- •Министерство образования и науки
- •10. Примеры обработки результатов измерений и варианты заданий для самостоятельной работы
- •10.1. Лабораторная работа №1. Тема: Построение графика линейной функции по результатам эксперимента (с использованием уравнения линейной регрессии). Ход работы
- •Лабораторная работа №2
- •Лабораторная работа №3.
- •Лабораторная работа №4.
- •Лабораторная работа №5.
- •Пример решения:
- •Лабораторная работа №6.
- •Пример решения:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №7
- •Литература
Министерство образования и науки
ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим работам по дисциплине
“Метрология и основы измерений”
(электронное издание)
ЛУГАНСК 2007
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по дисциплине “Метрология и основы измерений”
для студентов направлений подготовки 6.050101 – компьютерные науки, 6.050201- системная инженерия и 6. 050202 – автоматизация и компьютерно – интегрированные технологии дневной и заочной форм обучения
(электронное издание)
Утверждено
на заседании кафедры
системной инженерии
протокол № 1 от 30.08.07
ЛУГАНСК 2007
УДК
Методические указания к практическим работам по дисциплине “Метрология и основы измерений” (для студентов направлений подготовки6.050101 – компьютерные науки, 6.050201- системная инженерия и 6.050202 – автоматизация и компьютерно – интегрированные технологии дневной и заочной форм обучения) / Сост. А.И. Горбунов, П.Ю. Войлов. - Луганск: Изд. ВНУ им. В. Даля, 2007. - 32 с.
Рассматриваются наиболее часто встречающиеся в практической деятельности задачи и их решения, связанные с обработкой результатов одноразовых и многоразовых прямых измерений, а также с обработкой результатов косвенных измерений. Уделено внимание методике определения параметров, характеризующих абсолютные и относительные погрешности. Решение задач рассмотрено в объеме читаемого теоретического курса «Метрология и основы измерений».
Составители А.И.Горбунов, доц., П.Ю. Войлов, ас.
Отв. за випуск А.И. Горбунов
Рецензент Д.А.Зубов, д.т.н., доц.
10. Примеры обработки результатов измерений и варианты заданий для самостоятельной работы
Проведение практических занятий и выполнение индивидуальных заданий наряду с лекционным курсом позволяет расширить и закрепить как теоретические знания, так и овладеть практическими навыками обработки результатов измерений и определения параметров их погрешностей.
Каждому индивидуальному заданию предшествует краткая теоретическая информация по теме, излагается ход решения задачи и приводятся применяемые аналитические выражения. Затем приведен пример решения аналогичной задачи с подробными комментариями хода решения. Результаты выполнения индивидуальных заданий могут оформляться в виде отчета как в рукописном варианте в обычной ученической тетради, так и с использованием компьютерного набора на формате А4 в соответствии с требованиями ЕСКД при помощи текстового редактора “Word”.
10.1. Лабораторная работа №1. Тема: Построение графика линейной функции по результатам эксперимента (с использованием уравнения линейной регрессии). Ход работы
1. В соответствии со схемой эксперимента (Рис. 1.1) к источнику напряжения U0 в режиме делителя напряжения подключен переменный резистор R1. Путем изменения положения движка резистора R1 задается ряд значений величин напряжения Ui и тока Ii на нагрузочном резисторе RХ, которые измеряются вольтметром V и амперметром А соответственно. Считать, что сопротивление амперметра RA = 0.
Выходные данные для вычислений необходимо свести в таблицу 1.
Таблица 1
i |
Ui,B |
Ii,A |
1 |
U1 |
I1 |
2 |
U2 |
I2 |
… |
… |
… |
n |
Un |
In |
Известно, что если экспериментально получена совокупность значений xi, и yi, причем характер функциональной связи между ними теоретически известен, то обработка таких результатов измерений сводится к вычислению параметров функции, наилучшим образом отображающей данную экспериментальную зависимость (такую функцию называютуравнением регрессии).
Этот метод особенно удобно использовать для обработки экспериментальных функциональных зависимостей в случае линейной связи между x и y. Уравнение регрессии имеет общий вид:
.
В отдельном случае, когда известно, что график уравнения линейной регрессии проходит через нуль координатной системы, это уравнение имеет вид:
(1.1)
Коэффициент а в этом случае вычисляется по формуле:
; (1.2)
где n - количество пар величин xi и yi в данном эксперименте.
Для оценки точности обработки результатов измерений необходимо вычислить среднеквадратическое значение отклонения экспериментальных точек xi, yi от уравнения линейной регрессии; ширина полосы, характеризирующая неточность результата равна 2Sy(x). Среднеквадратическое отклонение вычисляется по формуле:
. (1.3)
Построить в системе координат IOU экспериментальные точки и расчетный график уравнения линейной регрессии Показать экспериментальные точки.
3. Из закона Ома следует:
. (1.4)
В нашем случае уравнения линейной регрессии в общем виде выглядит как: . В тоже время, измеряемые в процессе эксперимента величиныI и U, связаны функциональной зависимостью:. Если принять:, тогда:
(1.5)
Из формул (1.4) и (1.5) следует:. Откуда находим неизвестное сопротивление RХ:
RХ = . (1.6)
4. В выводе сделать заключение о близости расчетной прямой к эмпирическим данным.
Пример решения:
Выходные данные, полученные в результате эксперимента, схема которого приведена на рис.1, сведены в табл.1.
Таблица 1.
i |
Ui,B |
Ii,A |
1 |
10 |
0.021 |
2 |
20 |
0.037 |
3 |
30 |
0.058 |
4 |
40 |
0.082 |
5 |
50 |
0.097 |
Известно, что функция линейная.
Так как при U = 0 (крайнее нижнее по схеме на рис.1.1 положение движка резистора R1) I = 0, то график уравнения линейной регрессии проходит через нуль координатной системы, а это уравнение имеет вид:
Для уравнения линейной регрессии функция имеет вид:
, (1.7)
где - .
Уравнение для определения коэффициента а, с учетом формул (1.2) и (1.7), теперь будет иметь вид:
= (1.8)
Соответственно, среднеквадратическое отклонение для уравнения линейной регрессии, с учетом формул (1.3) и (1.7) имеет вид:
==(1.9)
Так как n = 5, вычисляем выражения под знаком суммы для формул (1.8) и (1.9):
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Коэффициент а линейной регрессии определим по формуле (1.8) подстановкой результатов вычислений (1.10) и (1.12):
Искомая функция имеет вид:
(1.13)
Среднеквадратичное отклонение определяем путем подстановки в формулу (1.9) результатов вычислений (1.10), (1.11) и (1.12):
2. Чтобы построить график уравнения линейной регрессии, найдем I для U = 60 B по формуле (1.10):
.
Известно, что функция линейна и проходит через нуль координатной системы. Для построения графика соединяем прямой линией точку 0 начала координат и точку (U = 60 В; I = 0.12 А). График уравнения линейной регрессии изображен на рис. 1.2.
Точки 1,2,3,4,5 построены по экспериментальным данным пунктов 1-5 соответственно табл.1, а точка 6 по расчетным данным, полученным по формуле (1.13).
3. Используя формулу (1.6) определим неизвестное сопротивление RХ:
RХ = =Ом.
4. Вывод: малое значение Sy(x) свидетельствует о близости эмпирических данных и регрессионной прямой.
Пример решения аналогичной задачи рассматривается в [8], стр. 290 – 294.
Варианты заданий:
Номер варианта выбирать согласно номеру в журнале группы.
Номер варианта |
i |
Ui,B |
Ii,A |
Номер варианта |
i |
Ui,B |
Ii,A |
1 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,041 0,081 0,120 0,159 0,203 |
6 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,035 0,072 0,107 0,144 0,178 |
2 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,038 0,073 0,112 0,147 0,184 |
7 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,038 0,077 0,115 0,153 0,192 |
3 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,035 0,070 0,104 0,141 0,176 |
8 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,034 0,066 0,102 0,132 0,167 |
4 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,039 0,079 0,117 0,158 0,195 |
9 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,035 0,068 0,104 0,137 0,172 |
5 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,036 0,072 0,108 0,146 0,183 |
10 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,038 0,075 0,114 0,150 0,188 |
11 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,033 0,065 0,098 0,132 0,164 |
20 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,030 0,060 0,089 0,119 0,150 |
12 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,033 0,067 0,102 0,136 0,169 |
21 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,029 0,058 0,087 0,115 0,145 |
13 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,032 0,064 0,095 0,126 0,159 |
22 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,028 0,057 0,085 0,113 0,142 |
14 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,031 0,063 0,094 0,125 0,156 |
23 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,027 0,055 0,082 0,110 0,138 |
15 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,032 0,064 0,097 0,129 0,160 |
24 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,026 0,053 0,082 0,107 0,134 |
16 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,031 0,062 0,092 0,123 0,153 |
25 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,028 0,056 0,084 0,112 0,140 |
17 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,029 0,059 0,088 0,117 0,148 |
26 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,027 0,054 0,082 0,109 0,136 |
18 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,028 0,057 0,085 0,115 0,143 |
27 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,026 0,053 0,079 0,104 0,132 |
19 |
1 2 3 4 5 |
10 20 30 40 50 |
0,030 0,061 0,091 0,122 0,152 |
... |
... |
... |
... |