Заканчэнне табл. 1
12	Тэмпература		Аб’ект – трубаправод, 150 мм
	Дыяпазон вымярэння: 0–350°С		Асяроддзе – серная кіслата
	Хібнасць:	= ±2,5°С
13	Ціск		Аб’ект – трубаправод, 60 мм
	Дыяпазон вымярэння: 0–3,5 МПа		Асяроддзе – кісларод
	Хібнасць	= ±3,5 кПа	Т = 10°С
14	Тэмпература		Аб’ект – печка
	Дыяпазон вымярэння: 0–1100°С		Асяроддзе – агрэсіўны газ
	Хібнасць:	= ±10°С
15	Ціск		Аб’ект – трубаправод, 20 мм
	Дыяпазон вымярэння: 0–0,5 МПа		Асяроддзе – прапан
	Хібнасць	= ±0,5 кПа	Т = 20°С
16	Узровень		Рэзервуар, запоўнены электраправод-
	Дыяпазон вымярэння: 0,5–10 м		най вадкасцю
	Хібнасць: δ = ±1%		Т = 35 ± 20°С
17	Узровень		Рэзервуар, запоўнены неэлектраправод-
	Дыяпазон вымярэння: 0,1–1 м		най вадкасцю
	Хібнасць: δ = ±1%		Т = 85 ± 10°С
18	Узровень		Рэзервуар, запоўненысыпкімматэрыялам
	Дыяпазон вымярэння: 2–10 м		Дыяпазон тэмператур ад 20 да 35°С
	Хібнасць: δ = ±1%
19	Узровень		Рэзервуар, запоўненысыпкімматэрыялам
	Дыяпазон вымярэння: 5–30 м		Дыяпазон тэмператур ад 20 да 50°С
	Хібнасць: δ = ±1%

Задача № 2. СТРУКТУРНЫ АНАЛІЗ І ЎСТОЙЛІВАСЦЬ

Для аналізу працэсаў у сістэмах аўтаматычнага рэгулявання (САР) і кіравання (САК) шырока выкарыстоўваюцца структурныя схемы. Яны ўяўляюць сабой графічнае адлюстраванне ўраўнення, якое апісвае працэс. Структурная схема дазваляе ў нагляднай форме ўявіць матэматычны бок пераўтварэння ўваходных сігналаў, перашкод і фармавання выхаднога сігналу.

У структурных схемах адлюстроўваюцца функцыянальныя залежнасці, не звязаныя з канкрэтнай вобласцю тэхнікі, якія маюць агульны характар.

Асноўныя элементы схемы паказваюцца ў выглядзе прамавугольнікаў з адным уваходам і адным выхадам. У прамавугольніку адлюстроўваецца сімвал, які абазначае перадатачную функцыю паміж выхадам і ўваходам. Уваходная, выхадная пераменныя і перашкода разглядаюцца як сімвалы. Прамавугольнікі злучаюцца стрэлкамі, якія ўказваюць напрамак дзеяння сувязі.

12

Алгебраічныя аперацыі (множанне, складанне і інш.) сігналаў вызначаюцца акружнасцямі, у сярэдзіне якіх запісана адпаведная аперацыя (адыманне, знаходжанне квадратнага кораня). Аперацыі дыферэнцавання і інтэгравання абазначаюцца праз аператар р і вызначаюцца прамавугольнікамі (р і 1/p).

Знакі, з якімі сігналы прыходзяць у дадзены пункт, наносяцца каля адпаведнай стрэлкі ці акружнасці. Асноўныя элементы структурных схем прыведзены на мал. 1.

Элементы разгалінавання адлюстроўваюцца ў выглядзе кропкі на лініі сувязі (мал. 1, в).

х		х1	+ у = х1 + х2	х					х	х1 • y = х1 х2
		y						х
			х2							х2
	а		б				в			г

Мал. 1. Элементы структурных схем:

а– паслядоўнае злучэнне; б – падсумаванне;

в– элемент разгалінавання; г – перамнажэнне

Разгледзем тры асноўныя схемы злучэння элементаў, якія паказаны на мал. 2 і іх перадатачныя функцыі W(p):

W1(p) W2(p) W3(p) W1(p)

а +/-

–/+	W1(p)
			W2(p)
			б
	W2(p)
	в

Мал. 2. Асноўныя схемы злучэння САК:

а– паслядоўнае злучэнне элементаў; б – паралельнае злучэнне элементаў;

в– схема злучэння з адваротнай сувяззю

Паслядоўнае злучэнне элементаў (мал. 2, а):
W(p) = Y(p)/X(p) = W1(p) W2(p) W3(p).	(2)
Паралельнае злучэнне элементаў (мал. 2, б):
W(p) = Y(p)/X(p) = W1(p) ± W2(p).	(3)
Схема злучэння з адваротнай сувяззю (мал. 2, в):
W(p) = W1(p)/(1 ± W1(p) W2(p) ).	(4)
	13

Трэба адзначыць, калі W2(p) = ±1 (адзіночная адваротная сувязь), то агульная передатачная функцыя замкнёнай сістэмы будзе мець выгляд

W(p) = W1(p)/(1 ± W1(p)).

(5)

Для забеспячэння ўстойлівасці лінейнай сістэмы неабходна і дастаткова, каб усе карані характарыстычнага ўраўнення (назоўнік перадатачнай функцыі замкнёнай сістэмы (5)) мелі адмоўныя рэальныя часткі. Паколькі вызначэнне каранёў у сістэмах вышэй за трэці парадак звязана з цяжкасцямі, то прымяняюцца розныя крытэрыі ўстойлівасці. Найбольшае распаўсюджанне знайшлі алгебраічны крытэрый Раўса – Гурвіца і частотны крытэрый Найквіста.

Па крытэрыі Раўса – Гурвіца САР будзе ўстойлівай, калі для характарыстычнага ўраўнення

а0рn + a1pn–1 + a2pn–2 + ... + an–1p + an = 0,

(6)

пры а0 > 0 усе дыяганальныя міноры матрыцы Гурвіца, якая складзена з характарыстычнага ўраўнення, маюць станоўчы знак.

Матрыцу складаюць наступным чынам:

	a1		a3		a5			…			0	0
	a0		a2		a4			…			0	0
	0		a1		a3			…			0	0
	0		0	0				… an−1				0
	0		0		0 … an−2 an
Умовы ўстойлівасці для сістэмы да чацвёртага парадку прыведзены
ў табл. 2
			Умовы ўстойлівасці									Табліца 2
Памернасць ураўнення											Умовы ўстойлівасці
1	а0 > 0 ; а1 > 0
2		a1	a3		а0 > 0 ; а1 > 0 ; а2 > 0
		a	a
		0	2
3		a1	a3	0			а0 > 0; а1 > 0; а2 > 0; 2 = а1а2 – а0а3 > 0
		a0	a2		0
		0	a1		a3
4		a1	a3	0				0
		a0	a2		a4			0		а0 > 0 i а3(а1а2 – а0а3) – а4а12 > 0
		0	a		a			0
			1	3
		0	a0		a2			a4
14

Заданне 2

Па зададзенай структурнай схеме, згодна са сваім варыянтам (табл. 3), вызначыць эквівалентную перадатачную функцыю сістэмы.

Зыходныя даныя да задання 2

Табліца 3

№ варыянта

Структурная схема

0

T1 + f

–T1

+

x

K

p

1

1

y

+

T

p f

2

1

f

–1

+

x

K

1

p

T1

K

y

+

p f

T

2

2

1

K

f

–T2

+

p

x

1

p

T1

y

K

+

p

f −1

3

1

T2

–K

+

p

x

1

1

p

T2

y

p f

T1

+

4

1

f + 2

–K

+

x

p

y

T2

p

1

1

+

1

15

Працяг табл. 3

№ варыянта

Структурная схема

5

1

T2

–T1

+

p

x

K

p

1

1

y

+

T2

p2

6

–f

1

1

+

p1+ f

T

1

T2

x

K

2

K

y

+

7

T2

1

1

+

p2

T

1

–f

x

y

p

3

K

+

8

1

–T2

p

1

1

+

p3

T1

3f

x

p

K

y

+

16

Заканчэнне табл. 3

№ варыянта

Структурная схема

9

1

T1

p

1

1

+

p f

T2

–2

x

p

K

y

+

Параметры сістэмы прыведзены ў табл. 4.

		Зыходныя даныя да задачы № 2		Табліца 4
	Параметры		Значэнне f
		0	1	2
	K	20	4	12
	Т1	0,7	0,5	0,2
	Т2	0,2	0,3	0,4

Значэнне каэфіцыента f вызначаецца астаткам ад дзялення нумара першай літары прозвішча ў алфавіце на тры. Напыклад, калі прозвішча пачынаецца на літару А, то астатак будзе 1, на Б – 2, на В – 0, на Г – 1, на Д – 2, на Е – 0, на Ё – 1, на Ж – 2, на З – 0 і г. д. Вызначыць устойлівасць атрыманай сістэмы згодна з крытэрыем Раўса – Гурвіца.

Задача № 3. РАЗЛІК ПЕРАХОДНАГА ПРАЦЭСУ Ў ЛІНЕЙНАЙ СІСТЭМЕ

АЎТАМАТЫЧНАГА РЭГУЛЯВАННЯ (САР)

Аб’ектам кіравання (АК) з’яўляецца рэзервуар з прапарцыянальным рэгулятарам, напоўнены вадкасцю (мал. 3). Рэгулюемы параметр – узровень L. Абураючым уздзеяннем будзе расход вадкасці Qр. Яго змяненне прыводзіць да парушэння матэрыяльнага балансу апарата і адхілення L ад зададзенага значэння Lзд.

17

LC

BM

	PO	Qп
		LE
		Qр

Мал. 3. Схема сістэмы аўтаматычнага рэгулявання

Узровень вымяраецца датчыкам LE. Аўтаматычны рэгулятар LC на аснове параўнання бягучага значэння L з зададзеным Lзд выпрацоўвае кіруючае ўздзеянне, якое з дапамогай выканаўчага механізма ВМ і рэгулюючага органа РО пераўтвараецца ў змяненне прытоку Qп.

Замест бягучых значэнняў L, Qp і Qп больш зручна разглядаць іх адхіленні ад некаторых зыходных значэнняў. Адзначым:

g = L – Lзд – адхіленне ўзроўню ад зададзенага значэння (выхадны параметр);

f = Qp – Qpo – адхіленне расходу ад пачатковага значэння (абураючае ўздзеянне);

u = Qп – Qпо – адхіленне прытоку адносна пачатковага значэння (кіруючае ўздзеянне).

Пры гэтых адзнаках дыферэнцыяльнае ўраўненне аб’екта кіравання мае выгляд

T dy	+ y = Kuu −K f f ,	(7)
dt

дзе T – пастаянная часу АК; t – час; Ku – каэфіцыент перадачы АК па канале кіравання; Kf – каэфіцыент перадачы АК па канале ўзрушэння.

Памернасць выхаднога параметра – (метры), кіруючага ўздзеяння – (кубічныя метры на секунду), памернасці астатніх параметраў зазначаны ў табліцы. Для спрашчэння разлікаў дапускаем, што перадатачныя функцыі датчыка, выканаўчага механізма і рэгулюючага органа роўныя адзінцы.

18

Указанні да выканання задачы № 3

Разгледзем методыку рашэння пры наступных зыходных даных:

T = 10 c; K f = 4,5	с/м2; Ku = 1,5 с/м2; μ = 2 10–2 м3/c; для П-рэгу-
лятара Kр = 2.
Запішам ураўненне (7) у аперацыйнай форме:
	(Tp +1) y( p) = Ku u( p) − K f f( p),
дзе y( p), u( p), f ( p)	– адлюстраванне, па Лапласу, велічынь y( p),

u( p), f ( p) адпаведна.

Вызначым з гэтага ўраўнення адлюстраванне выхаднога параметра:

y( p) =	Ku		u( p) −	Kf		f ( p)
	Tp +1			Tp +1
ці
y( p) =Wu ( p) u( p) −Wf ( p) f ( p),							(8)

дзе Wu ( p) = Ku /(Tp + 1) – перадатачная функцыя АК па канале кіравання; Wf ( p) = Kf /(Tp +1) – перадатачная функцыя АК па канале абурэння.

Такім чынам, аб’ект можна прадставіць у выглядзе структурнай схемы (мал. 4).

f(p)				Kf
			Tр + 1
u(p)								y(p)
				Ku
				Tр + 1			+

Мал. 4. Структурная схема аб’екта кіравання

Для пабудовы графіка пераходнага працэсу ў АК дапусцім ва ўраўненнi (8) u( p) = 0 .

Атрымаем

y( p) = −Wf ( p) f ( p) .

Паколькі вызначаная перадатачная функцыя адпавядае тыповаму інерцыйнаму (аперыядычнаму) звяну першага парадку, то пры зададзеным уздзеянні f (t) =μ 1(t) =0,2 10−2 1(t) пераходны працэс можна знайсці па вядомай формуле

y(t) = −μ K f (1−e−	t	) = −2 10−2 4,5(1−e−	t
	T		10	).	(9)
					19

Для разліку пунктаў пераходнага працэсу вызначаем моманты часу ад нуля да tmах ≈ 5T = 5 10 = 50 c. Крок прырашчэння часу t вызначым такі, каб на графіку было 10…15 разліковых пунктаў, г. зн.

t =1050...15 =5...3,33 с.

Вызначым t = 5 с. Вынікі разлікаў па формуле (9) прыведзены ў табл. 5.

							Вынікі разлікаў						Табліца 5
t, c		t			t			t			−	t
	−	10		e−10			1 − e−10				y = −9 10−2 (1 −e 10 )
1	2			3			4				5
0	0			1			0				0
5	–0,5			0,606			0,394				–3,54 10–2
10	–1,0			0,368			0,632				–5,68 10–2
15	–1,5			0,223			0,777				–6,99 10–2
20	–2,0			0,135			0,865				–7,78 10–2
25	–2,5			0,082			0,918				–8,26 10–2
30	–3,0			0,050			0,950				–8,55 10–2
35	–3,5			0,030			0,970				–8,73 10–2
40	–4,0			0,018			0,982				–8,84 10–2
45	–4,5			0,011			0,989				–8,90 10–2
50	–5,0			0,007			0,993				–8,94 10–2

Па даных табліцы будуем графік пераходнага працэсу ў аб’екце кіравання (мал. 5). З графіка вынікае, што выхадны параметр y асімптатычна прыбліжаецца да новага ўстаноўленага значэння:

yуст = −μ K f = −0,09 м.

Структурная схема САР прыведзена на мал. 6.

На схеме паказаны аб’ект кіравання АК і аўтаматычны рэгулятар АР. Па прычыне дзеяння абурэння f(p) узнікаюць адхіленні выхаднога параметра y(p). Бягучыя значэнні y(p) у элеменце параўнання ЭП параўноўваюцца з зададзеным уздзеяннем g(p). У выніку параўнання вызначаецца адхіленне = g( p) − y( p) . У залежнасці ад велічыні і знака адхілення АР фармуе кіруючае ўздзеянне u(p), вынік якога на АК аказвае процілеглае адносна ўздзеянню абурэння f(p). У выніку адхіленне выхаднога параметра ліквідуецца ці змяншаецца да неабходнай велічыні.

20

у, м

0

–0,001

–0,002

–0,003

–0,004

–0,005

–0,006

–0,007

–0,008

–0,009

–0,010

tn = с

10

20

30

40

50

t, с

ууст

	σ σ
		a
f, м3/с
		µ = 2,0 · 10–2
10	20	30	40	50	t, с
		б

Мал. 5. Графікі пераходнага працэсу ў аб’екце: а – пераходны працэс; б – знешняе ўздзеянне

Перадатачная функцыя прапарцыянальнага рэгулятара Wp ( p) мае выгляд

Wр( p) = Wп( p) = Kp ,

дзе Kр – каэфіцыент перадачы рэгулятара.

f(p)

AК

Kf

Tр + 1

ЭП

AР

−

y(p)

g(p)

u(p)

Ku

Wp(p)

−

Tр + 1

+

Мал. 6. Структурная схема САР

21

Параметр Kр зададзены ў табл. 5. Перадатачная функцыя замкнёнай сістэмы па ўзрушэнні ў адпаведнасці з мал. 6 будзе

Φf ( p) = y( p) f ( p)

Тады для САР з П-рэгулятарам

−TpK+f 1

	Φf ( p) =
		1+ Kp	Ku
			Tp +1

=		−Wf ( p)
				.
		1+W	( p) W ( p)
		p	u

−K f
= Tp +1+ Kp Ku .	(10)

Для пабудовы пераходнай характарыстыкі выкарыстоўваецца ўраўненне

y(t) =	−K f μ	(1−e	−	1+K f	Ku	t	) .	(11)
				T
	1+ Kp Ku

Вызначым новае ўсталяванае значэнне выхаднога параметра:

yустп =−

K f μ

=

−4,5 2 10−2

=−2,2510−2 м.

1

+ Kp Ku

1+2 1,5

Абазначым

1+ Kf Ku

T ' =

1+2 1,5

–1

=

10

=0,4 с .

T

Моманты адліку часу t вызначым так, каб на графіку было 10…15

разліковых пунктаў, г. зн.

t =

tmах

=

12,5

=1,25...0,83 с.

10...15

10...15

Вызначым t =1 с.

Вынікі разлікаў прывесці ў выглядзе табліцы, падобнай да табл. 5, і пабудаваць графік пераходнага працэсу. Такі графік, пабудаваны па формуле (11), прыведзены на мал. 7.

Вызначэнне працягласці пераходнага працэсу. Час пераходнага працэсу tп вызначаецца як час, за які выхадны параметр y(t) пасля падачы абураючага ўздзеяння будзе адрознівацца ад новага ўстойлівага значэння на загадзя вызначаную велічыню δ, г. зн.

y − yуст ≤δ.

22

у, м

0

–0,01

–0,02

tпn = 9,5 с

5

10

15

t, с

σ σ

Мал. 7. Графік пераходнага працэсу ў сістэме з П-рэгулятарам

Звычайна прымаюць δ = 0,05yуст, дзе yуст – усталяванае значэнне

адхілення выхаднога параметра.	Тады	для аб’екта кіравання
δАК = 0,05 yустАК = 0,05 0,09 = 0,4510−2	м, а для САР з П-рэгулятарам
δП = 0,05 yустП = 0,05 2,25 10−2 = 0,112510−2		м.

Адзначым на графіках пераходных працэсаў (мал. 5 і 7) зону, абмежаваную велічынямі +δ і −δ адносна новага ўсталяванага значэння. Потым знойдзем пункт ўваходу крывой пераходнага працэсу ў гэтую зону. Такі пункт і будзе вызначаць заканчэнне пераходнага працэсу. Для аб’екта кіравання без рэгулятара tПАК = 30 (мал. 5), а для САР з П-рэгулятарам tПП =9,5 с (мал. 7).

Вывад: выкарыстанне П-рэгулятара дазволіла паменшыць час пераходнага працэсу ў параўнанні з аб’ектам без рэгулятара з 30 да 9,5 с і

паменшыць усталяванае значэнне адхілення выхаднога параметра ў (1+ Kp Ku ) разоў, г. зн. з −9 10–2 да −2,25 10–2 м. Наяўнасць астаткавага

адхілення выхаднога параметра (статычнай памылкі) з’яўляецца характэр- найасаблівасцюсістэмзаб’ектамзададзенагатыпуіП-рэгулятарам.

Заданне 3

Патрабуецца: 1. Вызначыць матэматычную мадэль АК у выглядзе структурнай схемы і перадатачныя функцыі АК па каналах кіравання і

23