Левданский_Прикладная механика

41

рассмотрения исключаются, так как через точку D нельзя провести нейтральную линию, чтобы она не пересекала сечения.

КОСОЙ ИЗГИБ

Брус испытывает косой изгиб если действующий в его поперечных сечениях полный изгибающий момент не лежит ни в одной из главных плоскостей этого бруса.

h

X

Y

Z

F1

F2

l

b

Y
Z
	F
q
		X
силовая
плоскость

Определение напряжений в поперечных сечениях бруса при косом изгибе

Для определения напряжений в поперечных сечениях бруса, воспользуемся принципом независимости действия сил. Запишем величины напряжений возникающих в точках B и D от силы F1 действующей в вертикальной плоскости. Запишем величины напряжений возникающих в точках B и D от силы F2 действующей в горизонтальной плоскости. Рассмотренные плоскости является главными плоскостями.

h

X

Y	B
		Z
	Y
	B
	D
D	Y
F1

	l
b	F1 l

M zYB

B Mz	I z
	M zYD
D Mz	I z

h

X

Y
zB	B
zD	Z
D

	F2
	l
b	F2 l

M y Z B

B My	I y
	M y Z D
D My
	I y

Воспользовавшись упомянутым принципом можно записать

	M zYB			M y Z B
B	I z				I y
	M zYD				M y Z D
D	I z				I y

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

c

min

Наибольшие

напряжения

p

max

42

В общем случае напряжение можно найти по формуле

M zY		M y Z
I z		I y

Изгибающие моменты положительны, если они создают в первой четверти растягивающие напряжения.

Определение положения нейтральной линии

Для определения положения нейтральной линии необходимо записать напряжение для первой четверти декартовой системы координат и приравнять их нулю.

	M zY								M y Z
										0
		I z							I y
Отсюда получим
Y		M y			I		z	Z tq Z
		M z			I y

Из полученной зависимости видно, что нейтральная линия проходит через

центр тяжести сечения и имеет угол

наклона с осью Z равный β. Если β<0

то угол откладывают по часовой

стрелке, если β>0 то угол откладывают

против часовой стрелки. В точках

наиболее удаленных от нейтральной

линии будут возникать наибольшие напряжения.

Условия прочности

напряжения не должны превышать допускаемые

max	p ;	min
p		c	c

Задачи, требующие для решения, записи условия прочности могут быть корректно решены, если в брусе будут найдены опасные точки, т.е. те в которых возникают наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения. Упрощенно данную задачу можно решить записав условие прочности для опасных сечений. Опасные сечения – те, в которых My и Mz имеют наибольшие значения.

Если сечения как в нашем случае симметричны относительно осей Z и Y в вершинах прямоугольника, в точках I и II, будут возникать наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

43

max

M zYI

M y Z I

p

I z

p

I y

M zYII

M y Z II

min

c

I z

I y

c

или

max

M z

M y

p

Wz

p

Wy

min

M z

M y

c

Wz

Wy

c

Если надо подобрать сечение балки из проката, то делается это методом постепенных приближений. Допускается перенапряжение 5%, а недонапряжение 10–15 %.

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ

Данному виду нагружения чаще всего подвергаются валы различных механизмов.

Предположим на валу закреплен шкив ременной передачи. Шкив испытывает внешние силовые воздействия от набегающей и сбегающей ветвей ремня равные S и 2S. В свою очередь вал воспринимает эти нагрузки в виде силы F и скручивающего момента T.

	D
2S	S
	F

F 2S S 3S T D2 2S S

Скручивающий момент Т вызывает в сечениях вала крутящий момент Мk. Сила F изгибающий момент и поперечную силу. Перечисленные силовые факторы вызывают появление в сечениях вала как нормальных, так и касательных напряжений. В указанной ситуации необходимо найти точку, в которой ранее других в материале детали наступает опасное состояние, и вести расчету с учетом обоих видов напряжений. Для выполнения таких расчетов разработаны теории прочности, в которых сложное напряженное состояние заменяется эквивалентным напряжением. Дальнейшие расчеты производятся по эквивалентному напряжению. Наибольшее распространение получили четыре теории прочности в их основе лежат следующие гипотезы:

1.опасное состояние наступает в результате достижения какимлибо главным напряжением (нормальное напряжение на площадке где не действуют касательные напряжения) предельного значения;

2.опасное состояние наступает в результате достижения относительной линейной деформацией предельного значения;

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

44

3.опасное состояние наступает в результате достижения касательным напряжением предельного значения;

4.опасное состояние наступает в результате достижения удельной потенциальной энергией формообразования предельного значения.

Для определения опасного сечения необходимо построить эпюры всех внутренних силовых факторов в главных плоскостях. Для чего действующие внешние нагрузки разлагают на составляющие. Поперечными силами, вызывающими при изгибе касательные напряжения можно пренебречь (ввиду их малости). Изгиб поперечных сечений вала в виду их полной симметрии (круг) будет происходить в плоскости действия полного изгибающего момента

M M 2	M 2
y	z

Опасным сечением вала считается то, где одновременно имеют наибольшее

	значение полный изгибающий момент			M и		крутящий		момент Mk. Для
	Y		определения		в	опасном		сечении опасной
			точки рассмотрим				эпюры распределения
	x max	P
			нормальных		напряжений			от	изгибающего
	B
		x max	момента М; и касательных напряжений от
	O	Z
			крутящего момента Mk. Как видно из
		X
	C		рисунка	опасные			точки	расположены		на
	P		поверхности вала. Валы изготавливают как
			правило	из		стали. Сталь			относят	к

пластичным материалам. Для пластичных материалов наилучшие результаты получаются при использовании для расчетов третьей или четвертой теории прочности.

Условие прочности по третьей теории прочности

	M 2 M 2			M	экв
	k	или
экв	Wz		экв	Wz

Условие прочности по четвертой теории прочности

	M 2 0,75M k2	или экв	M экв
экв	Wz		Wz

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Сжатые стержни ранее рассматривались в разделе центральное (осевое) растяжение (сжатие). В указанном разделе предполагалось, что стержни короткие и массивные, а потеря работоспособности наступает вследствие возникновения остаточных деформаций или разрушения.

Для длинных сжатых стержней необходимо учитывать, в какой форме равновесия они находятся. В деформированном состоянии равновесие между внешними и вызываемыми ими внутренними силами упругости может быть устойчивым и неустойчивым. Устойчиво оно если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

45

возвратиться к первоначальному состоянию. Упругое равновесие неустойчиво, если деформированное тело, будучи выведено из него какимлибо воздействием, приобретает стремление продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения, и после удаления воздействия в исходное состояние не возвращается. Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное тело может, как сохранить первоначально приданную ему форму, так и потерять ее от незначительного воздействия.

	Нагрузка,			превышение			которой вызывает потерю			устойчивости
F<Fk						F>F	первоначальной		формы		тела,
						k	называется критической.
								Потеря	устойчивости		при
							достижении этой нагрузки происходит
							очень	быстро,	и	предупредить
							(приостановить)			наступающие
							разрушения практически			невозможно.
							Для обеспечения определенного запаса
							устойчивости должно удовлетворяться
							условие F≤[F]; [F]= Fkp/ny где ny –
							коэффициент запаса устойчивости.

Критическая сила. Формула Эйлера

Рассмотрим прямой стержень, сжимаемый силами F. Полагаем, что отклонения от прямолинейной формы очень малы. Поэтому для решения задачи воспользуемся приближенным уравнением упругой линии

		EI minV	M
где Imin	–	минимальный момент инерции сечения, так как изгиб стержня
Y				всегда происходит		в плоскости
		x		минимальной жесткости.
				Изгибающий		момент	в
F		V	X	сечении с координатой x равен
		l		Подставляя	одну	формулу	в
				другую получим

				M FV
EI minV			FV	0
обозначим			F	2
			EImin
тогда уравнение примет вид	V		2V	0
решением уравнения будет	V	C1 sin		x C2 cos x

Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий При x=0 V=0 следовательно С2=0.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

46

Отсюда следует, что изогнутая ось является синусоидой с уравнением

V

C sin

x .

При x=l

V=0 из уравнения следует

C1 sin l 0

Случай С1=0 не интересует так как соответствует стержню с

прямолинейной формой.

Тогда sin

l 0 откуда l

n (где n – целое число)

n

или

2

2 n2

l

l 2

Тогда

F

2 n2

EI

min

l 2

Отсюда

F

2 n

2 EI

min

l 2

Наименьшее значение силы будет при n=1 тогда

Fkp	2 EI	min
	l 2

Полученная зависимость для определения величины критической силы носит название формулы Эйлера.

Влияние закрепления стержня на величину критической силы

Рассмотрим центрально сжатый стержень длиной l, защемленный одним концом. Форма равновесия показана на рисунке б. Сравнивая с предыдущим случаем можно сказать, что стержень длиной l с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 2l с шарнирно защемленными концами. Тогда критическая сила

Fkp	2 EI	min
	4l 2

Для стержня с двумя защемленными концами форма изгиба представлена на рис г. Для этого случая критическую силу можно найти по формуле

Fkp	2 EI	min	4		2 EI	min
	l 2				l 2
	4

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

47

	F	F	F	F
F
			точки
			перегиба
	l
				симметрия

l

а б в г д Раннее рассмотренный первый случай крепления стержня называют

основным. Для придания универсальности формуле Эйлера ее записывают в следующем виде

	Fkp	2 EI min
		l	2

где μ – коэффициент приведения длины. Коэффициент приведения длины можно определить по зависимости k1 ; где k – количество полуволн

синусоиды которыми описывается форма изгиба сжатого стержня. Критическое сжимающее напряжение может быть найдено по

зависимости

	Fkp			2 EI min
kp	A			l 2 A
Если воспользоваться величиной				гибкости стержня определяемой по

зависимости l ; формула для определения критического напряжения

imin

	может быть записана в виде		2 E
		kp	2

Из формулы видно, что чем больше гибкость стержня тем меньше критическое напряжение.

Формула Эйлера выведена из уравнения упругой линии, для которой должен соблюдаться закон Гука. Следовательно, можно записать условие

	2 E		пц откуда пред		2 E
kp		2
					пц
Для стали Ст.3		Е=2·1011Па, σпц=200 МПа тогда λпред≥100. Для чугуна

λпред≈80, для дерева λпред≈110.

При гибкости стержней меньше λпред , формула Эйлера не применима, так как в этом случае продольный изгиб происходит при напряжениях больше σпц .

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

48

кр	прямая
т (в)
	Ясинского
пц	гипербола
	Эйлера
	пред

Для этих случаев Ясинским по экспериментальным данным были предложены формулы для определения критических напряжений

kp a b ; и kp a b c 2

где a,b,c – коэффициенты зависящие от свойств материала и имеющие размерность напряжения.

Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения Для стержней малой гибкости предельным напряжение является σт .

Для стержней малой гибкости, рассчитываемых на прочность по

предельному	напряжению		равному		пределу	текучести,	коэффициент
безопасности	nт равен		т	nт ;	где [σ]сж	– основное	допускаемое

сж

напряжение на сжатие.

Для стержней большой и средней гибкости предельным напряжением является критическое напряжение. Тогда коэффициент безопасности по

устойчивости nу

равен

kp

nу

у

Стержни

равноопасны

если

nт=

nу тогда

т

kp

; откуда

сж

у

kp

сж ;

где υ

–

коэффициент снижения основного

у

cж

т

допускаемого напряжения υ=(0–1), зависит от гибкости λ и для наиболее часто встречаемых материалов приведен в справочниках в виде таблиц.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.