки М из множ. {М} точек n-мерного евклидового пространства Rⁿ ставятся в соответствие по известному закону некоторое число U, то говорят ,что на множ. {М} задана функция U=f(М). Множ. {М} наз. областью задания функции U=f(М). число U соотв. данной точки М из множ. {М} наз. частным значениям функции в точке М.Совокупность всех частных значений функции наз. множ .значений этой функции т.к. точка М(х₁х₂…хn) то для функции U=f(М) используется обозначение U=f(х₁х₂…хn). Функцию n-переменных можно рассматривать как отображение некоторого множ. в простр. Rⁿ в некоторое множ. действит. чисел

5.Сходимость в пространтсве Rn.

ОРП Последовательность {Мn} точек евклидового пространства наз. сходящейся если сущ. точка А этого пространства такая, что для любого ε >0 можно указать N-номер что при всех n>N выполняется неравенство: ρ(МnА)<ε, при этом точка А наз. пределом последоват. {Мn} и обозначаетсяОРП последоват. {Мn} точек пространства наз. фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого ε >0 сущ. N, что при n>N и любого m≥0 выполняется неравенство ρ(Mn)<ε ОРП для того чтобы последоват. {Мn} точек пространства была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

6.Предел функции нескольких переменных.

По-Гейне: число в наз. пределом функции U=f(М) в точке А, если для любой сходящийся к А последоват. {} точек множ.{М} все элементы, которой отлич. от А соответствует числовая послед. значений функции {f()} сходящейся к числу В. по-Коши : число в наз. пределом функции U=f(М) в точке А, если для любогоε >0 найдется отвечающее ему число δ>0 такое, что для любой точки М из множ.{М} удовлетвор. условию 0< ρ(МnА)<δ выполнялось неравенство / f(М)-в/<δ

7.Критерий Коши существования предела функции нескольких переменных. Опр-е(предел ф-ции в т.А по Коши): Число b наз-ся пределом ф-ции u=f(M) в т.А если для любого ε>0 найдется отвечающее ему число δ>0 такое что для любой т.М из мн-ва удовл. условию 0<ρ(M,A)< δ вып. нер-во: Опр-е: Говорят, что ф-ция u=f(M) удовл. условию Коши в т. М=А, если для любого ε>0 найдется δ= δ(ε) >0, такое что для любых точек М’,M’’ из множества задания ф-ции удовл. условиям: 0<ρ(M’,A)< δ, 0<ρ(M”,A)< δ. Справедливо нер-во Теорема(Критерий Коши): Для того чтобы ф-ция u=f(M) имела конечны предел в т. М=А необходимо и достаточно чтобы эта ф-ция удовлетворяла в т. М=А условию Коши.

8.Повторные пределы.

Пусть функция U=f(х,у) задана в некоторой прямоугольной плоскости /х-х₀/<α₁ ,/у-у₀/<α₂ в точке М₀( х₀, у₀), за искл. быть может самой точки х₀. Пусть для каждого фиксированного у удовлетвор. условию 0</у-у₀/<d₂ сущ. одной переменой х точки х=х₀ сущ. . Пусть сущ. предел функции) в точке у=у₀ т.е. В этом случае говорят, что сущ. повторный предел для функции U=f(х,у) в точке М₀ который обозначается . Аналогично

9.Непрерывность функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию U=f(М)= f(х₁х₂..хn) заданной на некотором множ. {М} пространства Rⁿ. Пусть А-некоторая точка пространства Rⁿ принадлеж. множ. {М} и такая, что в любой δ-окрестности точки А содержит точки множ. {М} т.е А-предельная точка множ. {М}ОПР функция U=f(М)наз. непрерывной в точке А, если ОПР по-Гейне: функция U=f(М)наз непрерывной в точке А, если для любой сходящейся к точке А последоват. {}точек множ. {М} соответствует числовая послед{f()} значения этой функции сходятся к числуОПР по-Коши: функция U=f(М)наз. непрерывной в точке А, если для любого ε >0 сущ. δ= δ(ε)>0 такое что для любой точки М из множества определений этой функции удовлетвор. условию ρ(М,А)<δ справедливо неравенство /ОПР функция U=f(М) определенная на множ. {М} наз. непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.