ВМ 4 ИДЗ 1- 5 2009
.docВМ 4 ИДЗ 1 Найти и изобразить естественную область задания функций f1(x,y) = a; f2(x,y)= b
Вар - т |
|
a |
b |
|
|
|
|
1 |
|
arcsin ( (x + y) / (x – y) ) |
arcsin ( (x + 1) / √(x2 + y) ) + (lny) / (lnx) |
2 |
|
arcsin (x2 - y) + ln(x + y) ) |
√(lnx - lny2 ) |
3 |
|
arccos ( (x - y) / 2x ) |
(lnarcsin ( x / y) ) / (lnx) |
4 |
|
(ln (x - √(y2 + x))) / ln(y – x) |
arcsin log2( x + y2 ) |
5 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
6 |
|
√(arcsin x - arcsin y2) |
√ (arcsin (x / y) – 1) |
7 |
|
ln (1 - √(x/(1 + y))) |
arcsin ((x2 + x)/ 2) + √ (y2 – x2) |
8 |
|
√(ln(x – y) – ln(x + y)) |
√ ((lnarcsin x - 1) / ln arcsin (x + y) ) |
9 |
|
(√( lnx) +1) / ln(√y + 1) |
√( arcsin (x + y) / arcsin (x - y) – 1) |
10 |
|
√( lnx – lny + 2) |
√ (arctg2(x - y) - arctg(x - y) - 2) |
11 |
|
arcsin x - arccos(y2 – x) |
arcsin e ylnx |
12 |
|
arcsin √(x + 2) + ln(y2 – x2) |
√(x2 - y) + (ln(x + y2)) / lnarcsin(x - y) |
13 |
|
√(ln(x – y) – lnx) |
lnarccos(x – y) / ln√(x2 – y2 - 1) |
14 |
|
arcsin (1/x ) + √(x2 – y2) |
(lnarccos(x – y)) / ln((2arccos(x - y)) /π) |
15 |
|
arcsin (1 /(x + y)) + √(4 – x2 - y2) |
√( ln(x2 - y2 ) - ln(x - y)) |
16 |
|
arcsin (2arcsinx /π) |
√ (ln(x2 + y2) - ln(y + x)) |
17 |
|
ln(y /x) + √(y – tgx) |
√ ln(ln(1 - y) + ln(x - 1)) |
18 |
|
arcsin (y - x2) /arcsin(xy) |
ln√ (arcsin y - x) |
19 |
|
ln√(4 – x2 – y2) / lnx |
√(x2 - y) + ln(x2 – y2) / ln(x2 - 1) |
20 |
|
√(4 + x2 – y2) ln(xy) |
ln(4x2 + y2 - 9) / ln(x2 – y2) + arcsin(y /x) |
21 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
22 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
23 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
24 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
25 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
26 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
27 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
28 |
|
arcsin (x - y) + √(1 – lnx) |
√ (x + y) + √(x2 - y) + (lnx) / ln(y - x) |
ВМ 4 ИДЗ 2 Функция f(x,y) вычисляется в точке х ; у . Значения х и у известны с точностью до величин |∆x| u |∆y| .
Оценить абсолютную ∆ и относительную δ погрешности f(x,y).
Вар - т |
|
f(x,y) |
x |
y |
|∆x| |
|∆y| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(6x2 – 4xy + y2)* ex |
1,12 |
2,08 |
0,02 |
0,02 |
|
|
|
2 |
|
arctg[(2x + y) / (x + 2y)] |
1,34 |
1,61 |
0,03 |
0,03 |
|
|
|
3 |
|
(x2 y + y)* ln(x + y) |
2,86 |
1,47 |
0,03 |
0,02 |
|
|
|
4 |
|
(2x2 + xy) / (x2 + 4y2) |
1,63 |
1,92 |
0,02 |
0,03 |
|
|
|
5 |
|
(x2 y + y3)* exy+y2 |
2,06 |
-1,64 |
0,01 |
0,01 |
|
|
|
6 |
|
arctg[(x + 3y) / ( 3x + y)] |
1,14 |
1,36 |
0,01 |
0,02 |
|
|
|
7 |
|
(3x + y2 ) / (xy + 2x2) |
0,98 |
1,32 |
0,02 |
0,03 |
|
|
|
8 |
|
(2x2 + xy) ln(2x + y) |
1,36 |
2,61 |
0,02 |
0,03 |
|
|
|
9 |
|
arctg[(x + 4y) / (2x + y)] |
2,16 |
0,94 |
0,02 |
0,01 |
|
|
|
10 |
|
(3x2 y - y2)* exy+2 |
0,84 |
-0,64 |
0,01 |
0,01 |
|
|
|
11 |
|
arcsin[(x – y) / (x + y)] |
1,73 |
0,98 |
0,02 |
0,02 |
|
|
|
12 |
|
(x2 + 2xy) / (x2 + y2) |
0,84 |
0,94 |
0,03 |
0,03 |
|
|
|
13 |
|
x2 (y + 3)* ln(3x + y) |
1,09 |
1,62 |
0,02 |
0,02 |
|
|
|
14 |
|
(2xy + y2)* e4 -xy |
1,76 |
2,04 |
0,03 |
0,03 |
|
|
|
15 |
|
(x2 + 2y2)* ln(2x + 3y) |
1,48 |
2,14 |
0,01 |
0,02 |
|
|
|
16 |
|
arcsin[(x – 2y) / (x + 2y)] |
3,12 |
0,82 |
0,02 |
0,01 |
|
|
|
17 |
|
(2x2 – xy) / (2x2 + y2) |
4,06 |
2,02 |
0,02 |
0,02 |
|
|
|
18 |
|
arctg[(3x – y) / (3y - x)] |
1,62 |
1,84 |
0,02 |
0,02 |
|
|
|
19 |
|
(2x2 y + y2)exy-3 |
2,21 |
1,47 |
0,03 |
0,03 |
|
|
|
20 |
|
y2(x + 5) ln(3x + у) |
1,64 |
2,12 |
0,03 |
0,03 |
|
|
|
21 |
|
arccos[(2x + y) / (2x + 3y)] |
2,16 |
3,14 |
0,04 |
0,04 |
|
|
|
22 |
|
(2y2 + 3xy) / (4x2 + y2) |
5,12 |
4,18 |
0,04 |
0,05 |
|
|
|
23 |
|
(3xy2 + y)* e2-xy |
1,63 |
1,81 |
0,01 |
0,01 |
|
|
|
24 |
|
arctg[(2x + 3y) / (3x + 2y)] |
1,68 |
2,12 |
0,04 |
0,04 |
|
|
|
25 |
|
(2x2 y – y2)* ln(x + y) |
4,42 |
3,18 |
0,05 |
0,05 |
|
|
|
26 |
|
(4xy2 + y) / (2x2 + xy2) |
1,18 |
2,16 |
0,02 |
0,03 |
|
|
|
27 |
|
(3x2 + 2xy) ln(4x2 + xy + y2) |
2,14 |
3,12 |
0,03 |
0,03 |
|
|
|
ВМ 4 ИДЗ 3 Дана функция U(x,y,z) и точка М0. Найти grad U (M0) и производную ∂U/∂ℓ (M0) по направлению ℓ. Направление ℓ
может быть задано одним из способов: 1) векторным уравнением ℓ=mi + nj + pk ; 2) ℓ=MoNo и точка No; 3) углы с координатными осями.
Вар - т |
U(x,y,z) |
Mo |
1) |
2) |
3) |
|||||
|
|
|
m |
n |
p |
No |
α |
β |
γ |
дополн |
1 |
(x+z)/(1+√y) + arctg(yz) |
(2, 1, 1) |
|
|
|
|
|
π/4 |
π/3 |
1) |
2 |
ln(x2 + y2) – (x – z) / (z + y) |
(1, 1, 2) |
-1 |
2 |
-2 |
|
|
|
|
|
3 |
3√[(x/y) + 2z] + √x / (2y – 3z) |
(4, 1, 2) |
|
|
|
(0, 1, 5) |
|
|
|
|
4 |
arctg(xz) + [√z + √(xy)]/(1 + y2) |
(1, 1, 1) |
|
|
|
|
|
3π/4 |
2π/3 |
2) |
5 |
exp(2√x – z) + z2 / 3√(x – e) |
(4, 3, 4) |
2 |
-3 |
-2 |
|
|
|
|
|
6 |
arcsin(x/y) + (√x + y) / (z – y) |
(4, 5, 2) |
|
|
|
(5, 3, 3) |
|
|
|
|
7 |
z / 3√(4 – xy) + y*ln(x – z) |
(3, 1, 2) |
|
|
|
|
π/3 |
π/3 |
|
1) |
8 |
x*sin(y + 2z) + √[(xz – y) / z] |
(4, π/2, 3π/2) |
0 |
3 |
-4 |
|
|
|
|
|
9 |
y x-3√z + 4lny / (x – 4z) |
(5, 2, 1) |
|
|
|
(1, 5, 1) |
|
|
|
|
10 |
3 z2+2z *√(x + y) + (xy – 1) 2z+1 |
(2, 2, -1) |
-4 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
11 |
arctg(x – z) + (x + √z) / (z – y) |
(5, 2, 4) |
|
|
|
|
2π/3 |
2π/3 |
|
2) |
12 |
arccos(z/x) + yz /(x - √y) |
(5, 4, 3) |
|
|
|
(5, -8, 8) |
|
|
|
|
13 |
arcsin([x / (y + z)] - z / √(y + z) |
(7, 10, 15) |
1 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
|
14 |
ln(x + √(y2 + z2) + exp(z – x + y) |
(1, -3, 4) |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
15 |
z*tg(x – y) + √(2xyz) |
(π/2, π/4, 1) |
5 |
-12 |
|
|
|
|
|
|
16 |
(x – y) / 3√(z2 – x) + xz / y |
(1, -2, 3) |
|
|
|
(2, -3, 4) |
|
|
|
|
17 |
(√x - √y) 3z+1 |
(9, 4, 1) |
-2 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
18 |
3√[(z2 / x) + 3y] + (z – x) / (z – y) |
(2, 3, 6) |
|
|
|
(3, 4, 4) |
|
|
|
|
19 |
arctg(xy) + (√z + x) / (y2 + z) |
(2, 1, 4) |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
20 |
ln(y2 + z2) - √[(x – y) / (y + 1)] |
(9, 1, 1) |
|
|
|
|
3π/4 |
2π/3 |
|
1) |
21 |
cos√xy + z√(x/y) |
(π/2, π/2, π/2) |
-2 |
-1 |
-1 |
|
|
|
|
|
22 |
(z + 1) √(x2 – 3y) + 2 (x+y)/(x-y) |
(5, 3, 1) |
|
|
|
(9, 4, 1) |
|
|
|
|
23 |
arccos(y / x) + √(z – y) /(z – x) |
(15, 8, 17) |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
24 |
3√[(x/z) + y2] + ln(x2 + z) |
(4, -5, 2) |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
25 |
exp[(√x - √y)/(y-z)] + 5√(2x+y – 4cosπz) |
(4, 4, 3) |
|
|
|
(5, 6, 1) |
|
|
|
|
26 |
y*arctg√(z/x) + (y2 + 4y)√z / (z – x) |
(1, -2, 3) |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
27 |
sin3(x – y) + cos√(zx) |
(π/2, π/6, π/2) |
8 |
0 |
-15 |
|
|
|
|
|
28 |
(x + y2)z - 2z /(x2 – y) |
(-2, 2, -1) |
|
|
|
(3, 14, 1) |
|
|
|
|
1) все углы острые, 2) все углы тупые, 3) углы α = β = γ острые ; 4) ℓ направлен по биссектрисе первого координатного угла хоу; 5) α = γ острые и угол β = 2α
ВМ 4 ИДЗ 4 Найти экстремум функции f(x, y) = my3 + ax3 + bx2y + cxy2 +ex2 +gy2 + hx + ky + n
Вар - т |
m |
a |
b |
c |
e |
g |
h |
k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
5 |
5 |
3 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
3 |
15 |
15 |
27 |
0 |
27 |
3 |
0 |
1 |
0 |
3 |
18 |
18 |
60 |
0 |
20 |
4 |
8 |
0 |
6 |
0 |
-5 |
-20 |
0 |
6 |
1 |
5 |
8 |
0 |
6 |
0 |
-1 |
4 |
0 |
-10 |
-10 |
6 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
3 |
0 |
16 |
22 |
7 |
0 |
8 |
4 |
0 |
16 |
3 |
0 |
32 |
86 |
8 |
32 |
0 |
0 |
8 |
-3 |
-64 |
64 |
0 |
-340 |
9 |
0 |
3 |
1 |
0 |
-24 |
-2 |
0 |
128 |
-2000 |
10 |
1 |
0 |
0 |
1 |
6 |
8 |
128 |
0 |
690 |
11 |
0 |
3 |
1 |
0 |
3 |
1 |
0 |
-4 |
12 |
12 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
9 |
3 |
36 |
0 |
72 |
13 |
0 |
1 |
1 |
0 |
-2 |
-9 |
0 |
-54 |
-90 |
14 |
0 |
3 |
1 |
0 |
-6 |
-3 |
0 |
-54 |
-70 |
15 |
12 |
0 |
0 |
-2 |
3 |
24 |
108 |
0 |
900 |
16 |
0 |
4 |
2 |
0 |
9 |
1 |
0 |
1 |
1 |
17 |
12 |
0 |
1 |
0 |
3 |
108 |
0 |
180 |
60 |
18 |
0 |
2 |
-1 |
0 |
-16 |
-3 |
0 |
-128 |
-300 |
19 |
0 |
1 |
-2 |
0 |
3 |
36 |
0 |
72 |
18 |
20 |
0 |
32 |
0 |
54 |
48 |
-27 |
-360 |
0 |
-80 |
21 |
0 |
1 |
0 |
3 |
5 |
5 |
3 |
0 |
1 |
22 |
0 |
1 |
0 |
3 |
15 |
15 |
27 |
0 |
27 |
23 |
0 |
1 |
0 |
3 |
18 |
18 |
60 |
0 |
20 |
24 |
8 |
0 |
6 |
0 |
-5 |
-20 |
0 |
6 |
1 |
25 |
8 |
0 |
6 |
0 |
-1 |
4 |
0 |
-10 |
-10 |
26 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
3 |
0 |
16 |
22 |
27 |
0 |
8 |
4 |
0 |
16 |
3 |
0 |
32 |
86 |
28 |
32 |
0 |
0 |
8 |
-3 |
-64 |
64 |
0 |
-340 |