Левданский_Прикладная механика

31

Определение перемещений при кручении

Если на участке бруса крутящий момент и полярный момент инерции бруса постоянны, то угол закручивания – угол относительного поворота концевых сечений этого участка (в радианах) определяется по закону Гука

M k l

GI p

где l – длина рассматриваемого участка; G – модуль сдвига.

Если брус ступенчатый и крутящий момент скачкообразно изменяется по его длине, то полный угол закручивания бруса, т.е. взаимный угол поворота его концевых сечений, может быть определен суммированием углов закручивания по участкам, в пределах которых Mk и Ip постоянны

1		M k l
G		I p

Угол закручивания на единицу длины бруса называется относительным углом закручивания. Он обозначается θ и определяется из выражений

d		M k
dx		GI p

Расчет брусьев на прочность при кручении

Условие прочности бруса состоит в том, что наибольшее касательное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемого касательного напряжения. τmax ≤ [τ]

Превышение наибольшего рабочего напряжения над допускаемым разрешается в пределах 5 %.

Расчеты на прочность бывают двух видов 1. Проверка почности

M k

max Wp

2. Подбор сечения

M max

Wp k

Расчет на жесткость

Для нормальной работы бруса и связанных с ним деталей он должен иметь достаточную жесткость, т.е. наибольший относительный угол закручивания бруса не должен превышать допускаемого.

Условие жесткости бруса

	Mkmax
max	GI p

где [θ] – допускаемый относительный угол закручивания.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

32

ИЗГИБ

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях балки действует изгибающий момент.

Виды изгибов.

В зависимости от наличия в поперечных сечениях силовых факторов различают следующие виды изгиба:

а) чистый, когда в поперечных сечениях действует только один изгибающий момент M, а все другие силовые факторы отсутствуют;

б) поперечный, когда в поперечных сечениях одновременно с изгибающим моментом M действует поперечная сила Q;

в) продольный и продольно поперечный, когда в поперечных сечениях одновременно с изгибающим моментом M действует нормальная N и поперечная Q силы.

Y

N

    Z

N

Каждый вид изгиба, в свою очередь может быть прямым или косым, при этом косой изгиб бывает плоский и пространственный. Рассмотрим рис. Пусть NN – след плоскости, в которой действует полный изгибающий момент, а оси Y и Z главные центральные оси сечения. Если угол α=0 или α=90°, изгиб называют прямым, если α≠0 и α≠90°, изгиб называют косым.

Косой изгиб, когда α=const по длине балки, называется плоским; когда α≠const, называется

пространственным.

Напряжения в поперечных сечениях балки при чистом изгибе

Рассмотрим балку, имеющую продольную плоскость симметрии, в которой действуют все внешние силы. В данном случае перемещения при изгибе будут так же происходить в плоскости симметрии.

		Рассмотрим	участок	балки,
М	М	испытывающий чистый изгиб. Нанесем на его
		поверхности сетку. Под действием внешних
		моментов M балка как будет показано позже,
		изогнется по дуге окружности. Деформацию
		балки при чистом изгибе можно рассматривать
		как поворот плоских поперечных сечений друг
		относительно друга на некоторый угол.
		Так как при деформации верхние волокна
		удлиняются, а нижние укорачиваются, то будет
		существовать слой,	в котором	волокна

сохранят свою длину. Этот слой называют нейтральным слоем. Пересечение нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения.

Изобразим элемент балки длиной dx после деформации.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

33

c

M a

y

N

	Y
d	Z
	M
b
	N

Обозначим: NN – нейтральный слой; О – центр кривизны нейтрального слоя; – радиус кривизны нейтрального слоя; d – угол между сеченьями. Из рисунка видно, что

1 d

dx

Выделим на расстоянии y от нейтрального слоя волокно cd. Так как до деформации все волокна элемента имели длину dx=ab, то относительная продольная деформация волокна cd в результате изгиба будет равна

cd ab		y d	d		1	y
ab		d

где 1 – кривизна принимаемая по абсолютной величине, без учета знака.

Из формулы видно, что относительные продольные деформации прямопропорциональны кривизне нейтрального слоя и расстоянию y волокна от нейтрального слоя.

Поскольку продольные линейные деформации сопровождаются поперечными деформациями: при растяжении сужением, а при сжатии

расширением в поперечном направлении т.е. z x то

первоначально прямоугольное сечение превращается в сечение трапециидальной формы.

Так как при чистом изгибе Q=0; Mk=0, то в поперечных сечениях отсутствуют касательные напряжения, а значит, между продольными волокнами отсутствует взаимодействие.

На основании закона Гука нормальные напряжения в сечении будут

x x E	Ey
	(а)

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

34

Y
	Z
+
-

	Y	Z
	dA

x

y

Из формулы видно, что:

а) напряжения в поперечном сечении балки

изменяются по линейному закону;
б)	напряжения	в	волокне	прямо

пропорциональны расстоянию от волокна до нейтральной оси (на рисунке ось Z);

в) максимальные напряжения возникают в крайних волокнах сечения.

Распределенные по сечению напряжения должны дать относительно поперечной оси Z-Z пару сил с моментом, равным изгибающему моменту, действующему в данном сечении. Выделим элементарную площадку dA на расстоянии y от нейтральной линии. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой, действующий на площадку относительно нейтральной линии

будет	dM x ydA

Полный изгибающий момент в сечении найдем, проинтегрировав выражение по всей площади сечения

M

x ydA

Ey

ydA

A

A

Так как кривизна и модуль упругости постоянны

M

E

y 2dA

E

I

z

A

откуда

1 M

(б)

EI z

так как E=const; Iz=const то 1/

=сonst. Следовательно, балка изгибается по

дуге окружности радиусом .

Произведение EIz – называется жесткостью поперечного сечения балки при изгибе.

Так как в поперечном сечении отсутствует нормальная сила N, то интеграл от элементарной силы σxdA, действующей на площадку dA, взятый по всей площади сечения, должен быть равен нулю.

N	x dA	Ey	dA	E	ydA 0
A	A				A

но	E	0,	тогда ydA 0	Известно, что ydA Sz –
			A	A

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

35

статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси Z-Z. Так как Sz=0, то нейтральная ось Z-Z проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Подставляя формулу (б) в формулу (а), получим расчетную формулу, позволяющую определить напряжения в любой точке поперечного сечения балки

My

x	I z

Наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси

	Mymax			M	где Wz	I z	– осевой момент сопротивления
max	I		W			ymax
		z
				z

ymax – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения.

	Если сечение симметрично относительно оси Z, ymax	h	где h – высота
		2

сечения. Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то для крайних верхних и нижних точек сечения в формулу подставляются величины

	В	I z			Н	I z
	Wz			;	Wz
		y В				y Н
		max				max
где ymaxВ	– расстояние		от		нейтральной оси до крайних верхних точек

сечения; YmaxН – расстояние от нейтральной оси до крайних нижних точек сечения.

Напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе

При поперечном изгибе, в соответствии с внутренними силовыми факторами, в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения, вызывающие давление продольных волокон друг на друга. Наличие касательных напряжений вызывает в каждой элементарной площадке сечения появление угловых деформаций. Точные расчеты с использованием теории упругости показывают, что искривление поперечных сечений незначительно отражается на величине нормальных напряжений, определяемых по формулам для чистого изгиба.

Расчет балок на прочность при изгибе

Практика показывает, что в балках имеющих сплошное поперечное сечение, а также сечения с достаточно толстыми стенками, опасными являются крайние точки в опасном сечении, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение. В этих точках касательные напряжения

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

36

отсутствуют, поэтому практический расчет балок на прочность производят по условию прочности без учета касательных напряжений.

Используя известные уравнения можно вычислить нормальные σ напряжения, возникающие в любой точке сечения, если известен изгибающий момент для этого сечения. Нормальные напряжения максимальны в крайних точках сечения и равны нулю на нейтральной оси. Следовательно, опасной точкой может быть точка, расположенная в крайних волокнах сечения, где действует наибольший изгибающий момент, и условие прочности запишется в виде

M max

max Wz

где [σ] – допускаемое напряжение.

Если материал не одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности должны удовлетворять отдельно

max

p

min

c

где [σp] и [σc] – соответственно допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Рациональные формы сечений балок при изгибе

Выбор поперечного сечения балки определяется материалом, характером внешней нагрузки и условиями работы конструкции. Сечение балки считается рациональным, если оно обеспечивает необходимую прочность при минимальном весе (площади поперечного сечения). Согласно условию прочности наиболее рациональной формой сечения является та, для которой при постоянной площади осевой момент сопротивления имеет наибольшее значение. Рассмотрим прямоугольное сечение

a

	Y			Y
				a
			Z	Z
				a
a		a		a

	I z		2a	a	3		a	3		I z		a 2a	3		2
Wz									Wz							a	3
	ymax	12		a		3
										ymax		12 a		3
				2

Прямоугольное поперечное сечение, при сохранении площади, становится более рациональным с увеличением высоты. Этот вывод справедлив только для балок, изготовленных из пластичного материала, оказывающего одинаковое сопротивление при растяжении и сжатии. Для

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

37

балок из хрупкого материала, у которого допускаемое напряжение на растяжение [σp] значительно меньше допускаемого напряжения на сжатие [σc], целесообразно применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси, при этом наивыгоднейшей формой будет такое, у которого расстояния h1 и h2 от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых

	Y	[ ]
		c
1		-
h
		Z
2		+
h
		[ ]p
волокон будут пропорциональны допускаемым напряжениям на растяжение
и сжатие
h1		c
h2		p
СЛОЖНОЕ НАГРУЖЕНИЕ

Ранее рассмотренные виды нагружения являются простыми. На практике часто детали конструкций подвергаются действию нагрузок, создающих различные комбинации из простых нагружений (в поперечных сечениях одновременно действует несколько видов силовых факторов). Расчет таких видов нагружения производится на основе принципа независимости действия сил. Когда действующие в сечении внутренние силовые факторы создаются одним видом напряжений, трудностей с расчетом не возникает. Когда в сечении возникают одновременно нормальные и касательные напряжения необходимо использовать теорию прочности, наиболее адекватно описывающую напряженное состояние возникающее при рассматриваемом виде нагружения.

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором под действием внецентренно приложенной продольной внешней нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно действуют нормальная сила и изгибающий момент.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

38

Рассмотрим брус произвольного поперечного сечения. Пусть в точке К

с координатами ZF

и YF

относительно главных центральных осей Z и Y,

приложена продольная растягивающая сила F (данная сила может являться

равнодействующей всех внешних сил). Координаты

F

Y

ZF и YF точки приложения силы F называются

Z B

эксцентриситетом этой силы относительно главных

ZF

К

Y

осей

сечения, а

точка

К приложения

силы F

Y

F

Z

полюсом. Случай нагружения бруса продольными

силами, приложенными в центре тяжести сечения,

ранее уже рассматривался. Заданную силу F можно

представить приложенной к центру тяжести

сечения, но в этом случае необходимо учитывать и

два момента создаваемых силой F относительно

осей Z иY. Величины этих моментов определяются

по

зависимостям

M z

FYF ;

M y

FZF .

Таким

образом, внецентренное растяжение (сжатие) можно рассматривать как нагружение бруса центральной растягивающей (сжимающей) силой и моментами относительно

осей Z и Y. В любом поперечном сечении бруса будет действовать нормальная сила, равная F, и изгибающие моменты, равные внешним моментам Mz и My. Определим величину нормального напряжения в произвольной точке В с координатами Z и Y, которое на основании принципа независимости действия сил равно сумме напряжений от нормальной силы и изгибающих моментов.

F M Z Y MY Z F FYF Y FZF Z

A I Z IY A I Z IY

В полученном выражении два последних слагаемых разделим и умножим на площадь сечения А.

F		FAYF Y		FAZF Z		F	1	AYF Y		AZF Z
A		AIZ		AIY		A		IZ		IY

Воспользовавшись понятием радиуса инерции (раздел геометрические характеристики) можно окончательно записать

F	1	YF Y		ZF Z
A		i2		i2
		Z		Y

В полученной формуле численное значение силы F подставляется с соответствующим знаком в зависимости от того растягивающая эта сила или сжимающая, и все координаты со своим знаком. При использовании этой формулы необходимо помнить, что все входящие в нее геометрические характеристики (площадь, радиусы инерции, координаты) должны быть найдены относительно главных центральных осей того сечения, которому принадлежит исследуемая точка.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

39

Нейтральная линия

Так как в поперечных сечениях бруса действует изгибающий момент,

то

в

общем

случае

(как и

при изгибе) в сечениях имеются как точки

испытывающие растяжение, так и точки испытывающие сжатие. Определим

положение точек разделяющих сечение на область испытывающую

растяжение

и

область испытывающую сжатие,

т.е.

точки

в которых

F

Y

напряжение равно нулю. Приравняв нулю

растяжение

выражение

для

определения

напряжений

н.л.

получаем, что отношение силы к площади

- + Z

c

Z

поперечного сечения не может быть равно

сжатие

C

Y

D

нулю, следовательно равно нулю выражение

стоящее в скобках.

D

Выражение

в

скобках

является

прямой

1

YF Y

ZF Z

0

i

2

i2

Z

Y

линией, и она называется нейтральной.

Положение

прямой

определяется

двумя

точками. В общем случае любая прямая имеет точки пересечения с осями

координат. Воспользуемся этим для определения положения нейтральной

линии. Точка D пересечения нейтральной линии с осью Y будет иметь

координаты Z D

0 ;YD

iZ2

, а точка С пересечения нейтральной линии с осью

YF

Z будет иметь координаты Y

0 ; Z

i 2

Из

полученных

уравнений

D

Y .

C

Z F

следует:

а) при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения;

б) положение нейтральной линии не зависит от величины и знака внешней нагрузки F;

в) нейтральная линия и полюс расположены по разные стороны от центра тяжести сечения;

г) нейтральная линия может как пересекать сечение, так и располагаться за его пределами.

Когда нейтральная линия пересекает сечение – в сечении возникают растягивающие и сжимающие напряжения, когда она проходит за пределами сечения – в сечении напряжения будут одного знака.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

40

Условие прочности

Условие прочности как и при любом виде нагружения заключается в

том, что бы в наиболее опасной точке тела величина

Y

S

напряжения не превышала допускаемой величины.

Наибольшие

напряжения

в

поперечном

сечении

н.л.

возникают

в

точках

наиболее

удаленных

от

Z

нейтральной линии. Поэтому для определения

L

положения

опасных точек

необходимо

построить

нейтральную линию, затем определить наиболее

удаленные от нее точки S и L, замеряя расстояния по

проведенным

перпендикулярам

к

нейтральной

линии.

Найденные

точки

и

будут

наиболее

опасными. Условия прочности для нашего случая

имеют следующий вид

p

F

1

YFYS

ZF ZS

max

S

A

i

2

i2

p

Z

Y

c

F

1

YFYL

ZF ZL

max

L

A

i

2

i2

c

Z

Y

Ядро сечения

Ядром сечения называют область, расположенную вокруг центра

тяжести

поперечного сечения,

обладающая тем свойством,

что внешняя

нагрузка, приложенная в любой ее точке вызывает во всех точка сечения

напряжения одного знака.

Y

Рассмотрим

поперечное

сечение,

на

котором

прямая

n-n

представляет

ZB

B

нейтральную

линию,

соответствующую

n

Z0

B

полюсу

В.

Координаты

любой

точки

С,

Y

Z

лежащей

на

нейтральной

линии,

C

Y

ZC

0

удовлетворяет уравнению нейтральной линии

C

Y

1

YF

YC

Z F

ZC

0

i

2

i 2

n

z

y

Если точку С принять за полюс, то

нейтральная линия пройдет через точку В. При перемещении полюса по

прямой n-n нейтральная линия будет вращаться вокруг точки В.

Следовательно для построения ядра сечения: необходимо

последовательно размещать полюс в характерных точках контура сечения

(например в вершинах углов) и для каждого полюса находить положение

нейтральной линии. Зона, ограниченная нейтральными

линиями, будет представлять ядро сечения. В том

D

случае,

когда

сечение

имеет

внутренние

углы,

например,

угол D, эти углы при обходе контура из

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.