Вопрос 5
.doc
Вопрос 5. Устные приёмы сложения и вычитания в пределах 100. Сочетательное свойство сложения.
-
Устные вычислительные приемы сложения и вычитания двузначных чисел.
На подготовительном этапе повторяются приемы сложения и вычитания в пределах 10, таблица сложения и вычитания в пределах 10, вычислительные приемы вида 40+5, 45-5, 45-40, основанные на знании нумерации.
Приемы устного сложения также основываются на знании сочетательного (ассоциативного) закона сложения (см. табл.).
Для сложения справедлив ассоциативный закон (а+в)+с=а+(в+с), являющийся следствием ассоциативности объединения конкретных множеств, попарное пересечение которых является пустым множеством.
В начальной школе закон раскрывается с помощью правил прибавления числа к сумме и суммы к числу.
Сочетательное свойство они могут попытаться вывести самостоятельно. Учитель должен убедить учащихся, что для вычисления выражений (а+в)+с и а+(в+с) действия можно производить в любом порядке, то есть значения выражений не зависят от порядка выполнения действий. Усвоение этих правил не вызывает сложности, если их математическое содержание будет раскрыто с опорой на интуитивные представления детей.
Для изучения правила прибавления числа к сумме (а+в)+с предлагается серия задач, имеющих разный сюжет, но одинаковое математическое содержание.
«Мальчик нашел 2 белых гриба, 3 подосиновика, 4 подберезовика. Сколько всего грибов нашел мальчик?».
Работа над этими задачами ведется по следующему плану:
-
условие задачи конкретизируется, на наборном полотне – иллюстрация с помощью геометрических фигур, которая постепенно дополняется и выполняется запись (2+3)+4.
-
затем составляется другой вариант этой же задачи, заполняется полотно, составляется математическая запись (3+4)+2.
-
аналогично (4+2)+3.
-
делается вывод: задачу можно решить тремя разными способами, результат не изменяется.
Результат можно не вычислять.
Таким образом, смысл закона раскрывается:
-
на рисунке;
-
на числах;
-
в буквенной форме.
Затем предлагается составить задачу по числовому выражению вида:
(а+в)+с
И перефразировать ее условие, чтобы она решалась с помощью выражений:
(а+с)+в и (в+с)+а
Формируется правило прибавления числа к сумме:
-
Прибавить число к сумме можно, складывая числа в любом порядке. Запоминание более детальной формулировки («чтобы прибавить число к сумме можно сначала…») нецелесообразно, так как способствует формальному усвоению сути правила. Важнее научить обращаться к задачам, если правило забыто.
Аналогично вводится правило прибавления суммы к числу.
Также для доказательства учащиеся могут исследовать эти выражения на графических моделях. Рассмотрим 2 выражения. Изменение порядка действий может изменить результат, следовательно, надо сопоставить выражения и выяснить, равны ли они.
(а+в)+с=d
d
a+(b+c)=d
d
Учитель сообщает, что полученное свойство называется сочетательным и предлагает выразить его смысл словами. Сочетательное свойство можно сформулировать по-разному:
-
чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
-
чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, затем второе.
-
значение суммы не зависит от выбора действий.
II. Этап ознакомления.
-
Прием вида: 20+30
Абак заполняется сначала двумя полосками по одному десятку кружков, затем еще тремя полосками. Всего в абаке 2+3 полоски или 5 десятков.
Таким образом, прием сложения круглых десятков сводится к сложению однозначных чисел, то есть 2 десятка + 3 десятка = 5 десятков.
-
Прием вычитания вида: 60-40 вводится аналогично.
Теоретическая основа – конкретный смысл действий сложения и вычитания.
Затем вводятся приемы сложения, основанные на знании свойств прибавления числа к сумме и прибавления суммы к числу:
22+5 (20+2)+5 теоретическая основа - прибавление числа к сумме.
45+3 (40+5)+3
45+30 (40+5)+30=40+(5+30)
20+13 теоретическая основа - прибавление суммы к числу
20+35=20+(30+5)=(20+30)+5
22+35=22+(30+5)=(22+30)+5=52+5=57
25+36=25+(30+6)=(25+30)+6=55+6=61
Случаи вида 28+5 имеет два способа нахождения результата.
-
28+5=(20+8)+5=20+(8+5)=33 теоретическая основа - прибавление числа к сумме.
Алгоритм рассуждения: заменяю, получаю пример, здесь удобнее.
-
28+5=28+(2+3)=(28+2)+3=33 теоретическая основа-
2 3 прибавление суммы к ислу.
Изучая приемы устного сложения двузначных чисел, учащиеся должны прийти к выводу, что сложить два двузначных числа легче, если к десяткам первого прибавить десятки второго, единицы обоих слагаемых сложить и прибавить к сумме десятков.
В приемах вычитания используются свойства.
-
Вычитания числа из суммы: 45-3, 40-5, 45-30
-
Вычитание суммы из числа: 45-9, 45-23, 45-28.
Они изучаются по тому же плану, что и свойства сложения. Различные способы вычитания основываются на соответствующих вопросах из теоретического курса математики.
-
45-3=(40+5)-3=40+(5-3)=40+2=42 (число 3 вычитается из числа единиц уменьшаемого);
теоретическая основа - вычитание числа из суммы
-
45-9=45-(5+4)=(45-5)-4=40-4=36
теоретическая основа - вычитание суммы из числа
-
45-23=45-(20+3)=(45-20)-3=25-3=22
теоретическая основа – вычитание суммы из числа.
Все эти операции при необходимости можно выполнить на демонстрационном абаке, учащиеся на индивидуальном абаке. Математическое выражение записывается на доске и в тетрадях.
При изучении приемов устного сложения и вычитания чисел прослеживаются разные подходы.
I Подход.
-
По традиционной программе основным способом введения вычислительного приема является показ образца действия, который в некоторых случаях разъясняется на предметном уровне, а затем закрепляется в процессе выполнения тренировочных упражнений.
-
Процесс формирования вычислительных умений сориентирован на усвоение способа действия для частных случаев сложения и вычитания чисел.
Изучения любого свойства ведется по одному плану:
-
раскрытие сути свойства (с использованием наглядных пособий);
-
применение свойства при выполнении заданий;
-
выделение рациональных приемов вычислений (на основе свойств).
Таким образом, первый подход связан с изучением свойств арифметических действий.
II Подход связан с изучением сочетательного закона сложения с выходом на обобщение: при сложении чисел удобно единицы складывать с единицами, десятки с десятками. Этот вывод переносят на приемы вычитания.
III Подход.
-
Процесс формирования вычислительных умений ориентирован на усвоение общего способа действий, в основе которого лежит осознание детьми записи чисел в десятичной системе счисления (разрядный состав числа) и смысла действий сложения и вычитания.
-
Основным способом введения нового вычислительного приема является не показ образца действий, а выполнение действий с моделями десятков и единиц и соотнесение этих действий с математической записью.
В процессе такой деятельности учащиеся наблюдают изменение цифр, обозначающих в записи числа десятки (единицы), при увеличении (уменьшении) числа на несколько десятков (единиц).
Наблюдение за изменением в записи чисел сопровождается активным истолкованием приемов анализа и сравнения, классификации, обобщения.
Проблема в том, как организовать продуктивную деятельность учащихся по усвоению приема.
Н.Я. Виленкин , Л.Г. Петерсон разработали технологию обучения практически целесообразную и отражающую основные теоретические результаты психолого-педагогических исследований. В своей программе и учебниках по математике для начальной школы они предлагают следующий подход к введению вычислительных приемов.
Приемы вводятся проблемным методом, когда учитель не сам объясняет весь материал, а подводит детей к «открытию» новых знаний. Принципиально важно, чтобы дети сами выводили новые правила действий с числами с помощью анализа и обобщения собственных предметных действий с моделями этих чисел.
В качестве моделей используются зеленые треугольники с десятью красными кружками: красный кружок обозначает единицы, зеленый треугольник обозначает десятки, десять красных кружков на зеленом треугольнике обозначают сотни.
Структура урока введения приёма:
-
Постановка учебной задачи.
Учащиеся выполняют самостоятельную работу, в которой среди известных случаев сложения и вычитания они сталкиваются с неизвестным для них случаем. Возникает проблемная ситуация, мотивирующая изучение нового материала.
-
Построение предметных моделей.
Для разрешения проблемной ситуации пример, вызвавший затруднение, моделируется и обсуждается фронтально. В результате этого обсуждения учащиеся «изобретают» новый способ действия (используются треугольники, пучки палочек).
-
Построение графических моделей.
Новый способ действия учащиеся используют для построения графических моделей нового типа. При этом полученный вывод вновь проговаривается.
-
Знаковое моделирование.
Пример записывается в более компактной форме, с помощью цифр и знаков арифметических действий (запись в виде числового выражения). Теперь учащиеся применяют новый вычислительный прием без опоры на наглядную модель. Если письменный прием, то учитель знакомит детей с более удобной формой записи примеров нового типа в столбик.
-
Самоконтроль и самооценка.
Учащиеся самостоятельно решают пример на новый вычислительный прием и убеждаются, что новый способ действия ими освоен. Проблемная ситуация разрешена. Затем новый вычислительный прием используется для решения текстовых задач. Решение выполняется с комментированием без графических моделей, без абака.