Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
Исключительная роль V постулата "Нагал" Евклида состоит в том, что в течение почти двух тысяч лет предпринимались безуспешные попытки доказательства этого постулата в качестве Теоремы. Около 1826 года Н. И. Лобачевским была впервые осознана независимость этого утверждения от остальных аксиом геометрии.
Этот факт является историческим моментом в развитии современной Теории оснований математики.
Следующий исторический шаг, совершенный Лобачевским же, состоял в построении непротиворечивой Теории, основанной на принятии утверждения, противоположного постулату параллельности Евклида.
Следующий шаг – принятие математиками этой "мыслимой" геометрии и математическое исследование отношений между Теорией и ее моделью. Этот шаг бы проделан благодаря трудам А. Пуанкаре, Феликса Христиана Клейна (1842-1925), К. Ф. Гаусса и др. математиков ХIХ века.
Эти геометрические открытия второй половины ХIХ века послужили мощным импульсом исследования аксиоматических начал всей математики.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1843-1918) предпринял попытку аксиоматического построения Теории множеств. Исследование противоречий языкового характера , с которыми столкнулись математики в его "наивной" Теории множеств привели в современному пониманию требований, предъявляемых к системам аксиом. Наконец, в 1899 г. появляется практически современная геометрическая аксиоматика Д. Гильберта, которая легла в основу современного математического формализма, названного в математике Гильбертовым формализмом. В современных приложениях геометрии используется аксиоматики А. Вейля арифметической модели евклидова пространства, см. §4.
Анализ текстовых парадоксов.
Языковые свойства имен объектов.
Готлоб Фреге впервые обратил внимание на то, что имя каждого объекта имеет два значения: предметное и смысловое. Согласно его “теории смысла” с понятием имени связаны три отношения к объекту: предметное, смысловое и знаковое. Определим их:
Денотат имени - это предметное значение имени, т.е. сам именуемый объект.
Концепт имени - это смысловое значение имени, т.е. то объективное содержание, которое выражается именем.
Константы - это сами имена индивидуальных предметов, но не имена свойств и отношений.
Наличие у имен двух значений - предметного и смыслового, приводит к двузначности имени: если имеется в виду концепт имени, то говорят об интенциональном значении имени, если же имеется в виду денотат имени, то говорят об экстенциональном значении имени.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
“Число 2” - это имя имеет определенный денотат и концепт.
Пример 2.
Имена: “Отношение эквивалентности”, “подобие”, “параллельность” имеют определенный концепт, как некоторые отношения. В то же время денотаты этих имен не определены.
Пример 3.
Имя
“
“
- символ, представляющий определенный
денотат - число 2. Однако, его концепт
неопределен:
-
операция или
- величина?
Проблема выразимости.
Двузначность “имени” придает гибкость языку, как средству коммуникации и, в то же время, делает его несовершенным как знаковое средство передачи информации. Действительно, последовательность слов, как знаковых единиц, накапливает неопределенность или многозначность от слова к слову.
В конце концов, смысл предложения, как знаковой цепочки, становится неопределенным. Мера определенности, по-видимому, является мерой символьной длины Формального предложения, состоящего из знаков – слов.
Математики всегда сознавали несовершенство естественного языка. Громоздкие языковые конструкции затрудняли математическую деятельность, которая сводилась к описанию Моделей, структур и изоморфизмов. Это послужило причиной возникновения символьного языка математической логики, предметных языков геометрии, теории множеств и т.д.
Однако, символьный язык не смог полностью заменить естественный язык, так как язык изложения по необходимости всегда шире предметного языка самой теории.
Требование математической строгости, с одной стороны, заключается в изоморфном описании структур, т.е. требуется, чтобы некоторый минимум свойств-аксиом однозначно представлял объекты по их отношениям. С другой стороны, всякое рассуждение должно начинаться с явного описания соответствующей предметной области. Эти два требования, как правило, несовместимы. А эта несовместимость и порождает проблему выразимости.