1. Если интегральная сумма Sn имеет предел при n-∞(λ-0), который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то он называется определенным интегралом от функции у=f(х) на отрезке [а,в].

Достаточное условие: если функция у=f(х) непрерывна на [а,в], то существует.

Необходимое условие: ограниченность функции на отрезке, но есть функции которые ограничены на отрезке но интегрируемы на нем.

2. Свойства определенного интеграла:

1). =⍺(b-a) (⍺-некоторое число)

2). Пусть f(х) интегрируема на [а,в] тогда функция ⍺ f(х) также интегрируема на [а,в] причем =

3). Если f(х), g(x) функции интегрируемые на [а,в] то =

4). Пусть f(х) интегрируема на [а,в], тогда она интегрируема на любом отрезке содержащемся в [а,в], если f(х) интегрируема на [а,с],[с,в], то она интегрируема и на [а,в], причем

5). (a˂b) 6). Пусть m-наименьшее, М-наибольшее значение функции на отрезке m≤ f(х)≤М m(b-a) ≤M(b-a) (a˂b)

7). Пусть (а˂в), если f(х)≥0, х[а,в], то

если f(x)≤0 ≤0.

8). (a˂b) ≥

3. Теорема о среднем: -пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b] , тогда на этом отрезке существует такая точка С, что

Замечание: величину f(c) равную

f(C)=1/(b-a)*

называют средним значением функции f(x) на [a,b].

4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом:

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] , тогда она интегрируема на любом отрезке [a,x], где xϵ [a,b]. Рассмотрим Ф(х)= , называемую определенным интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема Барроу: производная определенного интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции вычисленной на верхнем пределе:

(

5. Теорема: если функция f(x) непрерывна на [a,b], F(x)-первообразная для f(x) на [a,b], то интеграл – Формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления).

6. Интегрирование по частям:

Теорема: пусть функция u(x), v(x) и их производные u^,(x), v^,(x), непрерывны на [a,b], тогда справедлива формула .

Метод замены переменных в определенном интеграле:

Теорема: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], а функция x=ϕ(t) непрерывно-дифференцируема на [α,β], причем ϕ(α)=а, ϕ(β)=b и функция a≤ϕ(t)≤b, тогда имеет место формула:

Интегрирование четных и нечетных функций: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда вычисление интеграла можно упростить учитывая свойства четности и нечетности функцииf(x). Имеет место формула:

7. Вычисление площади в декартовой системе координат:

f₂(x)f₁(x) xϵ[a,b]

S=

f₂≥f₁

S=

Параметрическое задание:

x(α)=a, x(β)=b

В полярных координатах:

12. Несобственные интегралы второго рода:

Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a,b) и неограниченна при x→b (f(x)→∞ при x→b) в этом случае несобственный интеграл 2-го рода принимают следующим образом: .

Если предел существует, говорят, что интеграл сходится, не существует или бесконечен – расходится.

Теорема (сравнения): пусть на промежутке [a,b) функции f(x), ϕ(x) непрерывны и f(x)→∞, ϕ(x)→∞ при x→b при этом 0≤f(x)≤ϕ(x) тогда из сходимости интеграла:следует сходимость, а из расходимостиследует расходимость.

Теорема (предельный признак сравнения): пусть на промежутке [a,b) функции f(x), ϕ(x) непрерывны и f(x)→∞, ϕ(x)→∞ при x→b при этом 0≤f(x)≤ϕ(x) если существует предел: , то интегралы либо оба сходятся либо оба расходятся.

9. Вычисление объема тела вращения:

Пусть вокруг оси Ох вращения криволинейная тра­пеция, ограниченная кривой у=f(x) , прямыми х=0, х=в и Ох и пусть f(x) непрерывная на [a,b] функции (f˃0), получим тело вращения V которого вычисля­ется по формуле: (Vox=π)*

Разобьем отрезок [a,b] на n частей в каждой части произвольно выберем точку Ci ϵ [Xi-1,X1], прове­дем, через точки Xi плоскости ˔ Ох получим слоев тела вращения, каждый слой замещением цилин­дра высотой ΔXi=Xi-Xi-1 и основанием является круг радиуса f(Ci). Сумарный объем ступенчатого тела равен , переходя к пределу прі n получім формулу (*).

10. Работа переменной силы:

Пусть материальная точка переменной под дейст­вием силы F направленной вдоль оси Ох и имею­щей переменную величину зависящей от х F=F(x), покажем, что работа совершаемая силой F по пе­ремещению точки вдоль оси Ох из х=а в х=в вычис­ляется по формуле: A=

(F , непрерывна на [a,b])