11. Числовые хар-ки сдв.

Математическим ожиданием дискретной СВ Х, множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_np_n

Свойства. 1.Матем. ожидание константы равно константе: М(С)=С

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х)

3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мат. ожиданий слагаемых:

М(Х1+Х2+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn)

4.Математическое ожидание произведений независимых СВ равно произведению математических ожиданий сомножителей. (дискр.СВ наз. независимыми, если Р(Х₁=а₁,…Хn=a_n)=P(X₁=a₁)*…Р(Xn=a_n).

Для любой СВ Х разность Х-М(Х) называется отклонением Х. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х называется дисперсией Х. По определению D(X)=M(X-M(X))².

Стандартное отклонение СВ Х определяется как корень квадратный из дисперсии и обозначается (х). Из свойств математического ожидания: D(X)=M(X²)-M(X)²

Свойства. 1.Прибавление (вычитание) константы к СВ не меняет ее дисперсии D(X+C)=D(X)

2.Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате D(СX)=С²D(X)

3.Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+ D(Xn)

Важно помнить, что дисперсия константы равна 0: D(C)=0

Начальным моментом порядка К СВ Х называют математическое ожидание величины Х^к : к=М(Х^к)

Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-М(Х)) ^к

к=М[(X-M(X)) ^к]

Cоотношение, связывающее начальные и центральные моменты: 2=2-1²

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики – асимметрию и эксцесс (для нормального распределения эти характеристики равны 0). Асимметрией теоретического распределения (теоретическим называют распределение вероятностей) называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Аs=₃\³

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется следующим равенством: Ек=(₄\⁴)-3

12 Биномиальное, Пуассоновское, геометрическое и гиппергеометрическое

Биномиальным распределением С параметрами n и р наз распределение числа успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха в каждом испытании р. Биномиальное распред-е имеет вид:

Х	0	1	2	…	n
Р	Cn^0p^0q^n	Cn^1p^1q^n^-1	Cn^2p^2q^n^-2	…	Cn^np^nq^0

Где q = 1-р. Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и р, M(X)=np, D(X)=npq.

Пуассоновское распределение с параметром λ>0 задается следующей бесконечной таблицей

Х	0	1	…	k	…
Р	e^-^λ	λ e^-^λ /1!	…	λ^ke^-λ /k!	…

M(x)=D(X)=λ

Геометрическим распределением с параметром р наз распределение числа испытаний до первого успеха в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Оно имеет вид бесконечной таблицы:

Х	1	2	…	k	…
Р	р	qр	…	q^k-1p	…

Для дискретной случайной величины. Распределенной по геометрическому закону, M(X)=1/p, D(X)=q/p².

Гипергеометрическое распределение . Рассмотрим пример. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных. Из нее случайно отбирают n изделий, причем отобранное изделие не возвращается в партию. Пусть Х- С.В.- число m изделий среди n отобранных. Найдем Р(Х=m):

(1) - Общее число элементарных исходов = Сⁿ_N. (2) - Число исходов, благоприятствующих событию Х=m,(среди взятых n изд-й ровно m стандартных)= С^m_M С^n-m_N-M

(m стандартных изделий можно извлечь из М С^m_M способами, при этом остальные n-m изделий д.б. нестандартными, последние мы извлкаем из N-M нестандартных изделий С^n-m_N-M способами).

Искомая вероятность равна отношению (1) к (2):

Р(Х=m)= С^m_M С^n-m_N-M / Сⁿ_N

Причем, если n Значительно меньше N, то гипергеометрич. Распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, полученным по биномиальному закону.