Электромагнетизм

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА К ЕГО МАССЕ МЕТОДОМ МАГНЕТРОНА

Цель работы – измерить e / m электрона методом магнетрона.

Краткие сведения из теории

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила, которую называют магнитной:

F = q[υB],

где q – заряд частицы; υ – ее скорость; B – индукция магнитного поля.

Эта сила направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы υ и B . Модуль магнитной силы

F = qυBsin α,

где α – угол между векторами υ и B .

Траектория движения заряженной частицы в магнитном поле определяется его конфигурацией, ориентацией вектора скорости и отношением заряда частицы к ее массе.

Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, то сила, действующая на заряженную частицу, называется силой Лоренца и определяется как

F = q(E +[υB]),

где E – напряженность электрического поля.

Приборы и оборудование

ФПЭ-03 – модуль; ИП – модуль питания; РА – миллиамперметр (рис. 15.1).

20

ФПЭ-03

РА

		РА
	А В	ИП
		= mA

Рис. 15.1

Метод измерения

Существуют различные методы определения отношения e / m , в основе которых лежат результаты исследования движения электрона в электрическом и магнитном полях. Один из них – метод магнетрона. Называется он так потому, что конфигурация полей в нем напоминает конфигурацию полей в магнетронах – генераторах электромагнитных колебаний сверхвысоких частот. Сущность метода состоит в следующем: специальная двухэлектродная электронная лампа, электроды которой представляют собой коаксиальные цилиндры, помещается внутри соленоида так, что ось лампы совпадает с осью соленоида. Электроны, вылетающие из катода лампы, при отсутствии тока в соленоиде движутся радиально к аноду. При подключении тока к соленоиду в лампе создается магнитное поле, параллельное оси лампы, и на электроны начинает действовать магнитная сила

	(15.1)
F = −e[υB],

где e – величина заряда электрона; υ – скорость электрона; B – индукция магнитного поля.

Под действием этой силы, направленной в каждый момент времени перпендикулярно вектору скорости, траектория электро-

21

нов искривляется. При определенном соотношении между скоростью электрона и индукцией магнитного поля электроны перестают поступать на анод и ток в лампе прекращается.

Рассмотрим подробнее движение электронов в лампе при наличии магнитного поля. Для описания этого движения воспользуемся цилиндрической системой координат (рис. 15.2), в которой положение электрона определяется расстоянием его от оси лампы r, полярным углом ϕ и смещением вдоль оси Z. Электрическое

поле, имеющее только радиальный компонент, действует на электрон с силой, направленной по радиусу от катода к аноду.

v

vϕ
		vr

Рис. 15.2

Магнитная сила, действующая на электрон, не имеет составляющей, параллельной оси Z. Поэтому электрон, вылетающий из катода без начальной скорости (начальные скорости электронов, определяемые температурой катода, много меньше скоростей, приобретаемых ими при движении в электрическом поле лампы), движется в плоскости, перпендикулярной оси Z.

22

Момент импульса Lz электрона относительно оси Z
Lz = mυϕr,	(15.2)

где υϕ = r ddtϕ – составляющая скорости, перпендикулярная ра-

диусу r.

Момент Мz сил, действующих на электрон, относительно оси Z, определяется только составляющей магнитной силы, перпендикулярной r. Электрическая сила и составляющая магнитной силы, направленные вдоль радиуса r, момента относительно оси Z не создают. Таким образом,

M z = rFϕ = reυr B,

(15.3)

где υr = drdt радиальная составляющая скорости электрона. Согласно уравнению динамики вращательного движения

			dL
				= M .
			dt
Проецируя (15.4) на ось Z, получаем
	d(mυϕr)		= erυϕB				= er		dr	B
	dt								dt
Или
		d(mυϕr)			=	1	eB	d(r		2 )	.
		dt				2			dt

Интегрируем уравнение (15.5):

mυϕr = 12 eBr2 +const.

(15.4)

(15.5)

Константу найдем из начальных условий: при r = rк ( rк – радиус катода) υϕ = 0 . Тогда

23

const = − 12 eBrк2

и

υ		=	1 e B				(r 2	−r 2 ) .	(15.6)
			2 m r
	ϕ							к

Кинетическая энергия электрона равна работе сил электрического поля:

	m(υϕ2 + υr2 )	= eU ,	(15.7)
	2

где U – потенциал относительно катода точки поля, в которой находится электрон.

Подставляя в (15.7) значение υϕ из (15.6), получаем

m

1

e 2

B2

eU =

υ2

+

(r 2 −r 2 )2

.

(15.8)

2

4

r 2

r

m

к

υ2

При некотором значении индукции магнитного поля Bкp , ко-

торое называют критическим, скорость электрона вблизи анода станет перпендикулярной радиусу r , т.е. υr = 0 . Тогда уравнение

(15.8) примет вид

	m		e		2	B2		2
eUa =						кp	(rа2	−rк2 ) ,
	8					r 2
		m
						a

где Ua – потенциал анода относительно катода (анодное напряжение); ra – радиус анода.

Отсюда находим выражение для удельного заряда электрона:

e	=	8Ua	,	(15.9)
m		Bк2pra2 (1− rк2 ra2 )2

24

Индукция магнитного поля соленоида, длина L которого соизмерима с диаметром D, находится по формуле

B = µ n			L		=		µ0 Niкp		,
кр 0	iкр L2 + D2						L2 + D2

где µ0 = 4π 10−7 Гнм – магнитная постоянная; n – число витков

соленоида на единицу его длины, N – число витков на всей длине L соленоида.

Таким образом, экспериментально определив Bкp , можно вычислить величину em . Для нахождения Bкp в лампе следует ус-

тановить разность потенциалов между анодом и катодом и, включив ток в соленоиде, постепенно наращивать его, что увеличивает магнитное поле в лампе. Если бы все электроны покидали катод со скоростью равной нулю, то зависимость величины анодного тока от величины индукции магнитного поля имела бы вид, показанный на рис. 15.3 (пунктирная линия). В этом случае при

B < Bкp все электроны, испускаемые катодом, достигали бы анода, а при B > Bкp ни один электрон не попадал бы на анод.

iа

Bкр Bс

Рис. 15.3

Однако некоторая некоаксиальность катода и анода, наличие остаточного газа в лампе, падение напряжения вдоль катода,

25

неоднородность поля соленоида по высоте анода и т.д. приводят к тому, что критические условия достигаются для разных электронов при различных значениях В. Все же перелом кривой останется достаточно резким и может быть использован для определе-

ния Bкp .

Порядок выполнения работы

1.Собрать электрическую схему установки (см. рис. 15.1 и

15.4).

2.Установить анодное напряжение Ua ≈ 50 В по вольтметру

ИП.

3. Изменяя ток в соленоиде от минимального (начального) значения до максимального через 0,1 А при постоянном анодном напряжении, снять сбросовую характеристику, т.е. зависимость

анодного тока in от тока в соленоиде ic . Значения анодного тока,

определяемые по прибору РА, и значения тока в соленоиде определяемые по показаниям амперметра ИП, занести в табл. 15.1.

4. Повторить пп. 2 и 3 при двух других значениях анодного напряжения (больших 50 В). Результаты измерений занести в табл. 15.1.

Т а б л и ц а 15.1

U a	= .......B		U a	= .......B		U a	= .......B
ic		ia	ic		ia	ic		ia

5. Для каждого значения анодного напряжения построить сбросовую характеристику, откладывая по оси ординат значения анодного тока, а по оси абсцисс - значения тока в соленоиде. Для

нахождения критического значения тока в соленоиде iкр провести

до взаимного пересечения касательную к точке перегиба сбросовой характеристики (на участке ее спада) и прямую, соответствующую изменению минимальных значений анодного тока (как

показано на		рис. 15.5).		Занести полученные		значения iкр в
табл. 15.2.						Т а б л и ц а 15.2
	U a		iкр		Вкр	е/m

26

Рис. 15.4

ia

iкр ic

Рис. 15.5

6. Для каждого критического значения тока в соленоиде рассчитать по формуле (15.10) индукцию магнитного поля. Величины

L , D, N, ra и rк принять равными: L =167 мм, D =62 мм,

N =2108, ra = 6 мм, rк = 0,3 м.

7. Вычислить em по формуле (15.9) для каждого значения

критического поля в соленоиде и определить ее среднее значение. 8. Вычислить погрешность полученной величины ет.

Контрольные вопросы

1.В чем суть метода магнетрона для определения отношения

ет?

2.Влияет ли на величину Вкр изменение направления тока в

соленоиде на противоположное?

3. Зависит ли величина em от величины анодного напряже-

ния?

4. Рассмотреть движение электрона в однородном магнитном

поле в двух случаях: а) скорость электрона υ В; б) скорость электрона υ направлена под углом α к полю В.

Библиогр.: [1,4,5].

28

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16

ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКА ХОЛЛА

Цель работы – познакомиться с холловским методом измерения индукции магнитного поля.

Краткие сведения из теории

В пространстве, окружающем проводники с током или движущиеся заряды, возникает магнитное поле, которое можно обнаружить по воздействию его на другой проводник с током или на магнитную стрелку. Магнитное поле в каждой точке пространства количественно может быть описано с помощью вектора напря-

женности Н или вектора индукции В магнитного поля. В вакууме векторы В и Н связаны соотношением

B = µ0 H ,

(16.1)

где µ0 = 4π 10−7 Гнм – магнитная постоянная.

Для вычисления напряженности и индукции магнитного поля используют закон Био – Савара – Лапласа, согласно которому эле-

ментарная напряженность магнитного поля dH , создаваемая эле-

ментом проводника dl с силой тока J в некоторой точке пространства на расстоянии r , определяется выражением

dH = [Jdl , r ]/ 4πr3.

(16.2)

Для нахождения результирующей напряженности, создаваемой проводником конечных размеров, надо воспользоваться принципом суперпозиции магнитных полей и найти векторную сумму

элементарных напряженностей dH :

H = ∑dHk = ∑		[Jdl ,r ]к	.	(16.3)
k	k	4πr3
		k

29