высшая математика ч3

F (x; y) ,

M 2 (−1; − 2) . Найдем

∂ 2 F = 2λ ,

∂ 2 F

= 0 ,

∂ 2 F = 2λ

и

∂ 2 x

∂x∂y

∂ 2 y

составим

для функции F (x; y)

дискриминант

,

учитывая,

что

A = ∂ 2 F

= −1, B = 0 ,

C =

∂ 2 F

= −1,

=

− 1

0

= 1

–

∂ 2 x

M1

∂ 2 y

M1

0 − 1

экстремум есть и, так как

A < 0 , то

M1 (1; 2) –

точка

условного

максимума для функции z = x + 2 y .

Аналогично проверяется, что точка M 2 (−1; − 2) является точкой условного минимума.

zmax (1; 2) = 1 + 4 = 5 , zmin (−1; − 2) = −1 − 4 = −5 .

9.2.5. Метод наименьших квадратов

При исследовании физических, химических и других процессов приходится находить аналитическое выражение зависимости между различными величинами на основе экспериментальных данных. Функции, полученные в результате решения такого рода задач,

называются эмпирическими или аппроксимирующими.

Пусть известны результаты измерений (xi ; yi ) , i = 1, n , величины y при различных значениях величины x , представленные в виде таблицы

x

x1

x2

x3

…

xi

…

xn

y

y1

y2

y3

…

yi

…

yn

или в виде точечной диаграммы (рис. 9.3).

Требуется

по

таблице

y

значений

(xi ; yi )

подобрать

эмпирическую функцию y = ϕ(x) ,

yi

удовлетворяющую

условиям

yi = ϕ(xi ) , i =

.

1, n

0

xi

x

Рис. 9.3

При

подборе аппроксимирующей

функции

y = ϕ(x)

следует

учитывать характер расположения экспериментальных точек (xi ; yi ) ,

19

i = 1, n , на точечной диаграмме.

Если точки (xi ; yi ) , i = 1, n располагаются на точечной

диаграмме вдоль прямой, то рекомендуется выбирать линейную функцию y = ax + b , зависящую от двух параметров a и b , которые

можно найти с использованием метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов состоит в том, что параметры a и

b выбранной зависимости y = ax + b находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений значений yi , i = 1, n , полученных в результате эксперимента, от ординат аппроксимирующей функции y = ax + b :

n	− axi − b)2 .
S = S (a;b) = ∑ ( yi
i=1

Для нахождения минимума функции S = S (a;b) , являющейся

функцией двух переменных a и b , необходимо приравнять нулю частные производные этой функции по a и b :

			n		− axi	− b)(−xi )) = 0,
S	'	= 0,	∑ (2( yi
	a'
		= 0,	i=n1		− axi
Sb			∑ (2( yi			− b)(−1)) = 0.
			i=1
После преобразований получаем систему
					n	n
			nb + a∑ xi = ∑ yi ,
				i=1		i=1	(9.4)
			n		n	n
			b∑ xi	+ a∑ xi2 = ∑ xi yi ,
			i=1		i=1	i=1
решением которой являются искомые параметры a и b .
Пример 1А. Экспериментально получены шесть значений
искомой функции y =					f (x) при шести значениях аргумента, которые

записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y = f (x) в виде y = ax + b .

x		1	2	4	5	6	8
y		–4,3	–1	5	8,5	12	18
			6
	Решение. Находим ∑ xi			=1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 8 = 26 ,

i=1

20

6
∑ xi2	=1 + 4 + 16 + 25 + 36 + 64 = 146 ,
i=1
6
∑ yi	= − 4,3 − 1 + 5 + 8,5 + 12 + 18 = 38,2 ,
i=1
6
∑ xi yi = −4,3 − 2 + 20 + 42,5 + 72 + 144 = 272,2 .
i=1
	Подставляя полученные значения сумм в систему (9.4), получим
6b + 26a = 38,2,
		т. е. a = 3,2 , b = −7,5 . Следовательно, искомая
	+ 146a = 272,2,
26b
функция y = 3,2x − 7,5 .
		Линейная зависимость
	20
	15
	10
	5
	0
	-5 0	2	4	6	8	10
	-10
			Рис. 9.4
	На рис.9.4 изображена линейная зависимость y = 3,2x − 7,5 .
	9.2.6. Задачи для самостоятельного решения

	А
Найти стационарные точки функций.
1. z = 3x 2 + 6xy + y 2 − 12x .	2. z = xy(6 − x − y) ( x > 0 , y > 0 ).
3. z = 8(x − y) − x 2 − y 2 .	4. z = 5x 2 + 2( y − 3)2 .
5. Показать, что точка P(3; 3)	является точкой локального максимума
функции z = 9xy − x 2 y − xy 2 .

21

6.Показать, что точка P(1; − 1) является точкой локального минимума функции z = x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 − 8x + 8 y .

7.Найти локальный экстремум функции z = x 2 + xy + y 2 − 3x − 6 y .

8.Найти точки локального экстремума функции z = (x + 5)2 + ( y − 1)2 .

9.Найти экстремум функции z = x 2 + y 2 при условии, что x и y связаны соотношением x − 2 y − 5 = 0 .

10.Найти экстремум функции z = xy при условии, что x и y связаны соотношением 2x + 3y − 5 = 0 .

11.Полагая, что x и y связаны зависимостью y = ax + b , определить

коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов, если данные опыта представлены следующей таблицей значений переменных:

	x		–2		–1	0		1	2		3
	y		–0,4		0,2	1		1,7	2		2
						Б
12.		Исследовать		на экстремум			функцию		двух	переменных
z = 2x3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 .

13.Разложить положительное число a на три положительных слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

14.Найти экстремум функции z = 2xy при условии, что x и y

связаны соотношением x 2 + y 2 = 8 .

15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x − 2 y − 3

в области 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x + y ≤ 1.

16. Найти наибольшее	и	наименьшее значения функции
z = x 2 − xy + 2 y 2 + 3x + 2 y + 1	в	замкнутой области, ограниченной

осями координат и прямой x + y = −5 .

9.2.7. Ответы

A

1. (−1;3) . 2. (2; 2) . 3. (4; − 4) 4. (0;3) . 7. zmin (0; 3) = −9 . 8. (−5;1) – точка минимума, zmin (−5;1) = 0 . 9. zmin (1; − 2) = 5 .

		5	5			=	25	. 11. y = 0,62x + 0,89 .
10.	zmax		;
							24
	4		6

22

						; 0		Б
12. z		(0; 0) = 0 , z		−	5		=	125	. 13. Все слагаемые равны между
	min		max	3			27

собой. 14. zmax (2; 2) = zmax (−2; − 2) = 8 ; zmin (−2; 2) = zmin (2; − 2) = −8 .

15. zнаиб (1; 0) = −2 , zнаим (0;1) = −5 . 16. zнаиб (0; − 5) = 41, zнаим (−2; − 1) = −3 .

9.3. Производная по направлению. Градиент

9.3.1. Основные теоретические сведения

Производной функции z = f (x; y) в точке M 0

по направлению

вектора l = MM 0

называется предел (если он существует) отношения

приращения функции

z = f (M1 ) − f (M ) к величине перемещения

MM1

, когда последнее стремится к нулю:

∂z = lim

f (M

1 ) − f

(M )

= lim

z , где ρ =

.

x2 + y 2

∂l

MM1

→0

MM1

ρ→0

ρ

Если функция z

=

f (x; y) дифференцируема, то производная в

данном направлении вычисляется по формуле

∂z

∂z

∂z

(9.5)

∂l

= ∂x cos α + ∂y cosβ ,

где cos α , cosβ –

направляющие косинусы вектора l .

В случае функции трех переменных u = u(x; y; z) производная в

данном направлении l вычисляется по формуле

∂u

∂u

∂u

∂u

(9.6)

∂l

= ∂x cos α + ∂y cosβ + ∂z cos γ ,

где cos α , cosβ ,

cos γ –

направляющие косинусы вектора l(xl ; yl ; zl ) ,

определяемые по формулам

cos α =

xl

, cosβ =

yl

,

xl2 + yl2 + zl2

xl2 + yl2 + zl2

(9.7)

cos γ =

zl

.

xl2 + yl2 + zl2

23

Производная по направлению l характеризует скорость

изменения функции в точке M по этому направлению. Если ∂u > 0 ,

∂l

то функция u = u(x; y; z) возрастает в направлении l , если

∂u < 0 , то

∂l

∂u

функция u = u(x; y; z)

убывает

в направлении l . Величина

∂l

представляет

собой

мгновенную скорость

изменения

функции

u = u(x; y; z)

в направлении l

в

точке M :

чем больше

∂u

,

тем

∂l

быстрее изменяется функция.

Градиентом функции z =

f (x; y) называется вектор, имеющий

своими координатами значения частных производных функции

z в

точке M (x; y) :

∂z

∂z

(9.8)

gradz = ∂x i +

∂y

j .

Градиент функции и производная в направлении вектора l

связаны формулой

∂z

= прl gradz .

(9.9)

∂l

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста

функции z =

f (x; y) в данной точке. Производная ∂z в направлении

∂l

градиента имеет наибольшее значение, равное

	∂z	=		=		∂z 2		∂z	2
			gradz
							+	.
	∂l наиб					∂x		∂y

Для функции трех переменных u = u(x; y; z)

gradu = ∂u i + ∂u j + ∂u k . ∂x ∂y ∂z

(9.10)

(9.11)

9.3.2. Примеры решения задач

Пример 1А. Найти производную функции z = 3x 2 y + 2xy 2 в точке M (2;3) по направлению вектора l = 3i − 4 j .

24

Решение. Используем формулу (9.5):	¶z =	¶z cos a +	¶z cosb.
	¶l	¶x	¶y

Направляющие косинусы вектора

	учитывая	zl = 0 : cos a =		3
				32 + (-4)2

lнаходим по формулам (9.7),

=3 , cosb = - 4 .

5 5

Находим	частные	производные функции	z x' = 6xy + 2 y 2 ,
z 'y = 3x 2 + 4xy .	Значения	частных производных в	точке M (2;3) :

z x' (2;3) = 6 × 2 × 3 + 2 × 32 = 54 ,

z 'y (2;3) = 3 × 22 + 4 × 2 ×3 = 36 . Производная

по направлению

¶z = 54 ×

3

+ 36 × -

4

=

18

.

¶l

5

5

5

Пример 2А. Дана функция

z = x 2 - 3xy + y5 . Найти градиент

этой функции и его величину в точке (−1;1) .

Решение.

Находим

градиент

функции

по формуле

(9.8):

gradz =

¶z i +

¶z

j .

Частные

производные заданной

функции

¶x

¶y

z x' = 2x - 3y ,

z 'y

= -3x + 5 y 4 . Найдем значения частных производных

в

указанной

точке

(−1;1) :

z x' (-1;1) = 2 × (-1) - 3 ×1 = -5 ,

z 'y (-1;1) = 3 + 5 = 8 . Величина градиента

=

(-5)2 + 82

=

gradz

89 .

Пример 3Б. Найти направление максимального роста функции

z =

4x 2

+ 5 y 2

в

точке M (3; 2) .

Найти наибольшее из

значений

y

производных по разным направлениям в точке A .

Решение.

Направление

максимального

роста

функции

определяется градиентом функции. Поэтому найдем частные

	производные z x' =			8x	, z 'y	= -	4x2		+10 y и их значения в точке M (3; 2) :
				y			y 2
	z x' (3; 2) =	8 ×3	= 12 ,		z 'y (3; 2) = -			4 ×9		+10 × 2 = 11. gradz = 12i +11 j –
	2								4

направление наибыстрейшего роста функции. Наибольшее значение

¶z

2

2

производной в точке

A равно:

=

gradz

=

12

+ 11

= 265 .

¶l наиб

25

9.3.3. Задачи для самостоятельного решения

А

1.

Найти производную функции

z = ln(x3 + y 2 )

в точке

M (2; −1)

в

направлении вектора l = 12i − 5 j .

2.

Найти производную функции z =

x

в

точке

M (4;1) по

y

направлению MM1 , где M1 (8; − 2) .

3.

Найти производную функции u = xy + yz + zx

в точке

M (2;1;3)

в

направлении, идущем от этой точки к точке N (5;5;15) .

Найти градиент функции z =

4.

x 2 − y 2

в точке M (5;3) .

5.

Найти градиент функции z = x3 − y3 + 2xy в точке M (1; 2) .

Б

6.

Найти производную функции u = x 2 − 3yz + 10

в точке M (1; 2; −1)

в

направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.

7. Определить направление наибыстрейшего возрастания функции z = x3 y 2 − 5x в точке M (−1; −1) и вычислить значение производной

по этому направлению.

8. Найти производную функции z = ln(x + y) в точке M (1; 2) , принадлежащей параболе y 2 = 4x , по направлению этой параболы.

														9.3.4. Ответы
																	A
1.		154			. 2.		4	. 3.	68	4.	5	i −	3	j . 5. 7i −10 j .
	117						5		13		4
												4
																	Б
6.		−		3		. 7. gradz = −2i + 2 j ;												2		.
															8	. 8.
			3														3

26

Глава 10. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

10.1.Двойной интеграл

10.1.1.Основные теоретические сведения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть D – замкнутая, ограниченная линией L , область плоскости Oxy , в которой задана непрерывная функция двух

переменных	z = f (x; y) . Разобьем область D на	n «элементарных
областей»	D1 , D2 ,…, Dn , площади которых	обозначим через
		( i =		) выберем
S1, S2 ,…,	Sn (рис. 10.1). В каждой области Di		1, n

произвольную точку Ci (xi ; yi ) и составим сумму

Sn = f (C1 )	S1 + f (C2 )	S2 + ... + f (Cn ) Sn	=
= f (x1; y1 ) S1 + f (x2 ; y2 )		S2 + ... + f (xn ; yn )	Sn	=
n		n		(10.1)
= ∑ f (Ci ) Si =		∑ f (xi ; yi ) Si .
i=1		i=1
Эта сумма	называется интегральной			суммой функции
z = f (x; y) в области D .

Наибольшее расстояние между точками области называется диаметром области. Обозначим через d наибольший из диаметров

областей Di ( i = 1, n ). Тогда стремление d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на «элементарные области» Di (и, как следствие, стремление n к ∞ ).

Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм Sn при d → 0 , не зависящий ни от способа

разбиения области D на «элементарные области» Di , ни от выбора точек Ci (xi ; yi ) , то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x; y) по области D и обозначается

∫∫ f (x; y)dS или ∫∫ f (x; y)dxdy ,

D	D
∫∫ f (x; y)dxdy =	n
	lim ∑ f (xi ; yi ) Si .
	(n→∞)
D	max di →0 i=1

27

В таком случае говорят, что функция f (x; y) интегрируема в области D . При этом функция f (x; y) называется подынтегральной функцией, область D – областью интегрирования, dxdy (или dS ) – элементом площади.

Если функция f (x; y) непрерывна в замкнутой области D , то она интегрируема в этой области.

Геометрический и механический смысл двойного интеграла

Пусть

f (x; y) ³ 0

и

непрерывна в области D .

Тогда

интеграл

∫∫ f (x; y)dS

равен объему

цилиндрического тела,

ограниченного

D

снизу

областью

D ,

с боков –

цилиндрической

поверхностью,

образующие которой параллельны оси Oz , направляющей служит

линия

L ,

и сверху

тело

ограничено поверхностью

z = f (x; y)

(рис. 10.2):

V = ∫∫ f (x; y)dxdy .

(10.2)

D

y

z

z = f (x; y)

Di

Ci

d

0

L

y

x

D

L

0

x

Рис. 10.1

Рис. 10.2

Пусть поверхностная плотность плоской пластины D g = g(x; y)

есть непрерывная

функция

от x

и y . Тогда масса пластины m

численно равна двойному интегралу от плотности: m = ∫∫ γ(x; y)dxdy .

D

Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.

28