Тема 2. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

Важнейшими видами балансовых моделей являются: частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей; межотраслевые балансы; матричные техпромфинпланы предприятий и фирм.

Балансовые модели относятся к типу матричных экономикоматематических моделей. В матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое выражение.

В модели межотраслевого баланса все народное хозяйство представляется в виде совокупности n отраслей (промышленность, сельское хозяйство и т.д.), каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая. При построении балансовых моделей используется понятие чистой (или технологической) отрасли, то есть условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта, независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм.

Обозначения: xij — межотраслевые потоки продукции, где i и j — соответственно номера отраслей производящих и потребляющих; X i — валовой выпуск продукции i -й отрасли; Yi — конечная продукция i -й отрасли, i =1, n , j =1, n .

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса (МОБ) составляет технологическая матрица, содержащая ко-

	эффициенты прямых затрат на производство единицы продукции
	где	A = (aij )n×n ,						(2.1)
	aij =	xij	, i =		, j =		.	(2.2)
				1, n		1, n
		X j

Коэффициент прямых затрат aij показывает, какое количество

продукции i -й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j -ой отрасли. Коэффициент

прямых затрат является довольно стабильной величиной во времени.

26

Из формулы (2.2) следует, что межотраслевые потоки продукции можно определить по формуле:

xij = aij X j , i =		, j =				.	(2.3)
	1, n			1, n
Систему уравнений баланса можно записать в виде
n
X i = ∑aij X j +Yi , i =			1, n		,		(2.4)
j=1
или в матричной форме
X = AX +Y ,							(2.5)
где X — вектор-столбец валовой продукции и Y — вектор-столбец
конечной продукции.							экономико-
Система уравнений (2.4) или (2.5) называется

математической моделью межотраслевого баланса (моделью «за-

траты—выпуск», моделью Леонтьева).

С помощью балансовой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• задавая в модели величины валовой продукции каждой отрас-
ли (X i ), можно определить объем конечной продукции каждой отрас-
ли (Yi )
Y = (E − A)X ;	(2.6)
• задавая величины конечной продукции всех отраслей	(Y ),
можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xii )
X = (E − A)−1Y ;	(2.7)

• для ряда отраслей — задавая величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей — объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом случае удобнее пользоваться системой уравнений (2.4).

В формулах (2.6) и (2.7) E — единичная матрица, а (E − A)−1 — матрица, обратная матрице (E − A). Обозначив обратную матрицу че-

рез B , модель (2.7) можно записать в виде
X = BY .	(2.8)

Матрица B = (bij )n×n есть матрица коэффициентов полных зат-

рат.

27

Коэффициенты полных затрат bij показывают, сколько всего

нужно произвести продукции i -й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j -й отрасли.

Коэффициенты полных затрат можно применять тогда, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

n
∆X i = ∑bij ∆Yj , i =1, n ,	(2.9)

j=1

где ∆X i , и ∆Yj , — изменения (приросты) величин валовой и конечной

продукции соответственно.

Полученные результаты можно представить в виде балансовой таблицы:

Таблица 6

Потребляющие

Продукция

отрасли

1

...

n

Производящие

Конечная, Y

Валовая, X

отрасли

1

Плановые объёмы

Y1

X1

межотраслевых

...

...

...

поставок:

n

Yn

X n

xij

Z

Z1

...

Zn

n

n

∑Z j

= ∑Yi

j=1

i=1

X

X1

...

X n

∑X i

i

Здесь

n

Z j = X j − ∑xij , j

=

1, n

(2.10)

i=1

n

n

условно чистая продукция,

а ∑Z j

= ∑Yi ─ балансовое соотноше-

j=1

i=1

ние данной модели.

28

На практике обычно известен вектор спроса Y . Задача межотраслевого баланса заключается в определении вектора выпуска X так, чтобы удовлетворить спрос. По смыслу задачи все X i ≥ 0 .

Модель (2.4) является продуктивной, если положительное решение системы (2.4) существует для любого неотрицательного вектора Y . По физическому смыслу задачи все aij ≥ 0, причем все aii <1.

Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат была продуктивной, необходимо о достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных условий:

1)матрица (E − A)−1 неотрицательна, т.е. имеет все неотрицательные коэффициенты;

2)матричный ряд E + A + A2 +K сходится, причем его сумма равна обратной матрице (E − A)−1 .

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат A является продуктивной, то из условия 2) продуктивности следует, что

существует матрица B = (E − A)−1 , которая является суммой сходяще-

гося матричного ряда:								(2.11)
	B = (E − A)−1	= E + A + A2 +K.
Косвенные затраты. Затраты A1 = A A называются косвенны-
ми затратами первого порядка,				второго			– A2 = A A1 ,	третьего –
A3 = A A2 . Тогда можно вычислить полные материальные затраты по
приближенной формуле:							~
~	1	+ A	2	+ A	3			(2.12)
B	= (E + A) + (A					) = (bij )n×n .

Относительные погрешности вычислений составят (в процен-

− ~

тах): bij bij ×100% .

bij

Пример. Народное хозяйство представлено тремя отраслями: 1) тяжёлая промышленность; 2) лёгкая промышленность; 3) сельское хозяйство. За отчётный год получены данные о межотраслевых поставках xij и векторе объёмов конечного потребления Y0 .

Необходимо рассчитать:

1) матрицу коэффициентов прямых материальных затрат A = (aij ) , матрицу «затрат-выпуска» (E − A) и вектор конечного по

29

требления Y для заданного вектора валовых выпусков Х. Результаты представить в виде балансовой таблицы;

2) матрицу коэффициентов полных материальных затрат B = (bij ) и валовые объёмы выпуска X пл для заданного вектора ко-

нечного потребления Yпл. Определить плановые объёмы межотраслевых поставок (xij )пл и пояснить, как валовые объёмы выпуска про-

дукции (X пл )i , i =1, n распределились между отраслями. Результаты представить в виде балансовой таблицы;

3)приросты валовых объёмов выпуска, если конечное потребление изменится на ∆Yi процентов по сравнению с Yпл;

4)матрицы коэффициентов косвенных затрат первого A1 ,

второго A2 и третьего порядка A3 , сравнить сумму затрат

( E + A + A1 + A2 + A3 ) с полными затратами В, найти относительные погрешности.

Данные приведены в табл.7

Таблица 7

	№		Межотраслевые потоки Х			Y0	X	Yпл
отрас-		1		2	3				∆Y0 , %
	ли
1		80		15	25	80	300	150	+10
2	10		60		5	225	400	300	-10
3	10		30		30	30	400	50	+50

Решение.

1.По данным задачи находим вектор объёмов валовых вы-

		80	+15	+ 25 +80			200
пусков	X 0		+ 60	+5 + 225			300
		= 10				=		.
			+30	+30 +30			100
		10

Находим матрицу коэффициентов прямых затрат по формуле

(2.1):

30

				80				15			25
				200				300			100						0,4		0,05			0,25
		A =		10				60			5
														=		0,05			0,2			0,05		.
				200				300			100
																0,05				0,1		0,3
				10				30			30
								300
			200								100
Матрица «затраты-выпуск» примет вид:
	1	0	0				0,4 0,05						0,25						0,6			−0,05			−0,25
	0	1	0				0,05				0,2		0,05						−0,05			0,8			−	0,05
(E − A) =				−														=									.
	0	0	1				0,05				0,1			0,3					−0,05			−0,1			0,7
Новый вектор конечного потребления найдем по данному век-
тору валовых выпусков X (формула (2.6)):
								0,6				− 0,05					− 0,25					300			60
								− 0,05			0,8						− 0,05					400			285
Y = (E − A)X =																				×			=			.
								− 0,05				−	0,1					0,7				400			225

Чтобы построить таблицу МОБ на расчетный период нужно определить межотраслевые потоки. Для этого воспользуемся формулой

(2.3):

x11		= 0,4 ×300 =120; x12		= 0,05×400 = 20; x13				= 0,25×400 =100 ;
x21		= 0,05 ×300 =15 ; x22		= 0,2 ×400 = 80 ; x23				= 0,05×400 = 20 ;
x31		= 0,05×300 =15; x32		= 0,1×400 = 40 ; x33 = 0,3×400 =120 .
		Валовая добавленная стоимость (условно чистая продукция) на-
ходится по формуле (2.10).
		Межотраслевой баланс на расчетный период представлен в таб-
лице:
									Таблица 8
	Потребляющие		1		2	3		Продукция
	отрасли
							Конечная, Y
	Производящие								Валовая, X
	отрасли
								60
		1	120		20	100			300
								285
		2	15		80	20			400
								225
		3	15		40	120			400

31

Z	150	260	160	570
X	300	400	400		1100

2. Найдем матрицу коэффициентов полных материальных затрат B путем обращения матрицы (E − A) (см. Приложение 3):

		1,735	0,187	0,633
B = (E − A)−1		0,118	1,273	0,133
	=				.
		0,14	0,196	1,492

Объем производства валовой продукции X nл при заданном объеме конечной продукции Ynл в плановом периоде можно определить

двумя путями: 1) используя модель (2.4), и тогда для данной задачи появится система уравнений:

X1	= 0,4X1 + 0,05X 2					+ 0,25X 3 +150,
	= 0,05X1 + 0,2X 2					+ 0,05X 3		+300,
X 2
	= 0,05X1 + 0,1X 2					+ 0,3X 3 +50,
X 3
Решив данную систему уравнений, получим объемы валовой
продукции в плановом периоде X1 ,								X 2 , X 3 :
		348,183			348
X пл		406,409			406
	=			≈			.
		154,357			154

2) используя модель (2.8), имеем
	348,183			348
	406,409			406
X nл = (E − A)−1Ynл = BYnл =			≈		.
	154,357			154

Результаты, полученные в обоих случаях, должны совпадать, если вычисления проведены верно (небольшое отклонение возможно за счет округления).

При выполнении контрольной работы достаточно выполнить вычисления одним из указанных способов.

Чтобы построить таблицу МОБ на планируемый период нужно определить межотраслевые потоки. Плановые объёмы межотраслевых потоков найдем из уравнения (2.3):

x11 = 0,4 ×348 =139 ; x12 = 0,05×406 = 20 ; x13 = 0,25×154 = 39; x21 = 0,05×348 =17 ; x22 = 0,2 ×406 = 81; x23 = 0,05×154 = 8 ;

32

x31 = 0,05×348 =17 ; x32 = 0,1×406 = 41; x33 = 0,3×154 = 46 .

Валовая добавленная стоимость (условно чистая продукция) находится по формуле (2.10).

Межотраслевой баланс на плановый период представлен в табл. 9.

									Таблица 9
Потребляющие		1	2	3		Продукция
отрасли
Производящие						Конечная, Y			Валовая, X
отрасли
1		139	20	39		150			348
2		17	81	8		300			406
3		17	41	46		50			154
						500
Z		174	264	62
X		348	406	154					909
3.	Так как по условию задачи					Y1 должно увеличиться на

10%, Y2 ― уменьшиться на 10%, а Y3 ― увеличиться на 50%, то ком-

поненты нового вектора конечного потребления будут равны:

Y1 +∆Y1 =150 +0,1×150 =165,

15

Y2 + ∆Y2

= 300 −0,1×300 = 270 ,

−30

где ∆Y =

,

25

Y3 + ∆Y3

= 50 + 0,5 ×50 = 75

,

Прирост валовых объёмов выпуска, соответствующий новому

вектору конечного потребления найдем по формуле:

36,23

∆X = (E − A)−1 ∆Y = B∆Y =

−

33,137 .

33,57

равны A1 = A A,

4. Косвенные затраты первого порядка

второго ― A2 = A A1 ,

третьего –

A3 = A A2 . Найдём сумму затрат

~

1

2

+

A

3

~

)n×n

и сравним с полными затратами:

B

= (E + A) + (A + A

) = (bij

33

													0,175				0,056	0,178
				A1	=	A A =							0,033				0,048	0,038
																				,
														0,04			0,053	0,108
														0,082			0,038	0,01
			A2		=	A			A1	=				0,017			0,015	0,022
																					,
														0,024			0,023	0,045
														0,04			0,022	0,052
			A3		= A				A2	=				0,009			0,006	0,012
																					.
														0,013			0,01
																		0,021
	Тогда матрица полных											материальных затрат по формуле (2.11)
																1,7	0,16	0,58
равна	~	= E + A +		1	+	A		2	+	A	3					0,11	1,27	0,12
	B			A									=						.
																0,13	0,19	1,47
	Относительные погрешности составят (в процентах):
			b		~										2,24		12,53	8,47
				− b
			ij		ij		×100% =								7,46		0,44	9,06		[%].
				bij
															9,72		4,76	1,32

34